Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате, страница 2

Сходство результатов, вероятно, связано с общим дляклассического и квантового случая механизмом образования волн.Таким образом, один из механизмов распада турбулентного состояния при малых температурах обнаруживает сходство с классическим явлением излучения звука вихревымкольцом. Связанный со перезамыканием вихрей механизм рассеяния энергии турбулентности характерен для квантовой жидкости. Образующиеся в этом случае импульсы разрежения, распространяясь, эволюционируют в звуковые волны. Следует отметить, что,в отсутствие вязкости, столкновение вихрей является важным фактором, возмущающимдвижение вихревых колец; в связи с этим, явление перезамыкания вихрей приобретаетпервостепенное значение для обоих механизмов распада турбулентности.В четвертой главе изучается закон эволюции предоставленного самому себе хаотического однородного и изотропного вихревого клубка в бесконечном пространстве.

Крометого, приведен вывод выражений для вероятностей слияния и распада вихревых петель.71.022550751001250.150.21500.980.960.9410.80.60.40.20.050.10.25Рис. 2: Зависимость плотности конденсата от времени в точке (x1 , x2 , x3 ) = (22.5, 0, 0)(верхний график); спектр участка 110 < t < 180 (нижний график).Температура предполагается настолько малой, что плотностью нормальной компоненты и взаимным трением можно пренебречь. Основным результатом является закон (7)быстрого, существенно нестационарного распада плотного вихревого клубка.Турбулентность в бозе-конденсате рассматривается как хаотический клубок вихревыхнитей, взаимодействующих при их пересечении.

В численных экспериментах, основанных на уравнении Гросса-Питаевского, установлено, что при сближении вихревых нитей сдостоверностью происходит их перезамыкание, сопровождающееся излучением волн (импульсов разрежения) и возмущением самих нитей. В рассматриваемой в работе моделисостояние в момент времени t задается функцией распределения n(l, t) вихревых петельпо длинам. Перезамыкания нитей могут влиять на функцию распределения двояким образом: перезамыкание может приводить к слиянию двух петель длинами l1 и l2 в одну петлюдлиной l 6 l1 + l2 или к распаду одной петли длиной l на две длинами l1 и l2 , l1 + l2 6 l.Эти процессы могут сопровождаться излучением фононов.Вероятности перезамыкания вычислены в предположении о броуновском случайномблуждании петель и выражаются формулами:A(l1 , l2 , l) = bm Vl l1 l2 ,3B(l1 , l2 , l) = bs Vl l(ξ0 l1 )− 2 .(1)Здесь bm , bs – некоторые константы, Vl – характерная скорость вихревых нитей, связаннаяс радиусом кривизны нити ξ соотношением Vl = κξ , где κ–квант циркуляции, в безразмерных единицах равный 2π.

Величина ξ0 обозначает средний радиус кривизны вихревых нитей и является основным параметром теории. Рассматриваемая модель применима только8на масштабах, превосходящих ξ0 . Исследовано стационарное решение кинетического уравнения для состояния n(l, t):∂n(l, t)= I0 [n(l, t)] ,(2)∂tгде интеграл столкновений I0 имеет видI0 [n(l, t)] =Z= A(l1 , l2 , l)n(l1 , t)n(l2 , t)δ(l − l1 − l2 )dl1 dl2Z− A(l1 , l, l2 )n(l, t)n(l1 , t)δ(l2 − l1 − l)dl1 dl2Z− A(l2 , l, l1 )n(l, t)n(l2 , t)δ(l1 − l2 − l)dl1 dl2Z− B(l1 , l2 , l)n(l, t)δ(l − l1 − l2 )dl1 dl2Z+ B(l, l2 , l1 )n(l1 , t)δ(l1 − l2 − l)dl1 dl2Z+ B(l, l1 , l2 )n(l2 , t)δ(l2 − l1 − l)dl1 dl2 .Изучается поведение плотности (полной длины) вихревых нитейZL(t) = ln(l, t)dl.(3)(4)Установлено, что полная длина вихревых нитей в стационарном состоянии имеет видL=Z∞ln(l)dl = 2ξ0CVLD,ξ02(5)где CVLD –некоторая константа порядка единицы.

Этим показано, что среднее расстояние1между вихревыми нитями L− 2 в стационарном состоянии имеет порядок среднего радиусакривизны ξ0 — факт, обнаруженный ранее в численных экспериментах.Целью настоящей работы является выяснение закона убывания плотности вихревыхнитей L(t) в бозе-конденсате за счет потерь энергии на излучение в акте перезамыканиянитей.

Величина потери длины вихревой нити вычислена на основе уравнения ГроссаПитаевского. Известно, что потеря длины при перезамыкании составляет несколько безразмерных единиц длины. В данной работе потеря длины при каждом перезамыканиипредполагается постоянной и равной ∆l.Пусть при каждом слиянии петель теряется длина ∆l, а при распаде вихревой петли. Исходя из этих предположений, можно записать новыйобе новые петли теряют длину ∆l29интеграл столкновений, учитывающий диссипацию энергии при перезамыкании:I [n(l, t)] =Z= A(l1 , l2 , l)n(l1 , t)n(l2 , t)δ(l + ∆l − l1 − l2 )dl1 dl2Z− A(l1 , l, l2 )n(l, t)n(l1 , t)δ(l2 + ∆l − l1 − l)dl1 dl2Z− A(l2 , l, l1 )n(l, t)n(l2 , t)δ(l1 + ∆l − l2 − l)dl1 dl2Z∆l∆l− B(l1 +, l2 +, l)n(l, t)δ(l − ∆l − l1 − l2 )dl1 dl222Z∆l∆l+ B(l +, l2 +, l1 )n(l1 , t)δ(l1 − ∆l − l2 − l)dl1 dl222Z∆l∆l, l1 +, l2 )n(l2 , t)δ(l2 − ∆l − l1 − l)dl1 dl2 ,+ B(l +22(6)Умножая уравнение∂n(l, t)= I [n(l, t)]∂tна l и интегрируя по l, получаем уравнение для L(t) – основную теорему настоящей главы:Теорема 1 Пусть состояние вихревого клубка описывается плотностью распределенияпетель по длинам n(l, t).

Пусть эволюция состояния во времени определяется кинетическим уравнением с интегралом столкновений (6). Тогда изменение полной длиныRL(t) = ln(l, t)dl описывается уравнением#"dLε+112−2 ,2p= −∆lbm Vl L (t) − 2bs Vl L(t)dtξ01 + ε/2. 1 можно, разложив выражение в квадратных скобках в ряд околокотрое при ε = ∆lξ0ε = 0, записать в видеdL3bs Vl ∆l= −bm Vl ∆lL2 (t) −L(t),(7)dtξ02где для Vl имеет место оценка Vl ∼ ξκ0 .Полученное уравнение определяет закон убывания плотности вихревых нитей за счетизлучения при перезамыкании. Отметим, что уравнение (7) для первого момента распределения n(l, t), являясь точным для модели (6), не содержит высших моментов при любых значениях параметров ∆l, ξ0 , в частности, для высоких плотностей турбулентности.Таким образом, уравнение (7) может описывать быстрые, существенно нестационарныережимы эволюции вихревого клубка, когда распределение вихревых петель по длинамсущественно отличается от стационарного и соотношение (5) не выполняется.Теорема 2 Решение задачи Коши для уравнения (7) имеет видL(t) =L(0)3bs Vl ∆l/ξ02223bs Vl ∆l/ξ02 e3bs Vl ∆l/ξ0 t + L(0)bm Vl ∆l e3bs Vl ∆l/ξ0 t − 110(8)ξ2При t 3bs V0l ∆l решение имеет характер L(t) =ны L вдвое равноL(0),1+bm Vl ∆lL(0)tа время убывания величи-ξ0=L(0)bm κ∆l3ξ03ξ33= 0∼ L(0)−3/22bm CVLD κ∆lκ∆l 0.86bsτ1 =в предположении, что для начального состояния выполнено (5).

При больших t (t >величина L убывает экспоненциальноL(t) =(9)ξ02)3bs Vl ∆lL(0)3bs Vl ∆l/ξ022e−3bs Vl ∆l/ξ0 t23bs Vl ∆l/ξ0 + bm Vl ∆lL(0)с характерным временемτ2 =ξ03 1∼ L(0)−3/2 ,κ∆l 3bs(10)таким, что ττ21 ∼ 10.При распаде согласно уравнению Вайнена, время, за которое величина L уменьшаетсяв два раза, равно3ξ2∼ L(0)−1τ= 0κ 2CVLD CVinenи, в отличие от (9),(10), зависит от начальной средней кривизны нитей не кубично, а квадратично. Таким образом, при достаточно больших плотностях вихревых нитей механизмраспада, связанный с излучением фононов при перезамыкании, будет превалировать и1.обеспечивать убывание L(t) согласно экспоненциальному закону, а не по закону L(t) ∼ t+aВ пятой главе изучается влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревогоклубка.В данной главе мы интересуемся поведением полного числа вихревых нитейZN(t) = n(l, t)dl.(11)Основной целью главы является получение выражения для частоты перезамыканий вихревых нитей в нестационарном состоянии.Уравнение (2) c интегралом столкновений (3) учитывает влияние как процессов рождения, так и процессов уничтожения колец, причем каждый из этих процессов сопровождается перезамыканием.

Поэтому для получения частоты перезамыканий необходимо всечлены в (2) взять со знаком “+”. Проинтегрируем теперь уравнение (2) (с надлежащимобразом расставленными знаками) по l, выбирая, где необходимо, величину ξ0 в качествепараметра обрезания снизу. В результате имеемТеорема 3 Полное число перезамыканий в вихревом клубке, описываемом кинетическимуравнением (2) c интегралом столкновений (3), дается выражениемṄ = bm Vl L2 + 2bs Vl ξ0−2L,где ξ0 – средний радиус кривизны нитей, а Vl , bs , bm – константы.11(12)Далее в данной главе проанализирована эволюция хаотического однородного и изотропного вихревого клубка в бесконечном пространстве. Мы не предполагаем, что температура низкая: учитывается и плотность нормальной компоненты, и взаимное трения.Основные результаты – уравнение (15) для частоты перезамыканий, и уравнения (18),(17) для полного числа вихревых нитей и частоты перезамыканий в существенно нестационарном вихревом клубке, состоящим из замкнутых вихревых петель.

Анализ эволюциивихревого клубка основан на уравнении марковской эволюции для распределения вихревых петель по длинам.Запишем кинетическое уравнение с учетом влияния взаимного трения на вихревойклубок:∂n(l, t) ∂n(l, t) ∂l+=∂t∂l ∂t Z=Z−Z−Z−Z+Z+A(l1 , l2 , l)n(l1 , t)n(l2 , t)δ(l − l1 − l2 )dl1 dl2A(l1 , l, l2 )n(l, t)n(l1 , t)δ(l2 − l1 − l)dl1 dl2A(l2 , l, l1 )n(l, t)n(l2 , t)δ(l1 − l2 − l)dl1 dl2(13)B(l1 , l2 , l)n(l, t)δ(l − l1 − l2 )dl1 dl2B(l, l2 , l1 )n(l1 , t)δ(l1 − l2 − l)dl1 dl2B(l, l1 , l2 )n(l2 , t)δ(l2 − l1 − l)dl1 dl2 .Вычислим скорость изменения длины петли за счет взаимодействия с нормальной компонентой, основываясь на уравнении движения петли в локальном приближении:vl = βs0 × s00 + αs0 × (Vns − βs0 × s00 ),где штрихи обозначают производные вдоль нитей s(ξ) по натуральному параметру, vl –скорость элемента нити, α, β – константы, зависящие от температуры.Используя средние, вычисленные еще Немировским для гауссовской модели вихревогоклубка:VnsIlhs0 × s00 i = √,2c2 ξ0 |Vns|1h(s0 × s00 )2 i = 2 ,2ξ0где Il и c2 – структурные константы вихревого клубка, введенные Шварцем, получаемвыражение для полной частоты перезамыканий, связанной с взаимным трением:Теорема 4 В модели вихревого клубка, описываемого кинетическим уравнением с интегралом столкновений (13), число петель, возникающих за счет взаимодействия с нормальной компонентой, равно12Z∂n(l, t) ∂l∂n(l, t)dl = −dl =Ṅ =∂t∂l ∂tZαIl Vns∂n(l, t)αβ− √ldl =− 2∂l2c2 ξ0 2ξ0αβIl VnsN(t) − 2 N(t),α√2ξ02c2 ξ0Z(14)Rгде N(t) = n(l, t)dl –полное число вихревых петель, Il , α, β, c2 –некоторые константы, зависящие от температуры.Сформулируем также "стационарную"версию последней теоремы:Теорема 5 В модели вихревого клубка, описываемого кинетическим уравнением с интегралом столкновений (13), полное число перезамыканий в стационарном состоянии приналичии нормальной компоненты, равноṄrec =√2αIl Vns c2 2L +9√2αβc32 5/2L + κ(bm + 2bs )L5/2 .9(15)Если доминирует сила, связанная с влиянием на нити поля скоростей, создаваемогосамими нитями, то первый член мал, и мы имеемṄrec ∼ L5/2 .В противном случае, если превалирует сила, обусловленная потоком нормальной компоненты, мы получаем другой закон:Ṅrec ∼ L2 .Оба результата были получены ранее из простых качественных соображений.