Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате

На правах рукописиКузьмин Павел АлександровичИзлучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния вбозе-конденсате01.01.03 – математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2009Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. ЛомоносоваНаучный руководитель:д.ф.-м.н., доцентОфициальные оппоненты:д.ф.-м.н., профессорд.ф.-м.н., профессорШугаев Федор ВасильевичБоголюбов Николай НиколаевичОсипов Владимир АндреевичВедущая организация:Вычислительный центр имени А.

А. Дородницына Российской академии наукЗащита состоится «23» апреля 2009 года в __:__ часов на заседании диссертационногосовета Д 501.002.10 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова,119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова Дом 1, строение 2,Физический факультетС диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ им.

М.В.Ломоносова.Автореферат разослан «__» марта 2009 г.Ученый секретарьдиссертационного советаГрац Ю.В.1Актуальность проблемыДанная работа посвящена важной и быстро развивающейся области теории сверхтекучести – теории турбулентности в сверхтекучей жидкости. Теория турбулентности в сверхтекучей жидкости важна для многих прикладных проблем, связанных с гелием-II. Действительно, присутствие вихревого клубка оказывает значительное воздействие на поток тепла, который не может описываться простой двухжидкостной моделью Ландау.

Использование гелия-II в таких проектах, как охлаждение сверхпроводящих магнитов илив космических приложениях, требует глубоких исследований. В последние годы, ввидуиспользования гелия в качестве жидкости для экспериментов при очень высоких числахРейнольдса, возобновился интерес к проблеме соотношения классической и квантовой турбулентности.В дополнение к важности квантовой турбулентности в перечисленных случаях, теорияхаотического вихревого клубка в He II представляет большой интерес с точки зренияобщей физики.Как часть теории сверхтекучести, теория квантовой турбулентности тесно связана сдругими областями теории сверхтекучести: теорией образования вихрей, теорией взаимодействия сближающихся вихревых нитей, с проблемой критических скоростей и вопросомо роли, которую играют квантовые вихри в фазовых переходах. Изучение квантовой турбулентности позволяет получать нестандартные решения, проливающие свет на обозначенные проблемы.Важной задачей гидродинамики является выяснение механизма распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости.

При температурах T > 1K основными факторамидиссипации оказываются вязкость нормальной компоненты и взаимное трение. В случаенизких (T < 0.1K) температур названные источники рассеяния энергии турбулентногосостояния отсутствуют, так как плотность нормальной компоненты мала. Эксперимент,однако, обнаруживает не зависящую от температуры диссипацию квантовой турбулентности.

Указана возможность распада турбулентности за счет излучения звуковых волнв акте перезамыкания вихрей (vortex reconnection) и при распространении азимутальныхволн вдоль вихревых нитей. В численном эксперименте установлена средняя мощностьизлучения возмущенного вихревого кольца, показано образование волны разрежения приперезамыкании вихрей. До сих пор, однако, остаются неясными как механизмы возникновения звуковых волн, так и относительные вклады двух названных способов излучения вэффективную кинематическую вязкость. В связи с этим представляет интерес изучениеспектральных характеристик акустических волн, излучаемых турбулентной сверхтекучейжидкостью, и динамики хаотического вихревого клубка.2Цель работыЦелью настоящей работы является изучение некоторых свойств решений уравненияГросса-Питаевского, а также развитие предложенной Немировским модели вихревого3клубка в сверхтекучем гелии.

В частности, перед автором стояли следующие задачи:• Изучение влияния потери длины нити при перезамыкании вихревых петель на динамику вихревого клубка и распад турбулентного состояния;• Установление границ применимости модели Немировского и связей с известнымигидродинамическими моделями турбулентности;• Изучение спектра звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами при их перезамыкании;• Изучение существенно нестационарных режимов эволюции и распада вихревогоклубка в сверхтекучей жидкости;• Учет влияния нормальной компоненты на вихревой клубок, изучение различныхрежимов его эволюции;• Выяснение применимости модели случайного блуждания вихревых петель к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке;• Рассмотрение других возможных моделей турбулентности в бозе-конденсате.3Методы исследованияРезультаты диссертации получены с использованием современных методов теоретическойи математической физики и функционального анализа.4Научная новизнаВсе основные научные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, и состоят в следующем:• Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании.Отмечено сходство с классическим случаем.• Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей.

Установлены границы применимости моделии ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности.• В предложенной модели обнаружены точные решения. Таким образом, найденаеще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейноеинтегро-дифференциальное уравнение в частных производных.• Впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате. Изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.4• Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изученыразличные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее.• При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изученыпроцессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Определенывремена и законы релаксации.• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик нанекотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенберга иВирасоро.

Тем самым, получен ряд интегрируемых обобщений уравнения КамассыХолма, вероятно, описывающих турбулентное движение в капиллярах.5Практическая и теоретическая ценностьДиссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в гидродинамике, теории квантовой турбулентности, теории интегрируемых систем.6Апробация работыРезультаты диссертации докладывались:• на семинаре кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В. Ломоносова;• на семинаре кафедры низких температур Московского энергетического института,2008 год;• на семинаре по статистической механике ЛТФ им.

Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, Дубна,2008 год;• на семинаре отдела механики Математического института им. В.А. Стеклова РАН,2008 год;• на конференции «Ломоносовские чтения» в МГУ, 2007 год;• на конференции молодых ученых «Ломоносов» в МГУ, 2006 год;• на международной конференции «Fluxes and Structures in Fluids», С.-Петербург, 2007г.;• на международной конференции WEHSFF-2007, Москва, 2007 год.57ПубликацииРезультаты автора по теме диссертации опубликованы в девяти работах список которыхприводится в конце автореферата.

Пять работ [1, 2, 3, 4, 5] опубликованы в изданиях,входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных журналов иизданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.8Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка литературы, содержащего 55 наименований. Общий объем работы – 85 страниц.9Содержание работыВо введении кратко изложена история вопроса, показана актуальность темы, сформулированы основные задачи и результаты диссертации.Во второй главе кратко описано современное состояние теории квантовой турбулентности, основные теоретические и вычислительные модели, экспериментальные техники.В третьей главе проведено численное моделирование процесса столкновения и перезамыкания вихревых колец.Простейшее описание динамики слабо взаимодействующего бозе-газа дает уравнениеГросса-Питаевского – уравнение Хартри для одночастичной волновой функции системывзаимодействующих бозонов:2i∂ψ= −∆ψ − (1 − |ψ|2)ψ.∂tОдним из основных факторов, возмущающих свободное движение вихревых колец, является перезамыкание вихрей.

Солитонные решения уравнения Гросса-Питаевского определяются двумя условиями. Первое условие соответствует требованию убывания на бесконечности возмущения, вызванного солитоном:|ψ(x)| → 1, |x| → ∞.Потребуем также сохранения формы солитона при распространении: для каждого значения U скорости движения солитонаψ(x1 , x2 , x3 , t) = ψ(x1 , x2 , x3 − Ut).Тогда для любого фиксированного t уравнение Гросса-Питаевского примет вид:2iU∂ψ= ∆x0 ψ + (1 − |ψ|2)ψ,∂x03lim |ψ| = 1.|x0 |→∞6Решения такой краевой задачи и определяют солитоны уравнения Гросса-Питаевского.Вихревые кольца построены методом Ньютона, основанным на методе взаимных градиентов.t=60t=40t=70t=80Рис. 1: Поверхности уровня плотности конденсата в различные моменты времени.На рис. 1 представлена характерная картина перезамыкания вихревых колец.

Перезамыкание колец приводит также к образованию двух волн разрежения, распространяющихся в направлении, перпендикулярном к плоскости, проведенной через оси вихревых колец.По мере распространения от места столкновения импульсы разрежения эволюционируютв звуковые волны.Считается, что причиной возникновения таких волн являются возмущенные при столкновении колеблющиеся вихревые кольца. Спектр указанного участка обнаруживает ярковыраженный узкополосный характер (рис. 2), который, очевидно, объясняется описаннымвыше механизмом образования звуковых волн.Полученные результаты для формы спектра согласуются с экспериментальными данными для классической жидкости.