Уравнения Навье-Стокса и их модификации для решения задач газовой динамики

Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваНа правах рукописиХОХЛОВ Антон АлександровичУРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА И ИХМОДИФИКАЦИИДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙДИНАМИКИСпециальность 05.13.18 — “Математическоемоделирование, численные методы и комплексыпрограмм”АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква2007Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМГУ им. М.В.

Ломоносова.Научный руководительдоктор физико-математических наук, профессорТ.Г.ЕлизароваОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук А.Е.Луцкийкандидат физико-математических наук Е.В.ШильниковВедущая организация:Институт проблем механики Российской Академии НаукЗащита состоится “”2007 г. вчас.мин. на заседании диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете имени М.В.

Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет,.ауд.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.Автореферат разослан “”Ученый секретарьдиссертационного совета К 501.001.17,доктор физико-математических наук2007 г.П.А.ПоляковОбщая характеристика работыАктуальностьАктуальными задачами численного моделирования газодинамических течений являются задачи с внешними источники энергии. Ктаким проблемам относятся расчеты течений излучающего газа, исследование возможностей управления потоками с помощью энерговложения, расчеты активных сред в резонаторах газовых лазеров,задачи горения и многие другие практически важные вопросы.Эффективным подходом к численному решению задач газовойдинамики является использование численных алгоритмов, основанных на квазигазодинамических (КГД) уравнениях [1], [2], [3], которые можно рассматривать как модификации уравнений НавьеСтокса.Дополнительные слагаемые, отличающие эти уравнения от системы Навье—Стокса, носят диссипативный характер и выполняютроль искусственных регуляризаторов для разностных алгоритмоврешения задач вязкой аэродинамики.

Однако соответствующие выражения были получены в предположении об отсутствии внешнихисточников и стоков тепла.Цели работыОсновные цели настоящей работы:1. Обобщение КГД системы для случая течений с внешними источниками или стоками энергии таким образом, чтобы КГДуравнения имели диссипативный характер.2. Создание и тестирование соответствующего комплекса программдля неструктурированных пространственных сеток.

Сопоставление вычислительных характеристик КГД алгоритма и алгоритма, основанного на системе Навье-Стокса.3. Численное моделирование влияния процесса ионизации газа на1характеристики програничного слоя (вблизи поверхности) с целью управления сопротивлением летательного аппарата.Научная новизна работы1. Используя методику [2],— вывод КГД уравнений для неподвижного объема — эти уравнения впервые обобщаются на случайтечений вязкого газа с внешними источниками тепла. Для построенных уравнений доказана теорема о неубывании полнойтермодинамической энтропии, что демонстрирует диссипативный характер построенной модели.2. На примере задач сверхзвукового течения вязкого газа в ударной волне и в окрестности пластины продемонстрированы преимущества и недостатки КГД модели и модели Навье—Стокса.3.

Показано, что аккуратный учет коэффициента второй вязкости позволяет с точностью порядка 30% моделировать профильплотности в ударной волне на основе газодинамических уравнений. Раньше считалось, что такая точность достигается толькона основе существенно более сложных кинетических моделей.Научная и практическая значимость работы1.

Разработанная математическая модель для расчета течений свнешними тепловыми источниками реализована в виде комплекта программ для решения задач на неструктурированныхсетках в областях сложной формы. Программы оптимизированы и оттестированы и могут использоваться для расчетов широкого круга нестационарных сверхзвуковых и дозвуковых течений.2. Проведено численное моделирование течения умеренно разреженного газа вблизи пластины в зоне действия электрического разряда.

В результате расчетов сделаны оценки параметровэксперимента для изучения возможностей управления пограничным слоем с целью уменьшения силы сопротивления аппарата.2Результаты, выносимые на защиту:1. Построены квазигазодинамические уравнения для описания течения вязкого газа с внешними источниками энергии. Построено уравнение баланса энтропии, доказывающее диссипативныйхарактер полученной модели.2. Разработан численный алгоритм расчета нестационарных газодинамических течений с внешним энергоподводом с использованием неструктурированных сеток. Тестирование алгоритма(в отсутствие энергоподвода) проведено на задачах о дозвуковом течении в следе за круговым цилиндром и сверхзвуковомтечении в окрестности плоской пластины.3. С целью оптимизации параметров экспериментальной установки проведено параметрическое исследование задачи о сверхзвуковом обтекании пластины в присутствии электрического разряда в условиях умеренно разреженного газа.

Получены оценкидля параметров экспериментальной установки.4. Решена задача о структуре фронта ударной волны в аргонеи азоте. Показано существенное влияние второй вязкости наформу профиля плотности для умеренно разреженных течений. Продемонстрировано, что форма профиля плотности, вычисленная с помощью уравнений Навье-Стокса, соответствуетданным натурных экспериментов существенно лучше, чем считалось ранее.5. На примере задач о течении в окрестности пластины, в следеза цилиндром и в ударной волне проведено сопоставление эффективности подходов КГД и НС и сделаны выводы о целесообразности и эффективности того и другого метода в конкретныхзадачах.Апробация работыРезультаты, полученные в диссертации, представлялись на следующих конференциях:31.

Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов 2005”, Москва, 2005,2. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов 2006”, Москва, 2006,3. Международная конференция “Тихонов и современная математика”, Москва, 2006,4. ICFD Conference on Numerical Methods for Fluid Dynamics, London,2007,5. 2nd European Conference for Aerospace Science, 1-6 July, Brussels,2007,а также семинарах:1. в институте проблем механики РАН (Москва, 11 апреля 2007г.),2.

на кафедре молекулярной физики (Москва, физический факультет МГУ, 25 апреля 2007 г.),3. в институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН(Москва, 31 мая 2007 г.).Результаты использовались при создании коммерческого пакетапрограмм для расчета пространственных нестационарных вязкихтечений в рамках научного центра GDT Software Group (Тула).Работа выполнена при при поддержке гранта РФФИ 05-07-90230.ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в 8 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.Объем и структура диссертацииДиссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 3 приложений. Общий объем диссертации 108 страниц. Диссертация содержит4 таблицы, 54 рисунка и список литературы из 63 названий.4Содержание диссертацииВо введении обоснована актуальность темы диссертации, данахарактеристика работы и краткое изложено содержание по главам.В первой главе производится вывод КГД уравнений с источниками тепла.

Используется методика, описанная в [2]. Полученныеуравнения имеют вид:∂∂ji = 0,ρ+∂t∂xi∂∂∂∂ρui +jj ui +p = ρ⋆ Fi +Πji ,∂t∂xj∂xi∂xj 2 2∂uu∂p∂ρ+ε +ji+ε+qi =+∂t2∂xi2ρ∂xi= ji Fi +∂Πij uj + Q,∂xiгде введены обозначения:∂∂τρui uj +p − ρFi ,ji = ρ(ui − wi ), wi =ρ ∂xj∂xi∂ρ⋆ = ρ − τρuk ,∂xk1 ∂∂uj +p − Fj +Πij = ΠNS ij + τ ρui uk∂xkρ ∂xj∂∂+ τ δij ukp + γpuk − (γ − 1)Q ,∂xk∂xk∂∂2∂uj +ui − δijuk ,ΠNS ij = η∂xi∂xj3 ∂xk∂ 1 Q∂ε + puj−,qi = qNS i − τ ρui uj∂xj∂xj ρρ∂qNS i = −κT.∂xi5Здесь p, ui , ρ, T — давление, скорость, плотность и температура газа, Fi — компоненты внешней силы, Q — мощность тепловыхисточников.

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.Для этих уравнений получена формула для производства энтропии22∇TΠNS ij ΠNS ij τ ρ1 ∂∂X =κ++ui +p − Fi +ukT2ηTT∂xkρ ∂xi22τρ∂τpp ∂QQ∂++ 2ε+ui −ρui + ,uiTε∂xiρ ∂xiρρ T ∂xiT⋆где−1∂∂Q1uiε + (γ − 1)ui −,T⋆ = T · 1 + τε ∂xi∂xiερоткуда следует, что при условии малости параметра τ производствоэнтропии является неотрицательным. Приведенное выражение в отсутствие источников тепла совпадают с ранее выведенными, например, в [2], а при τ = 0 — с соответствующим выражением для уравнений Навье-Стокса.Во второй главе излагается алгоритм решения КГД уравненийна треугольной сетке.

Используется метод конечного объема [3] дляапроксимации пространственных производных и явная схема по времени. Рассматриваются вопросы быстродействия такого алгоритмадля нынешнего поколения вычислительных машин.Далее затрагивается вопрос о возможности автоматической настройки шага по времени в задачах установления и приводится соответствующий эвристический алгоритм. Обосновывается необходимость подобной автоматизации.Третья глава посвящена тестированию алгоритма на задаче обобтекании прямого кругового цилиндра с образованием дорожкиКармана. Полученный в численном эксперименте период колебанийсравнивается с вычисленным по формулеT =D,u0 Sh6где D — диаметр цилиндра, u0 — скорость невозмущенного потока,Sh — число Струхаля, зависящее лишь от числа Рейнольдса. Моделирование проводилось для Re = 9032.52000215001.5100015000.500123450.30.40.5600−2−400.10.20.6Рис.

1: Дорожка Кармана. Вверху: график u2 (x, y) в некоторый момент времени, показана расчетная сетка. Внизу: зависимость вертикальной компонентыскорости uy от времени t в точке (x = 2.5 м, y = 2 м).Расчетная сетка и зависимость вертикальной компоненты скорости от времени в некоторой фиксированной точке изображены нарисунке 1.Период, полученный в численном эксперименте отличается от вычисленного не более, чем на 10%, что вполне объяснимо конечнымразмером сетки. Проводится вычисление на более подробной сетке, что позволяет улучшить этот результат.

Окончательное значение Texp = 0.057 сек, вычисленное теоретически значение — T =7Рис. 2: Обтекание пластинки: схема экспериментальной установки.0.053 сек.В четвертой главе решается задача об обтекании горизонтальной пластинки при наличии (модельного) электрического разрядавблизи ее поверхности. Работа проводилась в сотрудничестве с экспериментальной группой, проводившей моделирование методом МонтеКарло и эксперимент в аэродинамической трубе. Упрощенная схемаэкспериментальной установки приведена на рисунке 2.Использование КГД уравнений позволило значительно сократитьвремя счета и получить результат за приемлемое время, даже используя схему первого порядка. На рисунке 3 показаны профилискорости, полученные при помощи разных методов. Таблица 1 демонстрирует преимущество КГД подхода.Были получены профили скорости, согласующиеся с экспериментом в отсутствие разряда, а также оценены тепловая мощность ивеличина электрического поля в разряде, при которых воздействие80.05y, m0.040.030.020.0100100200300ux, m⋅ s−1400500600Рис.

3: Обтекание пластинки: сравнение методов между собой. Профили скорости для x = 0.1м. Тонкая сплошная линия — Монте-Карло, толстая сплошная— КГД, штриховая — Навье-Стокс.Шаг счетаКоличество шагов до сходимостиОбщее время вычисленияКГД5 · 10−62005 минНавье-Стокс3 · 10−7330087 минТаблица 1: Обтекание пластинки: сравнение времени счета при помощи методаКГД уравнений (τ 6= 0) и Навье-Стокса (τ = 0).на характер обтекания пластинки становится заметным. Влияниеэлектрического поля и нагревания на профиль скорости показанона рисунке 4. Примечательно, что согласия с экспериментом удается достичь даже на простой модели без учета реальной структурыполя и эффектов взаимодействия поля с плазмой (как, например, в[4]).В пятой главе рассматривается задача о структуре фронта одномерной ударной волны в аргоне и азоте.