Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа, страница 2

Ðàññìîòðåí êëàññ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êîðòâåãàäå Ôðèçà íà îãðàíè÷åííûõ è íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ øèðîêî èñïîëüçóåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ óðàâíåíèÿ Áåíæàìåíà-Áîíà-Ìàõîíè-Áþðãåðñà, ÐîçåíàóÁþðãåðñà, ÊäÔ-Áþðãåðñà, Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè, Çàõàðîâà-Êóçíåöîâà, ÕîõëîâàÇàáîëîöêîé, Îñòðîâñêîãî, Ëèíÿ-Ðåéñíåðà-Öçÿíÿ. Äëÿ ýòîãî êëàññà âïåðâûå íàéäåíûäîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé çàäà÷ ñ åñòåñòâåííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.4. Ïîëó÷åíû îöåíêè âðåìåíè ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷, òî åñòü âðåìåíè êîððåêòíîãî îïèñàíèÿ äàííûìè ìîäåëÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.5.

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû è ïðåäëîæåííûå ìåòîäèêè, ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü âðåìåííûåîöåíêè êîððåêòíîñòè ðåøåíèé ïðèêëàäíûõ çàäà÷ íåëèíåéíîé ôèçèêè, èñïîëüçóþùèõäàííûå ìîäåëè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû è ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó:1. Âïåðâûå èññëåäîâàíî ÿâëåíèå ðàçðóøåíèÿ â çàäà÷àõ äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé òèïàÎñêîëêîâà ñ èñòî÷íèêàìè, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû â íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòÿõ. Èçó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðóøåíèÿ, ïîëó÷åíû îöåíêè íà âðåìÿ è ñêîðîñòü ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ ñèíãóëÿðíûìè è ðåãóëÿðíûìè èñòî÷íèêàìè.2.

Äîêàçàíà òåîðåìà î ðàçðóøåíèè äëÿ çàäà÷è Íàâüå-Ñòîêñà ñî ñïåöèàëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Íà ïðèìåðå çàäà÷è Ýéëåðà ïîêàçàíî ðàçëè÷èå ìåæäó ýôôåêòàìèðàçðóøåíèÿ â îãðàíè÷åííûõ è íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ.3. Äëÿ ðÿäà óðàâíåíèé òèïà Êîðòâåãà-äå Ôðèçà äîêàçàíû òåîðåìû ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèéè ïîëó÷åíû îöåíêè âðåìåíè ðàçðóøåíèé.4. Äëÿ óðàâíåíèé Áåíæàìèíà-Áîíà Ìàõîíè-Áþðãåðñà, Ðîçåíàó-Áþðãåðñà è Êîðòâåãàäå Ôðèçà-Áþðãåðñà äîêàçàíà ëîêàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ñ åñòåñòâåííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.

Ïîëó÷åíà çàâèñèìîñòü âðåìåíè îáîñòðåíèÿ îò íà6÷àëüíûõ óñëîâèé.Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â 9 ðàáîòàõ â ðåôåðèðóåìûõ æóðíàëàõ. Ñïèñîêýòèõ ðàáîò ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.Îòäåëüíûå ðåçóëüòàòû òàêæå äîêëàäûâàëèñü íà1. íàó÷íîì ñåìèíàðå ïðîôåññîðà È. À. Øèøìàðåâà ïî íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì (ôàê.-ò ÂÌèÊ ÌÃÓ);2. íàó÷íîì ñåìèíàðå ïðîôåññîðà À. Í.

Áîãîëþáîâà ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìåòîäàì â åñòåñòâåííûõ íàóêàõ (ôèç. ôàê.-ò ÌÃÓ);3. íàó÷íîì ñåìèíàðå ïî àññèìïòîòè÷åñêèì ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàäåìèêà Â. Ï. Ìàñëîâà è ïðîôåññîðà Ñ. Þ. Äîáðîõîòîâà (ÈÏÌ ÐÀÍ);4. íàó÷íîì ñåìèíàðå êàôåäðû ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîôåññîðà Â.

Ô. Áóòóçîâà;5. ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ êîíôåðåíöèÿõ ìîëîäûõ ó÷åíûõ ¾Ëîìîíîñîâ-2011, -2012¿.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîãî äîïîëíåíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû, âêëþ÷àþùåãî 101 íàèìåíîâàíèå, è èçëîæåíà íà 183 ñòðàíèöàõ.7ÎÑÍÎÂÍÎÅ ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛÂâåäåíèåñîäåðæèò îáçîð èñïîëüçóåìûõ ìåòîäîâ èñëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ðàçðóøå-íèÿ: ìåòîäà íåëèíåéíîé åìêîñòè Ñ.È. Ïîõîæàåâà, ðàçâèòîãî â ñîâìåñòíûõ ðàáîòàõ ñÝ. Ìèòèäèåðè, è ýíåðãåòè÷åñêîãî ìåòîäà Õ. Ëåâèíà, ìîäèôèöèðîâàííîãî Ì.Î. Êîðïóñîâûì è À.Ã. Ñâåøíèêîâûì è âïåðâûå ïðåäëîæåííîãî äëÿ çàäà÷ ãèäðîäèíàìèêè â 2009ãîäó ïðè èçó÷åíèè ðàçðóøåíèÿ â ñèñòåìå Îñêîëêîâà ñ êóáè÷åñêèì èñòî÷íèêîì.Ïîäðîáíî ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå øàãè äîêàçàòåëüñòâà ðàçðóøåíèé: äëÿ ìåòîäà íåëèíåéíîé åìêîñòè íà ïðèìåðå äîêàçàòåëüñòâà ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÊîðòâåãà-äå Ôðèçà, ïðîäåëàííîãî â 2011 ãîäó Ñ.È.

Ïîõîæàåâûì, è äëÿ ýíåðãåòè÷åñêîãîìåòîäà íà ïðèìåðå àïðèîðíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ îöåíîê, ïðåäëîæåííûõ Î.À. Ëàäûæåíñêîé äëÿ èññëåäîâàíèÿ ëîêàëüíîé è ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà.Ïðèâåäåíû êëàññû óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà, äëÿ êîòîðûõ óäàåòñÿ èññëåäîâàòü âîïðîñû ðàçðåøèìîñòè, åäèíñòâåííîñòè è ðàçðóøåíèÿ.

Êðàòêî îïèñàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè.Ïåðâàÿãëàâàïîñâÿùåíà ïîñòàíîâêå è ôîðìóëèðîâêå èññëåäóåìûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Âûäåëåíî äâà îñíîâíûõ êëàññà: çàäà÷è äëÿñèñòåì óðàâíåíèé, â êîòîðûå íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîð, ïðè ýòîì îäíî óðàâíåíèåñîäåðæèò ñëàãàåìîå (u, ∇)u, à âòîðîå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè div u = 0, èêëàññ çàäà÷ äëÿ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé òèïà Êîðòâåãà-äå Ôðèçà, ñîäåðæàùèõ íåëèíåéíîå ñëàãàåìîå uux .Ïåðâàÿ ÷àñòü ïåðâîé ãëàâû ïîñâÿùåíà çàäà÷àì, ìîäåëèðóþùèì ïðîöåññû â íåñæèìàåìûõ ñïëîøíûõ ñðåäàõ.  îáùåì ñëó÷àå òàêèå ìîäåëè îïèñûâþòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:∂u+ (u, ∇)u − Div σ = −∇p,∂tdiv u = 0,(1)ãäå âåêòîð u õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü æèäêèõ ÷àñòèö ñïëîøíîé ñðåäû, p(x, t) ôóíêöèÿäàâëåíèÿ â òî÷êåxâ ìîìåíò âðåìåíè t, à σ òåíçîð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé:Div σij =3X∂σijj=1∂xj.Çäåñü è äàëåå âî âñåé ðàáîòå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â áåçðàçìåðíîì âèäå.Ââåäåíèå äåâèàòîðà σ ñòàâèò ñâîåé öåëüþ ó÷åò ðåàêöèé, âîçíèêàþùèõ â æèäêîñòèâ ïðîöåññå åå äâèæåíèÿ, òî åñòü îïðåäåëÿåò òèï æèäêîñòè [À.Ï.

Îñêîëêîâ]. Íàïðèìåð,8ñèñòåìà Ýéëåðà ïîëó÷àåòñÿ èç îáùåé ñèñòåìû (1) ïðè ðàâåíñòâå òåíçîðà σ íóëþ:∂u+ (u, ∇)u = −∇p,∂tdiv u = 0;(2)à ñèñòåìà Íàâüå-Ñòîêñà ïðè ëèíåéíîé ñâÿçè òåíçîðà íàïðÿæåíèé ñ òåíçîðîì ñêîðîñòåéäåôîðìàöèé:σ = 2νE = ν∂ui ∂uj+∂xj∂xi∂u+ (u, ∇)u − ν4u = −∇p,∂t,div u = 0.(3)Çàäà÷è äëÿ êëàññè÷åñêèõ ñèñòåì Ýéëåðà è Íàâüå-Ñòîêñà (1-2) íà ïðîòÿæåíèè ïîëóòîðà ñòîëåòèé ÿâëÿëèñü îñíîâíûìè ìîäåëÿìè âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.

Ìåæäóòåì, óæå â ñåðåäèíå XIX â. áûëè èçâåñòíû âÿçêèå íåñæèìàåìûå æèäêîñòè, íå ïîä÷èíÿþùèåñÿ ýòèì óðàâíåíèÿì. Ïåðâûå ìîäåëè òàêèõ æèäêîñòåé, êîòîðûå ó÷èòûâàþòïðåäûñòîðèþ òå÷åíèÿ, áûëè ïðåäëîæåíû Äæ. Ìàêñâåëëîì, Â. Êåëüâèíîì, Â. Ôîéãòîìè Äæ. Îëäðîéòîì.Îäíèì èç ïðèìåðîâ òàêîé æèäêîñòè ìîæåò ñëóæèòü âÿçêîóïðóãàÿ æèäêîñòü Ôîéãòà,îïèñûâàþùàÿ ðàñòâîð ïîëèìåðîâ, â êîòîðîì íàïðÿæåíèÿ ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äâèæåíèÿíå îáðàùàþòñÿ ìãíîâåííî â íóëü, à ñïàäàþò ïî íåêîòîðîìó ýêïîíåíöèàëüíîìó çàêîíóè îïèñûâàþòñÿ ðåîëîãè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì:σ = 2νE + 2∂E.∂t ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (1) ïðèíèìàåò âèä∂(u − 4u) + (u, ∇)u = −ν4u − ∇p,∂tdiv u = 0.(4)Êðîìå ïîëèìåðíûõ ðàñòâîðîâ ê æèäêîñòÿì òàêîãî òèïà îòíîñÿòñÿ ýìóëüñèè è ñóñïåíçèèîäíîé æèäêîñòè â äðóãîé, ñèëüíî ðàçáàâëåííûå ñóñïåíöèè òâåðäûõ ÷àñòèö. îáùåì ñëó÷àå âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé ðåîëîãè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå çàäàåò íå äèôôåðåíöèàëüíóþ, à èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíóþ ñâÿçü ìåæäó σ è E .

Ïîýòîìó íàðÿäó ñçàäà÷åé (2) â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ñèñòåìà Êåëüâèíà-Ôîéãòà:∂(u − 4u) − 4u + (u, ∇)u −∂tZtet−s 4u ds = −∇p,div u = 0.(5)0Ãëàâíîé îñîáåííîñòüþ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé (4-5) ÿâëÿåòñÿ èõ ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü ïðè äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ íà÷àëüíûõ äàííûõ è íóëåâûõ óñëîâèÿõÄèðèõëå íà ãðàíèöå, ÷òî äåëàåò èõ êîððåêòíûìè äëÿ ãëîáàëüíîãî âî âðåìåíè îïèñàíèÿ9íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé, íàðàâíå ñ ïðåäëîæåííûìè Î.À. Ëàäûæåíñêîé ñèñòåìàìè ñíåëèíåéíîé âÿçêîñòüþ:∂(u − 4u) − 4u − ν1∂tZ X3 ∂ui 2 ∂xj dx4u + (u, ∇)u = −∇p,i,j=1div u = 0.(6) äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå äëÿ êîððåêòíî ðàçðåøèìûõ çàäà÷ (4-6) èññëåäóåòñÿ ïîÿâëåíèå ðàçðóøåíèÿ ïðè íàëè÷èè âíåøíèõ íåëèíåéíûõ èñòî÷íèêîâ f (u). Òàê êàê âî ìíîãèõñëó÷àÿõ íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f (u) ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ïî ñòåïåíÿì, òî òðàäèöèîííîçàäà÷è ñòàâÿòñÿ äëÿ ñòåïåííûõ èñòî÷íèêîâ.

Êðîìå òîãî, ïðè íåêëàññè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ óäàåòñÿ èññëåäîâàòü âîïðîñ î ðàçðóøåíèè, ïîðîæäàåìîì íåëèíåéíîñòüþ(u, ∇)u ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî âëèÿíèÿ.Âòîðàÿ ÷àñòü ïåðâîé ãëàâû ïîñâåùåíà ïîñòàíîâêå çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíûõ ïðèáëèæåíèé ñèñòåì ãèäðîäèíàìèêè, ïðèâîäÿùèõ ê óðàâíåíèÿì òèïà Êîðâåãà-äå Ôðèçà:ut + uux + uxxx = 0.(7) ãèäðîäèíàìèêå ýòè óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò äâóìåðíûì è òðåõìåðíûì ïðèáëèæåíèÿì ìåëêîé âîäû, ïðèáëèæåíèÿì â êîòîðûõ ìàëûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ãëóáèíû ñëîÿ æèäêîñòè ê õàðàêòåðíîé äëèíå âîëí.

 ýòîé ÷àñòè îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëåíî âûâîäó ìîäåëåé äëÿ óðàâíåíèé Êîðòâåãà-äå Ôðèçà-Áþðãåðñà, ÊàäîìöåâàÏåòâèàøâèëè, Çàõàðîâà-Êóçíåöîâà, Õîõëîâà-Çàáîëîöêîé, Ëèíÿ-Ðåéñíåðà-Öçÿíÿ, Îñòðîâñêîãî, Áåíæàìåíà-Áîíà-Ìàõîíè-Áþðãåðñà, Ðîçåíàó-Áþðãåðñà, Êîðòâåãà-äå ÔðèçàÁåíæàìåíà-Áîíà-Ìàõîíè.Âî âòîðîé ãëàâåðàññìàòðèâàþòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è â îãðàíè÷åííûõ îáëà-ñòÿõ ñ óñëîâèÿìè Äèðèõëå íà ãëàäêèõ ãðàíèöàõ. Çàäà÷è ñòàâÿòñÿ äëÿ ñèñòåì, ìîäåëèðóþùèõ íåñæèìàåìûå íåíüþòîíîâñêèå æèäêîñòè, ñ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè ñòåïåííîãîâèäà |u|q u è ñèíãóëÿðíîãî ñòåïåííîãî |u|q u/|x|σ .Ïåðâîé ñòàâèòñÿ çàäà÷à Îñêîëêîâà ñî ñòåïåííûì èñòî÷íèêîì ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà, ÿâëÿþùàÿñÿ ëîãè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ðàáîòû Ì.Î.

Êîðïóñîâà è À.Ã. Ñâåøíèêîâàïî ðàçðóøåíèþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû Îñêîëêîâà ñ êóáè÷åñêèì èñòî÷íèêîì.∂(|u|q1 u − 4u) − 4u + (u, ∇)u + |u|q2 u = ∇p,∂tdiv u = 0,|u t=0= u0 (x),|u ∂Ω×[0,T]= 0.(8)(9)Ïîìèìî äåéñòâèÿ èñòî÷íèêà ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå â æèäêîñòèâ ïðîöåññå äâèæåíèå, ÷òî õàðàêòåðèçóåòñÿ íåëèíåéíîñòüþ ïîä ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè.Îñíîâíîé ðåçóëüòàò êàñàåòñÿ âëèÿíèÿ îäíîé íåëèíåéíîñòè íà äðóãóþ è íà ñàì ýôôåêò10ðàçðóøåíèÿ. Âîïðîñ î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè â ñëàáîì îáîáùåííîì ñìûñëå ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà àïïðîêñèìàöèé Ãàëåðêèíà è âûâîäà àïðèîðíûõ îöåíîê, âîïðîñåäèíñòâåííîñòè ðåøàåòñÿ ÷åðåç ëåììó Ãðîíóîëëà-Áåëìàíà. Êîíå÷íûé ðåçóëüòàò î åäèíñòâåííîñòè è ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí â âèäå ñëåäóþùåéòåîðåìû:Òåîðåìà.Äëÿ ëþáîé íà÷àëüíîé ôóíêöèèu0∈H(Ω)ïðè óñëîâèè q2 ∈ [0, 4),u u(x)(t) ∈q1 ∈ [0, 4) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ñëàáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå êëàññà { :L∞ (0, T ;H(Ω)); u (x)(t) ∈ L (0, T ; H(Ω))}, ∀ T ∈ (0, T ).