Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 2

 ýòîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà (0.0.1) ñòî÷êè çðåíèÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ðàâíîñèëüíà C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå(C2 , dz ∧ dw, f (z, w)),(0.0.2)ñì. îïðåäåëåíèå 2.1.5 è ëåììó 2.1.7.Êàê ïðàâèëî, óñëîâèå ïîëíîòû âåêòîðíîãî ïîëÿ èññëåäîâàëîñü â òåðìèíàõàëãåáðàè÷åñêèõ è àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé âåêòîðíîãî ïîëÿ. Âìåñòå ñ òåì ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ óñëîâèÿ7ïîëíîòû â ãåîìåòðè÷åñêèõ òåðìèíàõ, íàïðèìåð, â òåðìèíàõÍüþòîíà,ìíîãîóãîëüíèêàïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé âûïóêëóþ îáîëî÷êó öåëî÷èñëåííûõ òî-÷åê èíäåêñîâ íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìèàëüíîãî ãàìèëüòîíèàíà(ñì.

ïðèìåð íà ðèñ. 3). Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèîííîéðàáîòû äëÿ ñèñòåì (0.0.2) ñ ãàìèëüòîíèàíîì f (z, w), íåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà (òåîðåìà 11 è ñëåäñòâèå 1.3.4(Á)).Êðîìå òîãî, â ýòîé æå ãëàâå â òåðìèíàõ ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà âû÷èñëÿþòñÿ òèïû îñîáåííîñòåé ãàìèëüòîíîâà âåêòîðíîãî ïîëÿ â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ ïîïîëíåííîãî ñëîÿ (ñëåäñòâèÿ 1.3.2 è 1.3.4(Â)). ÌíîãîãðàííèêèÍüþòîíà (ìíîãîìåðíûé àíàëîã ìíîãîóãîëüíèêîâ Íüþòîíà) ïðèìåíÿëèñü âðàáîòàõ À.Ä.

Áðþíî (ñì. [9]) äëÿ îïèñàíèÿ ëîêàëüíûõ ñâîéñòâ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ýòî ëåæèò â ñòîðîíå îò çàäà÷ íàñòîÿùåé ðàáîòû, òàê êàê â äèññåðòàöèè ñèñòåìà ðàññìàòðèâàåòñÿ ãëîáàëüíîè, â ÷àñòíîñòè, îïèñàíû òîïîëîãèÿ è îêðåñòíîñòü íåîñîáîãî ñëîÿ f −1 (ξ) âòåðìèíàõ ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà ìíîãî÷ëåíà f .Ðèñ. 3: Ïðèìåð ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà ÷åòâåðòîé ãëàâå äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû äîêàçàí àíàëîã òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äëÿ êëàññà ñèñòåì (0.0.2) ñãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì8f (z, w) = z 2 + Pn (w), îòâå÷àþùèì ìíîãî÷ëåíó Pn (w) ñòåïåíè n ∈ N ñ ïðîñòûìè âåùåñòâåííûìè êîðíÿìè, â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî óðîâíÿ f −1 (0) (ñì.òåîðåìû 25 è 26).

Äëÿ òàêèõ ñèñòåì ëàãðàíæåâû ñëîè f −1 (ξ) ãîìåîìîðôíûn−1ñôåðå ñ [ n−12 ] ðó÷êàìè è n − 2[ 2 ] ïðîêîëàìè, à ïðè n ≥ 3 ñèñòåìà îáëàäàåòíåïîëíûìè ïîòîêàìè.Äðóãîé âàæíîé ïðîáëåìîé â òåîðèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ñèñòåì ñ òî÷íîñòüþ äî ðàçëè÷íûõ îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè.  òåîðèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñêîëüêî îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ñèñòåì: ãàìèëüòîíîâà ýêâèâàëåíòíîñòü (îçíà÷àþùàÿ ñóùåñòâîâàíèå ñèìïëåêòîìîðôèçìà ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ,ïåðåâîäÿùåãî ãàìèëüòîíèàí îäíîé ñèñòåìû â ãàìèëüòîíèàí äðóãîé ñèñòåìû ñòî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé êîíñòàíòû), òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîïðÿæåííîñòü, òðàåêòîðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü, òîïîëîãè÷åñêàÿ ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü è äðóãèå. Ïåðå÷èñëåííûå âûøå îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè óïîðÿäî÷åíû îò íàèáîëåå ñèëüíîãî äî íàèáîëåå ñëàáîãî.

Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì â ïîñëåäíèå ãîäû èññëåäîâàëèñü â ðàáîòàõ À.Ò. Ôîìåíêî [23], [25], [26], À.Â. Áîëñèíîâà [3], [4], À.À. Îøåìêîâà [19], Ì. Àäëåðà,Ï. âàí Ìåðáåêå [31], [32], Ë. Ãàâðèëîâà [38], Â.Â. Êîçëîâà [14] è äðóãèõ.Âàæíûì êëàññîì ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì (0.0.2) ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìû ñ ïîëèíîìèàëüíûì ãàìèëüòîíèàíîì f ìàëîé ñòåïåíè. Ýòî îáóñëîâëåíî ïðåæäå âñåãîòåì, ÷òî òàêèå ñèñòåìû ëèáî ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè ïî Ëèóâèëëþ, ëèáîäîïóñêàþò âëîæåíèå â èíòåãðèðóåìûå ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû.

Ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ àêòóàëüíûìè çàäà÷à î êëàññèôèêàöèè òàêèõ ñèñòåìñ òî÷íîñòüþ äî ãàìèëüòîíîâîéýêâèâàëåíòíîñòè,9à òàêæå çàäà÷à î ïîñòðîå-íèè êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòäåéñòâèå-óãîë(èëè èõ àíàëîãîâ) â îêðåñòíîñòèíåîñîáîãî ëàãðàíæåâà ñëîÿ òàêîé ñèñòåìû. Ðåøåíèþ ýòèõ çàäà÷, â ñëó÷àå ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ ìàëîé ñòåïåíè, ïîñâÿùåíà âòîðàÿ ãëàâàäèññåðòàöèè (ñì. òåîðåìû 12, 13, 14, 15, 19, ëåììó 2.5.2 è ñëåäñòâèÿ 2.2.2,2.4.6, 2.4.7, 2.5.7, 2.5.8).Áîëåå ñëàáûì îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿòîïîëîãè÷åñêàÿ ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü,ïîä êî-òîðîé áóäåì ïîíèìàòü ñóùåñòâîâàíèå ãîìåîìîðôèçìà ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ,ïåðåâîäÿùåãî ëàãðàíæåâû ñëîè îäíîé ñèñòåìû â ëàãðàíæåâû ñëîè äðóãîé ñèñòåìû.

Òàêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îáîáùàåò èçâåñòíóþíîñòüëèóâèëëåâó ýêâèâàëåíò-äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Ëèóâèëëå-âà ýêâèâàëåíòíîñòü èññëåäîâàëàñü â ðàáîòàõ À.Ò. Ôîìåíêî [23], [25], [26],À.Â. Áîëñèíîâà [3], [4], À.À. Îøåìêîâà [19], Íãóåí Òüåí Çóíã [41], [42], Ë. Ãàâðèëîâà [38], È.À. Òàéìàíîâà [20], Ë. Áåéòñà [33] è äðóãèõ.  îòëè÷èå îò áîëüøèíñòâà ýòèõ ðàáîò, â íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè íå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîëíîòà ãàìèëüòîíîâûõ ïîòîêîâ.

Áîëåå òîãî, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ãàìèëüòîíîâû ïîòîêè íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè.  ÷àñòíîñòè, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èññëåäîâàíèåòîïîëîãèè ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, íå ÿâëÿþùèõñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîðñîâñêèìè (ëîêàëüíàÿêëàññèôèêàöèÿîñîáåííîñòåéëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ), à òàêæå êëàññèôèêàöèÿ ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ (ïîëóëîêàëüíàÿêëàññèôèêàöèÿîñîáåííîñòåé ëàãðàíæåâàñëîåíèÿ).

Ðåøåíèþ ýòèõ çàäà÷, â ñëó÷àå ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ, ïîñâÿùåíà òðåòüÿ ãëàâà äèññåðòàöèè (ñì. ïðåäëîæåíèÿ 3.2.1, 3.2.3, òåîðåìó 24).10Äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ãëàâ. ïåðâîé ãëàâå èçó÷àåòñÿ òîïîëîãèÿ íåîñîáîãî ñëîÿ {f (z, w) = ξ} ⊂ C2 ,ξ ∈ C, ÷åòûðåõìåðíàÿ îêðåñòíîñòü íåîñîáîãî ñëîÿ è ÷åòûðåõìåðíàÿ îêðåñòíîñòü áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê, äëÿ íåâûðîæäåííîãî ìíîãî÷ëåíà äâóõêîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ f (z, w) − ξ , òî åñòü ìíîãî÷ëåíà, îãðàíè÷åíèå (f −ξ)|Γ êîòîðîãî íà ëþáóþ ãðàíü Γ ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà íå èìååò êðèòèT÷åñêèõ òî÷åê â (C \ {0})2 {(z, w) ∈ C2 | (f − ξ)|Γ = 0}, óäîâëåâòâîðÿþùåìó ñëåäóþùåìó óñëîâèþ (i): äëÿ ëþáîé òî÷êè (u, v) ∈ P ïðÿìîóãîëüíèêconv{(0, 0), (u, 0), (0, v), (u, v)} ⊂ P , ãäå P ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà ìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ . Òàêæå èçó÷àåòñÿ ïîïîëíåíèå äàííîãî ñëîÿ îòíîñèòåëüíîìåòðèêè ïîïîëíåíèÿ ρξ , ïîðîæäåííîé êîñîñèììåòðè÷íûì âåêòîðíûì ïîëåì.Òîïîëîãèÿ ñëîÿ è îñîáåííîñòè êîñîñèììåòðè÷íîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ îïèñàíûâ òåðìèíàõ ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Tξ = {(z, w) ∈ C2 |f (z, w) = ξ} íåîñîáûé ñëîé íåâûðîæäåííîãî ìíîãî÷ëåíà f (z, w), ÷åðåç ng êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åêñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, ÷åðåç nµ óâåëè÷åííîå íà åäèíèöóêîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê íà ñòîðîíàõ ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè.

Òîãäà âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, âûòåêàþùàÿèç ðàáîòû À.Ã. Õîâàíñêîãî [29].Òåîðåìà 1(À.Ã. Õîâàíñêèé).÷ëåí. Òîãäà íåîñîáûé ñëîéáåçnµTξÏóñòüf (z, w) − ξ íåâûðîæäåííûé ìíîãî-ñâÿçåí è äèôôåîìîðôåí ñôåðå ñngðó÷êàìè,òî÷åê.Âîçíèêàåò çàäà÷à óòî÷íåíèÿ òåîðåìû 1 â ñëó÷àå, êîãäà (C2 , dz∧dw, f (z, w)) èíòåãðèðóåìàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà.

 äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå áûë ïðåä11ëîæåí ìåòîä ïîïîëíåíèÿ èñõîäíîãî ñëîÿ îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè åñòåñòâåííûìîáðàçîì ñâÿçàííîé ñ ãàìèëüòîíîâûì âåêòîðíûì ïîëåì, à èìåííî: èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ãàìèëüòîíîâà âåêòîðíîãî ïîëÿ ñîâïàäàþò ñ ãåîäåçè÷åñêèìèìåòðèêè êàê ïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå. Çàìåòèì, ÷òî ïîõîæèå êîíñòðóêöèèèñïîëüçîâàëèñü â ðàáîòàõ Ñ.Ï. Íîâèêîâà([43], [44]) è Ë. Áåéòñà([34]). Òàêîéïîäõîä ïîçâîëèë ñâÿçàòü çàäà÷ó óòî÷íåíèÿ òåîðåìû 1 ñ çàäà÷åé èññëåäîâàíèÿïîëíîòû èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.Òåîðåìà 2. Ïóñòüf (z, w) − ξ0 íåâûðîæäåííûé ìíîãî÷ëåí îòíîñèòåëü-Pf −ξ0 ,íî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà ÍüþòîíàíàPf −ξ0óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþíèå 1.1.1).Òîãäà ñóùåñòâóþò1) äëÿ ëþáîé ñòîðîíûΓl(i)ε>0ïðè÷åì ìíîãîóãîëüíèê Íüþòî-âûøå, èèR > 0,dim Pf −ξ0 = 2 (ñì.

îïðåäåëåòàêèå ÷òîìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, íå ëåæàùåé íà êî-îðäèíàòíûõ îñÿõ, ñóùåñòâóþò ðîâíînΓl2\ {0}) → C2 , 1 ≤ n ≤ nΓl ,(Dξ20 ,ε ) × (D0,εòàêèõ ÷òîf ◦ JΓl ,n (ξ, u) = ξ,2(ξ, u) ∈ Dξ20 ,ε × (D0,ε\ {0}),ãîëîìîðôíûõ âëîæåíèéJΓl ,n :JΓ∗l ,n ωC = u(1−u0 )αΓl +(1−v0 )βΓl −1 dξ ∧ du,ãäånΓl + 1ëåííûìè êîîðäèíàòàìè íà ñòîðîíåðàâíî êîëè÷åñòâó òî÷åê ñ öåëî÷èñ-Γl , (αΓl , βΓl ) íåñîêðàòèìûé âåêòîðΓl , è (u0 , v0 ) ∈ Γl ëþáàÿ òî÷êà íà Γl ;P2) îáðàçû âñåõ ýòèõ nµ =l nΓl âëîæåíèé (îòâå÷àþùèõ îäíîé è òîé æåâíåøíåé íîðìàëè ñòîðîíûñòîðîíå, íî ðàçíûì çíà÷åíèÿìn,ëèáî ðàçíûì ñòîðîíàì ìíîãîóãîëüíèêàÍüþòîíà) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è îáúåäèíåíèå ýòèõ îáðàçîâ ñîäåðæèò4f −1 (Dξ20 ,ε ) \ D0,R(ò.å.

äîïîëíåíèå ýòîãî îáúåäèíåíèÿ âà ïîòîìó êîìïàêòíî).12f −1 (Dξ20 ,ε ) îãðàíè÷åíî,Ê ðåçóëüòàòàì ïåðâîé ãëàâû îòíîñÿòñÿ òåîðåìà 11, â êîòîðîé áûëè ââåäåíû êîîðäèíàòû (ξ, u) â ÷åòûðåõìåðíîé îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííûõòî÷åê, ïðè÷åì êîîðäèíàòà ξ ïîñòîÿíà íà ñëîå, à êîîðäèíàòà u çàäàåò îêðåñòíîñòü áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè íà ñëîå Tξ , ñëåäñòâèå 1.3.4, îïèñûâàþùååïîïîëíåíèå Tξ íåîñîáîãî ñëîÿ Tξ îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè gξ , à òàêæå îïèñûâàþùåå â òåðìèíàõ ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà êëàññèôèêàöèþ ñèñòåì íà ñëîÿõñ òî÷íîñòüþ äî òðàåêòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Âî âòîðîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ êëàññèôèêàöèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ òî÷íîñòüþ äî ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè â ñëó÷àå ãèïåðýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà âèäà f = z 2 + Pn (w), n = 1, 2, 3, 4. Êðîìå òîãî, â ýòîé ãëàâåäîêàçàíà ïîëíîòà ãàìèëüòîíîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ïðè n = 1, 2, ïîñòðîåíîâëîæåíèå ïðè n = 3, 4 òàêèõ ñèñòåì âî âïîëíå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâûñèñòåìû, îïèñàíà òîïîëîãèÿ íåîñîáûõ ñëîåâ, à òàêæå ïîñòðîåíû êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòè íåîñîáûõ ñëîåâ, ñì.

òåîðåìû 12, 13, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Hn (a, bn , . . . , b0 ) C-ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó (C2 , dz∧dw, f (z, w))ñ ãàìèëüòîíèàíîì f (z, w) = az 2 +bn wn +· · ·+b1 w+b0 , a, bn , . . . , b0 ∈ C, abn 6= 0. ñëåäóþùåé òåîðåìå ñîáðàíû ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ãëàâû, îòíîñÿùèåñÿ ê êëàññèôèêàöèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ òî÷íîñòüþ äî ãàìèëüòîíîâîéýêâèâàëåíòíîñòè.Òåîðåìà 3.