Устойчивость ударных и детонационных волн и их взаимодействие с малыми возмущениями, страница 3

Рассчитанаструктура слабой ударной волны посредством численного решения системы гидродинамических уравнений для вязкой и теплопроводной жидкости.В разделе 3.2 рассмотрена общая система гидродинамических уравнений для возмущений в приближении Навье-Стокса. Проанализировановстречное взаимодействие ударной волны со звуковой волной (рис. 5). Возмущения, возникающие при таком взаимодействии по обе стороны от фрон10Рис. 6: Зависимость коэффициента прохождения D от числа ПрандтляP r : p = 0.1 атм, M = 1.3, ω̃ = 6. Асимптота D = 0.925 соответствует случаю χ = 0 (P r → ∞), минимальное значение коэффициента прохожденияD = 0.082 соответствует P r = 4.5.та, должны удовлетворять физическому условию: в области за фронтомударной волны могут существовать только моды, распространяющиеся всторону нагретого равновесного газа.При этом (по сравнению с задачами рассмотренными в предыдущейглаве), набор мод существенно меняется — добавляются диссипативныемоды, связанные с учетом вязкостных эффектов.

Перед фронтом ударной волны распространяются падающее возмущение и две диссипативныемоды, а за фронтом возможно существование трех независимых мод —звуковой прошедшей, тепловой и диссипативной.В разделе 3.3 приведены основные результаты численных расчетов.Для определения сравнительной роли вязкости и теплопроводности рассмотрена зависимость коэффициента прохождения от числа ПрандтляP r = ν/χ, где ν — коэффициент динамической вязкости, χ — коэффициенттемпературопроводности. Отдельно исследованы два предельных случаяν = 0 (P r = 0) и χ = 0 (P r → ∞).

При ν = 0 ударная волна, как известно, существует только до значения M ≈ 1.3, а при χ = 0 решение всегдавозможно.На рис. 6 представлена зависимость коэффициента прохождения D отчисла Прандтля при M = 1.3 и ω̃ = 6. Данная зависимость немонотонна,коэффициент прохождения имеет минимальное значение при определенном числе Прандтля (P r = 4.5).

Поскольку взаимодействие звуковых и11Рис. 7: Зависимость коэффициента прохождения D от частоты ω:M = 1.3; p = 0.1 атм; 1 — случай одновременного учета процессов вязкости и теплопроводности во фронте волны (P r = 0.71); 2 — случай, когдарассматривались только вязкостные эффекты (P r → ∞ ); 3 — случайучета только процесса теплопроводности (P r = 0); 4 — случай минимумакоэффициента прохождения, достигаемого при P r = 4.5.ударных волн носит нелинейный характер, то суммарный эффект от вязкости и теплопроводности не является аддитивным. Далее рассчитаны коэффициенты прохождения звуковых и тепловых возмущений через ударнуюволну.

На рис. 7 представлены зависимости коэффициента прохожденияD (отношение амплитуды генерируемой звуковой волны к амплитуде падающей волны) как функции безразмерной частоты падающего звуковоговозмущения ω̃ = ωL/cs (cs — скорость звука). На графике представленызависимости для разных чисел Прандтля.

Кривая 1 соответствует случаюодновременного учета процессов вязкости и теплопроводности во фронтеволны (P r = 0.71). Кривая 2 соответствует расчету, когда рассматривалисьтолько вязкостные эффекты, т.е. число Прандтля стремится к бесконечности, а кривая 3 соответствует учету только процесса теплопроводностиP r = 0 (такая волна существует только до M ∼ 1.3). Кривая 4 соответствует минимуму коэффициента прохождения, достигаемому при P r = 4.5(см.

рис. 6). Отметим, что для газов P r = 0.71.При ω → 0 коэффициент прохождения может быть вычислен аналитически, причем результаты численного и аналитического расчетов совпадают [3]. Однако с увеличением частоты коэффициент прохождения начинает зависеть от числа Прандтля. С увеличением частоты волна затухает за12счет диссипативных эффектов.При взаимодействии тепловых возмущений с ударной волной наблюдается резонансный эффект увеличения коэффициента прохождения в условиях, когда характерная длина волны возмущения по порядку величиныстановится сравнимой с шириной ударной волны. С увеличением числаМаха коэффициент прохождения увеличивается [4], а резонансный эффектприобретает более заметные очертания.В разделе 3.4 приведены основные результаты третьей главы.В четвертой главе рассмотрено взаимодействие малых возмущений сдетонационными волнами.

Исследовано влияние кинетической схемы прирасчете детонации на порог устойчивости детонационных волн.В разделе 4.1 исследована структура детонационной волны и приведенобзор моделей, описывающих химическую реакцию в релаксационной зоне.Сначала исследована структура волны при наличии одной необратимой реакции с Аррениусовской кинетикой. Приведена основная системауравнений (см., напр. [5])∂ρv∂ρ+ div(ρv) = 0,+ div(p + ρv 2 ) = 0,∂t∂t∂ Ẽ∂λ+ div(Ẽv + pv) = 0,+ (v∇)λ = W.∂t∂tЗдесьpρv 2Ẽ =+− ρq(1 − λ)γ−12полная энергия единицы объема, q — теплота реакции, λ — релаксационныйпараметр (λ = 1 для не сгоревшего, λ = 0 для сгоревшего газа),W = −αλexp(−τ /T ),где α — множитель, определяемый константой скорости реакции, τ — температура активации.

Исходя из этих уравнений, получены профили основных гидродинамических параметров за фронтом волны.Преимущество простейшей модели — в предельно простой кинетической схеме. Учет обратных процессов приводит к так называемой моделиобратимой реакции. В этом случае система уравнений остается прежней,но меняется выражение для WW = −αλexp(−τ /T )(1 − exp(△F/RT )),где F — свободная энергия.13В разделе 4.2 содержится обзор исследований по устойчивости детонационных волн.

Сформулированы нерешенные задачи.В разделе 4.3 рассмотрена одномерная неустойчивость детонационнойволны для рассматриваемой модели на основе общей методики, используемой в работе.В разделе 4.4 проанализировано влияние равновесной зоны на устойчивость детонационной волны. Показано, что критерии устойчивости сильнозависят не только от релаксационной зоны, но и от граничных условий вравновесной зоне, поскольку именно эти условия определяют вид собственных функций.

В этом случае простая кинетическая модель не позволяетточно описать ситуацию. В данном разделе проанализировано влияние "обратимости" реакции на устойчивость детонационной волны. Для учета обратимости использована простейшая модель обратимой однокомпонентнойреакции [6], которая неоднократно рассматривалась при анализе самой зоны реакции, но не применялась при исследованиях устойчивости.Дана аналитическая оценка влияния обратимости на систему гидродинамических мод. Рассмотрено, каким образом изменение кинетическойсхемы реакции меняет дисперсионное уравнение и соотношение параметров в гидродинамических модах. Показано, что наиболее сильно обратныепроцессы проявляются при больших энергиях активации.

В то же времявеличина теплоты реакции слабо влияет на изменение границ устойчивости при использовании разных моделей реакций.Произведен расчет устойчивости детонационной волны для разных кинетических схем. Рассмотрено решение задачи устойчивости в координатах(Q, E) (теплота реакции – энергия активации) для волны детонации, распространяющейся в режиме Жуге. На рис. 8 представлены результаты численного расчета кривых нейтральной стабильности, отделяющих неустойчивую область внутри кривой от устойчивой снаружи. Для необратимойреакции такие результаты хорошо известны [7] и соответствуют кривой 1.Результаты выполненного по общему методу расчета полностью совпали сранее полученными.В обратимом случае варьировалась конечная концентрация λk отλk = 0.05 до λk = 0.5. При этом показано, что границы устойчивости плавно смещаются при изменении конечной концентрации вещества.

Наличиеконцентрации продуктов реакции приводит к стабилизации системы, поскольку в равновесной зоне возникает релаксирующая среда, в которойвозмущения затухают.Наибольший интерес представляет нижняя граница области неустойчивости. Здесь видно, что, в зависимости от энергии активации, критическаятеплота реакции может меняться в несколько раз. Это показывает, что14Рис. 8: Кривые нейтральной стабильности — как функции теплоты реакции Q и энергии активации E : γ = 1.2; I — область неустойчивости,II — область устойчивости; 1 — расчет, соответствующий необратимойреакции; кривые 2 — 5 соответствуют расчету для обратимых реакций дляразличных λk : 2 — λk = 0.05, 3 — λk = 0.1, 4 — λk = 0.2, 5 — λk = 0.5.любые расчеты устойчивости, выполненные по простейшей схеме, могутдавать для границы стабилизации лишь порядок величины.Из рисунка также видно, что влияние энергии активации очень великои растет вместе с ростом этой энергии.

В то же время, зависимость оттеплоты реакции скорее обратная — при малых Q влияние обратимостиоказывается в относительном выражении больше.Исследованы возмущения в релаксационной зоне в момент возникновения неустойчивости. Рассмотрены профили параметров возмущений, генерируемых детонационной волной в режиме неустойчивости. Показано, что,во-первых, релаксационная мода дает существенный вклад и пренебречьэтой модой нельзя и, во-вторых, что реально существующая зависимостьравновесной концентрации от термодинамических параметров среды в равновесной зоне полностью изменяет профили возмущений и существеннымобразом меняет диапазон устойчивых режимов.В разделе 4.5 резюмированы основные результаты четвертой главы.В заключении сформулированы основные результаты работы.153Основные результаты и выводы1.

Разработан общий метод анализа взаимодействия малых гидродинамических возмущений (акустических, вихревых, тепловых) с ударными и детонационными волнами. Метод позволяет рассматриватьлюбые соотношения между длинами волн возмущений и ширинойрелаксационной зоны.2. Рассчитаны коэффициенты отражения и прохождения при взаимодействии сильных ударных волн с акустическими, вихревыми и тепловыми возмущениями при двух релаксационных процессах за фронтом ударной волны, соответствующих ионизации и установлению равновесной плотности излучения.