Отзыв оппонента 2 (Исследование волноведущих систем методами математической физики)

ФАНО России Федеральное государственное бюджетное учрежденле науки ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ пм. В.А.КОТЕЛЬНИКОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК (ИРЭ пм. В,А. Котельникова РАН) Моховая ул., д. 11, корп. 7, Москва„125009 Тел. +7 (495) 629-35-74, факс+7 (495) 629-36-78 нплел ~ь~~ы~. ~~В отзыв официального оппонента на диссертацию Боголюбова Николая Александровича «Исследование волноведущих систем методами математической физики», представленную к защите на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика.

Диссертационная работа Н.А. Боголюбова посвящена новой постановке спектральной краевой задачи, описывающей рапространенне электромагнитных волн в регулярных волноведущих системах, построенных на основе метаматериалов: биизотропных и, в частности, киральных сред. Одним из наиболее популярных методов численного исследования таких волноведущих систем является метод конечных элементов. Однако применении наиболее простых и естественных лагранжевых конечных элементов возникает известная проблема появления не имеющих физического смысла фиктивных решений, которые часто называют «духами».

Борьба с такими решениями после получения результата является крайне трудоемкой и малоэффективной. Действенным способом борьбы с фиктивными решениями является отказ от применения лагранжевых конечных элементов и переход к более сложным смешанным конечным элементам. Построенные с применением смешанных конечных элементов алгоритмы значительно сложнее для программирования, а в ряде случаев обладают меньшей точностью и имеют недостатки. В этой связи большой интерес вызывает разработка и исследование таких вариантов постановок спектральных краевых задач теории волноведущих систем, которые при численной реализации обеспечивают применение лагранжевых элементов метода конечных элементов.

Актуальность диссертационной работы обусловлена тем, что в ней предложена, исследована и реализована постановка спектральной краевой задачи, описывающая распространение электромагнитных волн в регулярном волноводе, построенном с применением метаматериалов, использование которой приводит к резкому уменьшению числа фиктивных решений в алгоритмах метода конечных элементов с использованием лагранжевых элементов. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Во введении показана актуальность темы диссертации, сформулирована основная цель диссертационной работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость, указаны защищаемые положения. В первой главе диссертационной работы описано использование метаматериалов при создании волноведущих систем, а также проанализированы в историческом аспекте методы, применяемые для расчета вол но ведущих систем, в частности, построенных на основе метаматериалов.

Во второй главе приводится постановка векторной спектральной краевой задачи для волновода произвольного сечения с кусочно-постоянным биизотропным заполнением, которая при численной реализации позволяет использовать лагранжевые конечные элементы, а также исследуются ее основные свойства. Записывается дифференциальная постановка задачи для электрической составляющей поля, а затем на ее основе строится обобщенная постановка, для которой проводится подробный и глубокий анализ. Рассматривается частный случай не биизотропного, а диэлектрического заполнения волновода прямоугольного сечения и отмечается, что обобщенная постановка в данном случае представляет собой обьединенную постановку трех независимых краевых задач для компонент электрического поля нормальных мод волновода.

Для того, чтобы эти компоненты формировали нормальную волну, они должны быть связаны уравнением равенства нулю дивергенции, которое является дополнительным условием, не учитываемым в обобщенной постановке. Введение этого условия в обобщенную постановку позволяет резко уменьшить число появлений фиктивных решений. В результате получается новая постановка спектральной задачи для данного конкретного случая. Далее аналогичная техника применяется для получения новой обобщенной постановки задачи для волновода произвольного сечения с биизотропным кусочно-постоянным заполнением. Исследование этой постановки методами функционального анализа сводится к исследованию полугоралинейных форм, которые задают в пространстве Соболева линейные ограниченные функционалы, порождающие линейные ограниченные операторы. Основным моментом является исследование свойств этих операторов (что составляет содержание леммы), которое позволяет сформулировать рассматриваемую задачу в операторной форме, сводя ее к нахождению характеристических чисел и собственных функций операторного пучка.

Результатом этого исследования является доказательство двух фундаментальных теорем о свойствах спектра обобщенной спектральной краевой задачи. В третьей главе приводится чрезвычайно эффективный вспомогательный алгоритм факторизации незнакоопределенных матриц, основанный на методе Банча-Кауфмана. Алгоритм факторизации широко используется при решении алгебраической задачи на собственные значения, к которой при применении метода конечных элементов сводится исходная дифференциальная задача на собственные значения.

Данный алгоритм протестировав для случая вол новода с кусочно-постоянным диэлектрическим заполнением, когда известно точное решение спектральной задачи. Четвертая глава диссертационной работы посвящена практическому применению алгоритма, построенного с использованием предложенной новой постановки спектральной краевой задачи, для решения прямой задачи расчета дисперсионных кривых и собственных волн прямоугольного волновода с кусочно-постоянным кирально-диэлектрическим заполнением.

Проводится численное исследование алгоритма и, в частности, апостериорная оценкаточности. В пятой главе работы разработанный алгоритм решения прямой задачи используется в виде блока решения обратной задачи синтеза волновода с кирально-диэлектрическим заполнением.

Для решения обратной задачи применяется методика, предложенная в работе А.Г. Свешникова и А.С.Ильинского, при использовании которой происходит многократное решение прямой задачи с направленно изменяемыми параметрами, На основе этой методики решена важная в практическом отношении задача синтеза волновода, обладающего максимальной шириной полосы одномодового режима. Для таких волноводов в широком частотном диапазоне отсутствует межмодовая дисперсия, приводящая к искажениям передаваемого сигнала. Получена оптимальная волноводная структура типа «сэндвич», состоящая из слоя диэлектрика, помещенного между двумя киральными слоями.

Заключение посвящено краткому обобщению полученных в работе результатов, а также формулировке наиболее перспективных направлений развития тематики данной диссертационной работы. Новизна диссертационной работы Н.А. Боголюбова заключается в том, что в ней разработан новый вариант постановки спектральной краевой задачи, на основе которой построен эффективный алгоритм для решения прямых и обратных спектральных задач теории волноведущих систем, созданных с использованием метаматериалов. В работе проведено глубокое исследование данной постановки методами функционального анализа, а на многочисленных примерах показана эффективность разработанного на основе данной постановки численного алгоритма. Полученные результаты решения обратной задачи синтеза кирально-диэлектрического волновода, обладающего максимальной полосой одномодового режима, в виде трехслойного волокна типа «сэндвич», являются новыми и представляют несомненный практический интерес.

Результаты работы в диссертации изложены последовательно и подробно, следуя четкой логике: общая постановка проблемы, новая постановка спектральной краевой задачи и ее исследование методами математической физики, вспомогательный алгоритм факторизации матриц, алгоритм, построенный на основе новой постановки спектральной краевой задачи, и его использование для решения прямых задач теории волноведущих систем на основе метаматериалов, применение разработанной методики к решению обратной задачи синтеза таких волноведущих систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных статьях, четыре из которых опубликованы в журналах, входящих в список ВАК, а также в 8 тезисах докладов, доложенных на Международных и Всероссийских конференциях. Обоснованность выносимых на защиту научных положений и выводов подтверждается использованием строгих математических методов при формулировке и исследовании новой математической постановки спектральной краевой задачи теории волноведущнх систем, а также использованием зарекомендовавших себя алгоритмов ~метод конечных элементов, метод Нелдера-Мида и ряда других) при построении и апробации алгоритмов, основанных на предлагаемой новой постановке. Достоверность результатов, получаемых на основе использования предложенной новой постановки спектральной краевой задачи, подтверждается тестированием построенных программ и получением апостериорных оценок точности.

Автореферат полностью отражает содержание диссертационной работы. По содержанию диссертационной работы имеются следующие замечания: ° Во второй главе диссертации при постановке спектральной задачи указывается, что рассматривается невырожденный случай биизотропной среды, но не поясняется его физический смысл. е Надписи на некоторых графиках являются слишком мелкими и трудночитаемыми. Имеются пожелании.