Диссертация (Диаграммы состояний мультиблоксополимеров из гибких и полужестких блоков - компьютерное моделирование), страница 21

Ýòî ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàêg (E) ==Z∞UmaxXdK g (U ) gid (K) δ (E − K − U )U =Umin 0UmaxXg (U ) gid (E − U ) Θ (E − U )(80),U =Uminãäå Θ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà.Òàê êàê gid çàâèñèò òîëüêî îò ëèíåéíîãî èìïóëüñà (2mK =~2i ),ipPäëÿ N÷àñòèö îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè ãèïåðñôåðû â d -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâågid (K) ∝ K d/2−1(81)Òî÷íîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íå âàæíî, ïîòîìó ÷òî êîíôîðìàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé îöåíèâàåòñÿ â ìîäåëèðîâàíèè àëãîðèòìîì ÑÏÌÊ òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî íåèçâåñòíîãî ìíîæèòåëÿ.

Çíà÷åíèåïîêàçàòåëÿ çàâèñèò îò òîãî, êàêèå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ó÷èòûâàþòñÿ, ïîìèìîçàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Äëÿ ñèñòåìû N ÷àñòèö â 3 -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâåd = 3N è d = (3N − 3) äëÿ N ÷àñòèö â 3 ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ó÷åòîì çàêîíàñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî ëèíåéíûé èìïóëüñà.Ñîâìåùàÿ óð. (80) è óð. (81) ìîæíî ïîëó÷èòüg (E) ∝UmaxX(E − U )d/2−1 g (U ) Θ (E − U )U =Umin=UmaxXexpU =Umind− 1 ln (E − U ) + ln g (U ) Θ (E − U )2(82)Ýòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ÷èñëåííî îöåíåíî äëÿ ëþáîé ýíåðãèè E ≥ Umin .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíòðîïèè Ãèááñà, äîëæíî ó÷èòûâàòüñÿ îáùåå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé ìåíüøå E .ZEΩ (E) =00ZEdE g (E ) =UmindEUmin0UmaxXU =Umin119g (U ) gid (E 0 − U ) Θ (E 0 − U )(83)Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (81)ZEΩ (E) ∝dEUmaxXd/2−1g (U ) (E 0 − U )Θ (E 0 − U )U =UminUminZEUmaxX=0g (U )U =Umind/2−1dE 0 (E 0 − U )Θ (E 0 − U )(84)Uèëè, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿΩ (E) ∝UmaxXg (U ) (E − U )d/2 Θ (E − U )(85)U =Umin÷òî ïîõîæå íà óðàâíåíèå (82) çà èñêëþ÷åíèåì ïîêàçàòåëÿ ïðè ìíîæèòåëå (E − U ),êîòîðûé áîëüøå íà 1 äëÿ ýíòðîïèè Ãèááñà.

Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî âñå óðàâíåíèÿâûâåäåííûå íèæå äëÿ ïðîèçâîäíûõ ýíòðîïèè Áîëüöìàíà ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû äëÿ ýíòðîïèè Ãèááñà ïîñëå çàìåíû (d/2 − 1) íà d/2. Äëÿ îáðàòíîé ìèêðîêàíîíè÷åñêîé òåìïåðàòóðû ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (82)g 0 (E)d ln g=dEg(E)UmaxX1d=− 1 (E − U )d/2−2 Θ (E − U )g (U )g(E)2U =Uminid/2−1+ (E − U )δ (E − U ) .TB−1 (E) =(86)Âòîðîå ñëàãàåìîå â ñóììå â óðàâíåíèè (86) ÿâëÿåòñÿ íåàíàëèòè÷åñêèì, íî íåâíîñèò íèêàêîãî âêëàäà â TB−1 (E) äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïîêàçàòåëÿ d/2 − 1:TB−1 (E)1=g(E) UXmaxd−1g (U ) (E − U )d/2−2 Θ (E − U ) .2(87)U =UminÑóììèðîâàíèå â óðàâíåíèè (87) ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíî ÷èñëåííî, êàê è âñëó÷àå ñ ñóììèðîâàíèåì â óðàâíåíèè (82).

 ìèêðîêàíîíè÷åñêîì àíàëèçå òàêæå íåîáõîäèìî îïðåäåëåíèå ìàêñèìóìà, ìèíèìóìà è òî÷åê ïåðåãèáà îáðàòíîéòåìïåðàòóðû. Ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ TB−1 (E) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîédTB−1 (E) d2 ln g(E) g 00 (E)==−dEdE 2g(E)g 0 (E)g(E)12022g 00 (E)=− TB−1 (E)g(E)(88)ãäå ïîñëå ïðåíåáðåæåíèÿ íåàíàëèòè÷åñêèì ÷ëåíîì ïîëó÷àåòñÿ00g (E) =d−12 UXmaxd−2g (U ) (E − U )d/2−3 Θ (E − U )2(89)U =UminÍàêîíåö, âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ TB−1 (E) âûðàæàåòñÿ3d2 TB−1 (E) d3 ln g(E) g 000 (E)dTB−1 (E) −1−1==−3T(E)−T(E)BBdE 2dE 3g(E)dE(90)ãäå òàêæå000g (E) =d−12 UXmaxdd−2−3g (U ) (E − U )d/2−4 Θ (E − U ) .22U =Umin(91)Êàê óêàçàíî âûøå, ðåçóëüòàò äëÿ îáðàòíîé ìèêðîêàíîíè÷åñêîé òåìïåðàòóðûTG−1 (E) ïî Ãèááñó ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç óðàâíåíèé äëÿ òåìïåðàòóðû ïî Áîëüöìàíó ñ èñïîëüçîâàíèåì çàìåíû d/2 − 1 íà d/2.8.2Çàêîí ñîõðàíåíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòàÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèíÿòü âî âíèìàíèå çàêîí ñîõðàíåíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà íóæíî âåðíóòüñÿ ê îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ÷åðåç èíòåãðàë ïîôàçîâîìó ïðîñòðàíñòâó,Zg (E) ∝dq 3N (E − U (q))d/2−1 Θ (E − U (q)),(92)ãäå óæå âûïîëíåíî èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñó.

Êîëè÷åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû d, çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Óðàâíåíèå (92) ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìå òîëüêî ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè. Ïðè íàëè÷èèäîïîëíèòåëüíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, óðàâíåíèå (92) äîëæíî áûòü èçìåíåíî,òàê êàê ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû óìåíüøàåòñÿ è èçìåíÿþòñÿ ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííûõ, íóæíî óìíîæèòü ïîäûíòåãðàëüíîåâûðàæåíèå íà ßêîáèàí ïåðåõîäà.  ñëó÷àå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ëèíåéíîãî èìïóëüñà, ýòîò îïðåäåëèòåëü çàâèñèò òîëüêî îò ìàññû ÷àñòèö è íå çàâèñèò îò èõêîîðäèíàò, ò.å. ýòî ïðîñòî ÷èñëåííûé ìíîæèòåëü, è îí ìîæåò áûòü âêëþ÷åí äëÿðàñ÷åòà g (E) â êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, êîòîðûé ìû èãíîðèðóåì. Íî121â ñëó÷àå ñîõðàíåíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà, îïðåäåëèòåëü çàâèñèò îò êîîðäèíàò ÷àñòèö è íå ìîæåò áûòü ïðîèãíîðèðîâàí. Äëÿ ñëó÷àåâ ñîõðàíåíèÿ, êàê ëèíåéíîãî,òàê è óãëîâîãî ìîìåíòà, óðàâíåíèå (92) äîëæíî áûòü èçìåíåíî ( [159])!d/2−12~P1dqpE − U (q) −− J~tr I −1 (q)J~g (E) ∝2M 2det I(q)!2~P1Θ E − U (q) −− J~tr I −1 (q)J~,2M 23NZ(93)ãäå d = 3N − 6, M ïîëíàÿ ìàññà ñèñòåìû, I(q) òåíçîð èíåðöèè, çà-~ ïîëíûéâèñÿùèé îò êîîðäèíàò ÷àñòèö q , J~ ïîëíûé óãëîâîé ìîìåíò, è Pëèíåéíûé ìîìåíò.

Äâà ïîñëåäíèõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíñòàíòû.  ïðîñòåé-~ = 0 (ìîæåò áûòü ñäåëàíî áëàãîäàðÿ ïðèíöèïóøåì ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü Pèíâàðèàíòíîñòè Ãàëëèëëåÿ), à òàêæå J~ = 0 è ïîëó÷èòüZg (E) ∝dq 3Np(E − U (q))d/2−1 Θ (E − U (q))det I(q)(94). ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ñïåêòðà êîíôèãóðàöèîííîé ýíåðãèè óðàâíåíèå (94) ìîæåòáûòü çàïèñàíî êàêg (E) ∝UmaxXU =UminZdq 3Np(E − U )d/2−1 Θ (E − U ) δ (U (q) − U )det I(q).(95)Òîëüêî δ -ôóíêöèÿ è äåòåðìèíàíò çàâèñÿò îò êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû, è óðàâíåíèå(95) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäåg (E) ∝UmaxXd/2−1(E − U )ZΘ (E − U )U =Umindq 3Npδ (U (q) − U )det I(q).(96)√Èíòåãðàë ïðîïîðöèîíàëåí ñðåäíåìó çíà÷åíèþ 1/ det I .

×èñëî ìèêðîñîñòîÿíèé, îòâå÷àþùèõ êîíôèãóðàöèîííîé ýíåðãèè U ðàâíî g (U ), è âåðîÿòíîñòü ìèêðîñîñòîÿíèÿ ðàâíà 1/g (U ). Òîãäà p (q|U ) = δ (U (q) − U ) /g (U ) óñëîâíàÿïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàéòè ñèñòåìó â òî÷êå q â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàí-122ñòâå, ãäå îíà èìååò êîíôèãóðàöèîííóþ ýíåðãèþ UZdq 3Ndq 3Nδ (U (q) − U )pδ (U (q) − U ) = g (U ) p=g (U )det I(q)det I(q)Zdq 3N1= g (U ) pp (q|U ) = g (U ) √,det I Udet I(q)Z(97)ãäå h·D· · iU îçíà÷àåòE óñðåäíåíèå ïðè äàííîé êîíôèãàðöèîííîé ýíåðãèè U .

Âåëè√÷èíà 1/ det Iâ óðàâíåíèè (97) ìîæåò áûòü îöåíåíà ñòàíäàðòíûì ïóòåì âîUâðåìÿ ïðîäóêòèâíîãî çàïóñêà àëãîðèòìà ÑÏÌÊ.1239Áëàãîäàðíîñòèß áëàãîäàðþ ìîåãî íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ Âèêòîðà Àëåêñàíäðîâè÷à Èâàíîâà çà íåîöåíèìóþ ïîìîùü è ïîääåðæêó, çà áåñêîíå÷íûé îïòèìèçì è âñëåíèåóâåðåííîñòè.ß áëàãîäàðåí Åëåíå Þëüåâíå Êðàìàðåíêî çà òåðïåíèå è íàñòàâëåíèå íà ïóòüèñòèííûé.Ìåòîäû è ðåçóëüòàòû, èçëîæåííûå â íàñòîÿùåé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå,áûëè ðàçðàáîòàíû è ïîëó÷åíû â ñîòðóäíè÷åñòâå ñ Âîëüôãàíãîì Ïàóëåì, Ìàðêîì Òåéëîðîì è Òèìóðîì Øàêèðîâûì, êîòîðûì ÿ òîæå áëàãîäàðåí.Âîøåäøèå â äàííóþ äèññåðòàöèîííóþ ðàáîòó ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíûïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò  13-03-91334-NNIO-a), Íåìåöêîãîíàó÷íî- èññëåäîâàòåëüñêîãî îáùåñòâà (DFG, ãðàíò  PA 473/10-1).

Ðåçóëüòàòûðàáîòû áûëè ïîëó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåñóðñîâ ñóïåðêîìïüþòåðíîãî êîìïëåêñà ÌÃÓ èì. Ëîìîíîñîâà (íà ñóïåðêîìïüþòåðå ¾Ëîìîíîñîâ¿) [166].124.