Отзыв оппонента 1 (Исследование волноведущих систем методами математической физики)

официального оппонента на диссертацию Боголюбова Николая Александровича «Исследование волноведущих систем методами математической физики», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01,03 математическая физика В диссертации Н.А.Боголюбова на основе разработанной, исследованной и реализовшшой постановки спектральной краевой задачи теории волноведущих систем изучается процесс распространения электромагнитных волн в регулярных волноведущих системах, заполнение которых выполнено с использованием метаматериалов. Актуальность диссертации определяется необходимостью создания универсальных.

эффективных и экономичных алгоритмов для расчета современных волноведущих систем, построенных с использованием метаматериалов: би-анизотропных, би-изотропных, киральных сред. При этом крайне важное значение имеет разработка и изучение таких постановок краевых задач. моделирующих волноведущие системы, которые позволяли бы использовать существующие современные экономичные вычислительные методы или их модификации для численного исследования таких систем. Разработанная, изученная и практически реализованная в диссертационной рабо ге постановка полной векторной спектральной краевой задачи, моделирующей регулярный волновод произвольного поиеречного сечения с заполнением на основе би-изотропных и киральных сред, дает возможность использовагь для расчета таких волноводов метод конечных элементов с элементами лагранжево|о типа.

При этом, что крайне важно, в рамках численной реализации разработанной постановки с использованием лагранжевых конечных элементов резко уменьшается количество появлений не имеющих физического смысла фиктивных решений, называемых обычно «духамих» Появление таких фиктивных решений сильно снижает эффективность численных алгоритмов и по существу не дает возможности применять их для проведения конкретных расчетов. Таким образом, при использовании предложенной постановки спектральной краевой задачи становится возможным при расчете волноводов использовать все знацггельные преимущества лагранжевых конечных элементов.

На основе данной постановки краевой задачи можно строить эффективные алгоригмы решения как прямых задач расчета волноведущих систем, так и обратных задач синтеза таких систем. Текст диссертации изложен на 132 страницах и состоит из введения, пяти )лав. зак:почения и списка литературы. Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, ее зсорегическая и практическая значимость, а также научная новизна развиваемых в ней положений.

Указаны защищаемые в диссертации положения и рассмотрена апробация полученных результатов. В первой главе, носящей обзорный характер, приведен краткий обзор применяемых при изготовлении волноводов метаматериалов и ряда работ, посвященных математическому моделированию таких волноводных систем. Основное содержание главы посвящено обзору методов гчисленных и аналитических).

применяемых при математическом моделировании волноведущих систем. в гом числе построенных с использованием метах)атериалов. Из анал)ггических методов рассмотрены методы, основанные на факторизации волнового уравнения, метод диадных функций Грина и метод векторных цепей. Из численных методов рассмотрены: мегод частичных областей.

метод поперечных сечений, неполный метод Галеркина, метод конечных разностей и метод конечных элементов, Рассмотрены как методы решения прямых задач расчета волноведущих систем, так и методы решения обратных задач синтеза волноведущих систем обладающих заданными свойствами. Во второй главе описывается и исследуется полная векторная постановка спектральной задачи теории волноводов, численная реализация когорой с применением лагранжевых конечных элементов позволяет резко уменьшить число возникаю)цих фиктивных нефизических решений.

Рассматривается регулярный волновод с идеально проводящей стенкой и произвольным поперечным сечением. Заполнение волновода предполагается кусочно- постоянным и состоят из комбинации би-изотропной или киральной среды и диэле)ггрика. Для описания такого волновода ставится классическая дифференциальная спектральная краевая задача, на основе которой строится обобщенная спекгральная задача и проводится ее подробное исследование. 11оказано, что для частного случая аналогичного волновода прямоугольного сечения и кусочно-постоянным диэлектрическим заполнением обобщенная задача распадается на три независимые спектральные задачи для трех декартовых компонент электрического поля.

Для формирования нормальной волны эти компоненты должны удовлетворять условию равенства нулю дивергенции электрического поля. причем этому условию не удовлетворяют компоненты фиктивных мод ~«духов>ф Вводение этого условие в обобщенную постановку существенно снижает число появлений нефизических фиктивных решений. Далее аналогичным образом ставится обобщенная задача для волновода произвольного сечения с кусочнопостояннь>м заполнением с использованием метаматериалов. Для изучения спектра рассматриваемого волновода проводится тщательное изучение операторов, порожденных данной постановкой. Исследуются полугоралинейные формы.

возникающие в обобщенной остановке задачи. Порожденные ими функционалы задают линейные ограниченные операторы. Результаты проведенных исследований оформлены в виде одной леммы и двух теорем о спектральных свойствах изучаемых операторов, а, следовательно, о спектральных свойствах изучаемых волноведуших систем.

В з ретьей главе пр>п>одится эффективный алгоритм факторизации незнакоопределенных матриц, основанный на процедуре, предложенной Ьанчсм и Кауфман, который затем применяется при решении методом обратных итерации алгебраических задач на собственные значения. Данные задачи возникают при использовании метода конечных элементов для численного решения спектральной волноводной задачи.

Приводятся результаты тестирования разработанного алгоритма. В четвертой главе алгоритм, основанный на разработанной постановке спектральной краевой задачи, применяется для решения прямых задач расчета во,шоводов прямоугольного сечения с заполнением. в котором используются киральные и би-изотропные среды. На примере волновода с диэлектрическим заполнением приводятся резульиты тестирования алгоритма с получением апостериорной опенки точности.

Строятся дисперсионные характеристики и рассчнгываются поля собственных волн. В пятой главе рассматривается применение предложенной методики к решению обратной спектральной задачи синтеза волноводов, обладающих заданными свойствами. Для решения задачи синтеза используется алгоритм, предложенный в работах А.ГзСвешникова и А.С.Ильинского, который предполагает многократное. решение прямой задачи расчета волновода при направленном изменении оптимизационных параметров. Для оптимального изменения оптимизационных параметров строится оценивающий функционал, который затем миннмизируется методом Нелдера — Мида.

В качестве блока решения прямой задачи используется программа решения прямой задачи, применение ко горой описано в четвертой главе. Конкретной рассматриваемой задачей является задача расчета кирально-диэлектрического волновода. у которого одномодовый режим работы, при котором отсутствует межмодовая дисперсия, занпмает наибольший частотный диапазон.

Получена оптимальная структура трехслойного волновода, обладающего данными свойствами. В заключении делаются выводы по полученным в диссертационной работе резЭ лыжам и намечаются пути дальнейшей разработки данной темы. Теоретическая значимость н новизна диссертационной работы заключатся в разработке и реализации постановки векторной спектральной краевой задачи расчета собственных частот н собственных волн регулярного волновода с заполнением на основе метаматериалов, позволяюшей использовать при численном расчете методом конечных элементов лагран>кевые конечные элементы.

Это дает возможность стропть эффективные численные алгоритмы решения, как прямых задач расчета таких волноводов, так и обратных задач синтеза волноводов, обладающих заданными техническими и эксплуатационными характеристиками. Практическая значимость диссертационной работы определяется возможностью создания на основе предложенной постановки эффективных комплексов программ для решения спектральных задач анализа и синтеза широкого класса волноведущнх систем с заполнением на основе метаматериалов. Замечании по диссертационной работе. По данной диссертационной работе можно высказать следующие замечания: 1) При реализации предложенной методики рассматриваются волноводы с простейшими граничными условиями идеально проводящей граничной стенки, хотя се распространение на более общие граничные условия достаточно очевидно.