Геометрия орбит коприсоединенного представления специальных групп Ли

1),я)1он ВЙ 1(й116ох(('е. Вй)кных и нзвестных задач клас('н'1вско11 ЛФханики явяя('.1'ся вадача О движенп11 т))('.~)ДОГО тела вок~эи' лсподвнжноп точен. 1)на ()1)1!(;ы)и)х"!'ся с11сте)1ОЙ Ооьхенов()нньхх днфф('~)()нц11й.'1ьных уравне' ип)! Знле~эй-П'\'Й('(:Оий. Иссл('дованпем:)то(! Йй„да 1н зййим))л11('ь В11лньхе 7 )1((т(сийтики, .)1Ии~), »Ъц))),иж, Ковйлевскйя и .'ц)7'Г11е.

Цмх1 !)ы)111 иаи 1ейь'. ('л'~"1Й11 инт('!"~)11р!'емо('"! 11 (::и('т(",м и укйзйпы сГ)О(;Обьх (:",Ведения 1(рйвн(- :у )пп1 к квйдр((т"'~'!ми Иавест11ы тйкж(' 1)а)).х11чньи' О(ии)ХПРнх1я .автои;)й,1йч)1, нй ц)!'мср. Дв)1)к('н11е 1'))рост.па, дв11ж("!))1(',))) ряжен1)о(о твердоГО т(е)а В :,1;(ГН1"тном 1хо 1(...(1й11.к(".11Н(: тве):)до).О теда В жидкости и ).д. Крой(~", т(и-о. !)!(ж)О!'О)( Ооы 1но!'О сл)* ~1ая .Зп.2е~)й ('. 11 2к(1т ъ'~)й вн(.нпя дви)ь("ння '1("1'ы1)ех" м( Р1(О1'О тве1).хо1 О !'(','1Й, ко'!'О1)ы(111 О(!11(..ьхва)() ГОЯ тйкй (" некото!)11(' 1)(" ) ЯВНЫ' . ЙД((;И Фц. ЦКЦ И .ИЕХЙ1!! КН !',С14.„НЙПР11 «1 Р. ПР11ХО)К .НЦЕ 2 В КИНГЕ 11! ф() ИРН1 () ! ЦЙВЕ( ! ИО ТЙ1 ~.( тХТО .) «Д (т1)«() ~1В11 Х-"(- !!ИИ ТВЕРДОХ О ,ы;: Вс)ц)(:! н~-'11О ВижнОн т()чкн и ('е «)ОО6))1('н11я нй четьц)((х'.4е~)иьщ сл7'1аи Можно 11~)сд('тййи'1ь в 1)идее Гйм))яьтоновых (*~)авне11и и 311я('~))(, Йап11(,'йн)() !.'» нй О~)Потах копр11( О('д1111('иноГО 11~)('д('та)1л('.нпЯ д;(Я аЯ1 «'1Ц) «4Н ('~А) и .'())4! ( ()От!)( т('ти( ино.

И('('ЯЯДО1!)) ) (111«.(:~'Г11х .)Й,«1й'1 по(')(Яще11О ) 1нОГО ~)йбо'1', В кот<Ц1ых нан~1('ны :1нт('! рп!)у(..1ы( «!у 11(и, й также устйновх1( )и). Что В оохп( м слу'1й««этн ЙаУ Я((*и! Че1п:'! (Г!)1)1)Уе1)ь) ~см, Р !()Оть( ~2~,ЯЯ Ц,И АРНОЯ!.Дй., 1).!).1).О:).(ова. Л.Ц,1Ь'1П)!! '- „. -... -,, - .

° - °, - ..- .,;.- О "пш ! "й х )),). (..).31())ео. Пссл(','1овйнн('. ()нт('1")н1)у)(')иьхх (:.'1'"1аев йй~кпо д,)я пон(ь1((нпя ( бпх11х вйжо)1очерпостеп 1)ов(.'1( н11я ро(11ений этих снст( и. (Ц 1;() 1Ь1- (, Тот)1!ЫЕ 1)~эХХХР1111Я В -1«й1«-ЦХ )));т 1т)й О)(Ь(ЧНО !~~Ц) 1)1(ЙХОТ( Я ДО В(МЬП() «.'ЛО;КП() Н И(~ ДЙ1О)" НЙГЯЯДНО!"О ХХ~И'Л('ТЙВЛ~~ННЯ О ДНИМ«сПИН ТЕЯЙ, т() ООХ1 !!Ое:)нй'1(',Мне;зде('.! щ)поб~)е'ха)от ка'1(.',ственны~'. ЯФ".'ходы )1( ('лР- ,10вйн11Я с11(. е(!.

1.1" .те(!..)Дн11М нз таких ~1«'(одов является 11ост1)оен11() Об)ч«ва ОТОО~)))Ж(".Н11Я .'ЯО)1ЕНЧ'1!. И ОйфУРК((ЦНОННОИ Л11ЙГ~ЗЙЬ11(1Ы. В раООтйх С.Б.КЙГГОкй,. А.А.ОВ7емкова, '1'.И.П(и'ОО1на„:М,Д.ХйфьхВИО ва ~5Н9» били вичи1лени 6ифуркациОенив ДиаГДамчи фж мнОTЙЖ Йз 11РРеч1ЛСЛВННЪГХ ВЬПИЕ ЕЛУЧаРВ В 0ОЛЬШИНСТВ6 ОП!;6ЛИКОБВ,ЯНИК К Пъ~СХОЯ1цвму времени дабОт, и кОтОрих стрОяхоя бйфчркйцйОнние дл'щиъмми! рм"( ыатр11 !1аЯПЛ:Я 1й! Р1!О*1*РОИКИ ЕОМПаКТБиХ Иива$)ИЙНтних .ЯН1'раНЖВВИХ ио~ыногОО1фязии. В '~а~.тнооти, А.'1'.ФОменко 1~ила доказана ТРОре:йа о ьла1си!фикации бифуркаций !ОрОВ Лиувил'1м !с1Г..

например, „Ц1- 11риь1ер б11фур!"!ш11и 14или!1дрй ('Г.Р. некпмйакхнОГО ипва1эиантнОГО ПОдмно- 1.Ообраз11Я~ Оыл приведен Л.Гавриловим в ~381. Важным В Г~.ОР11и интегрирурмик гам!!Льт()иония о1!1:то!л яяля('Г!.;й Нето!л те!!'!Ор!!Ог!! раеВ1ирен11я 1!лгебр .Ъх, кОТОрии Впервие Пил пред ..<1!!Жеи В,В.Трофимовы!1 в ~1(Я1Ц.~121. а затем развит А,Ц.Ыраиловим в ~ !31 и Л.НЛ'ьеуеном в ~141.

)тот метод, в 11аст11ос.ги, дает весьма эффектпвнии Р."!Особ пое Гроения !1ивол1ОГИВ11их ('.('ы('и("тй Функции еа ОрОнтах 1;О1:р!!!.Оеди11РН11!!го !!1)елетава.11ня групп Ли. В диет!-.ртации рассматрит:Я' н' Рн Р ш Р' Рй(1-) =Е''Л14/'~ '~ 1!. ' )РА 0 Р-Д- 1: ! !!!!!! фа!'тор-к!1;!ьца Р~!..~/(.! - ~ И!1РРтся алгоритм (1).

!!рииадле ка1ций ГЖ.'.Гак11ффу и ВХ$Хроф!1;,!!!Ву и пг!,!ио.!Яю1ций из ипВ11,р!1!1,н Гов К и ин- ! Р! ра.!!!В Л',:;1.!я О полу.!!1ть еоОТВ .Гству1Ощи! инварианты ~Г,: '. 1'"", и !!!'"РР1-р'!ли ~Н~ ', ~- '~ для й(О) (! ы, ~Щ39~). В н::.!тоятпей д1!! Рертациоииоц работ! строятся 6ифуркац11онни!. 3 д11!!г1)а."1:~[ы и !!зг~ак)т! я пер! ( Тропки ил:ь:!у'и7111юрир 11: ичвариантпих лагранжевыя по мно! о!!!!рази1! для -исг!.;1, полу иннин по:р!лством ал! и1)!!т.'1а !, !. ! и,! Рлелу1о1цнх: 1,! сиетемй.

Язда11иая Н1! Ор!!1гге коприсОедииеннОГО пр!'„'1!'ГНВлен11Й В 1 ! ° ! Опп! Ийаьпщай кла! Ри'-!!'("Кни !'.лу'.1йи .')Йл!'рй лв1!жения тв!'~!ЦО1 О тела яОеру!' '1'0'1кп,;!1!креп.'!!"Ннон и цент!!!' !4а!'с зтого ТРла: ! Иет('1а '! 1:1анная на Ор61!ТР копри! Оединенног!! !!р!здставд(ния В '!О14) и о!!Н('ивакипая !'л~'чан;1иижеп1!я четирех11Ррно!'О твРрдОГО тел!1: !Н!т!, 11а, ~ада!1!!1!я на оронте коприс(н;д11НР!!!!о!'с! представ,!ения и!11и !.!ьних групп,Ч11 ПО! рсдствоч метода сдвига аргумента МищенкоФ!!! 1Р1! 1;-О.

)!!1!1впие резуль1а!Гь! ди!" Рртации Оили Опубл~пя!В11ни автором в '. !'5 !' )1 !31! Диссертация с! 'тоит из Введения ЧР!'!.1ре глав и 1!~103!1ОГ )аф11*. Ре 1 ю1 ! ! п11!.ка н~'тр11 т( к! тй ~!азмещено ше! ть ристпк!!в И 1-'!Ожим содержап1!!' раООти ООлос ПОД~)с!!!нО. В пеРвсь)х 1'.1йво дпссертапи11ь в '„'1 1 пунводнт(:Я неоо)1одньхые Дй)1 Дй)дь(1е11мего (:))ед(:.11х(я нв с(1'(11ы()к 1'ичесюй гоо) 1(.т1)1111 н теорнп гРупп Лн. Р) ~" 1,? ВВОДЯ'10Я ОП1)ЕДЕЛЕПНЯ 01ХфУРЬЗПКОННОН ДПЗГРН)1М)ьХ В 'Ь'ОКОМ И 111П1)ОКоь1 (.МЬХСЛВЖ И ОООТВОТ(.*ТВЕННОь й ') 11К)К(' ЙЫПХХСЬПЮХОТГЯ НЕКОТСЬ ))!Я(. р(;)у.1ьтйть1 из рвот ~12~.,~15~ В,В.Трофнмовй, Кром(1 того, автором д()кдьзь)В)1,(0'!'(:Я 1(О('кОдьео нУжных ллв пос,,'1(';1)~киц~'.Го нйло)жеп1хЯ т('ОР('-мь кй()й)охцГ,'к(*,Я Опе1)йп1111 тенво1))(01 0 РНОХх11!1)гнх(Я, 11() )11 ОРОИ 1'"1ййе 1)е~1ь )(,,'1ет' О 1'))ы11льтоновмк (".11стем11'(., 110ДУчй()мь(л.

Т ' Нй О~)Н Ь! 1( рй(1ХЧЦЬЕН11('.М НЗ ЕЛйС(: Н '1(.'(: КОИ ЗНДйЧИ *31(Я('~)й О ДВН)1ьЕННИ тйсрдохо тела вокруг 10чкц, .31)Ч)сплен110Й В пент1)(. А(а(:(.. Известно. 1ть):).! (),)ВИ'К('Ы((ь= 1(10)11110 ОПИ(аТЬ ураВНЕН11)1К!И '-.-)ИЛСрй два ЗЛ1'( 1)1)Ы,.'111 с Д ь ГруППЬХ ДВ!1)К('Н1111 Г1)('..'СЪЧ) ((ОГО ЕВКЛИдОВО1-0 11РОСтрйНСт))й. ".ЬК11Е (-11(-те)1ы гым11льт0!)ОВВ1 нй 1( ть1!)ОХЯХегьнь)к 01)оит((х 1'."'(,(.1 кс!прнсо( ли!!с!1!1()ГО х1~)("4(тйвл(." ния ! днф(~ьеоыо~)(1)ньхх ей('йтетьном" ,~)й(::(.Лое))11!() 1 5 ДВ()1(!)ВОН ( (Х)» !)Ы), П ДЛЯ П()ЛНОИ ХГНТ( Г))11!)~~.

МОС111 ПО .'~1!УВ!(ДЛК) К1)0:Ь1( Гй1111лы'Оп!(ййй Н ук))зыв)1("тся ('!)1е ОДП1! (дОпол111!тельнь)и~ Интеко)й.! (ь)!) Ото'1, в '!й('тнОГ1 ь!., 11д("1' 1)епь В )1 '.1 !. И 1)(-.;!):,)к Г))те т('11;)0$)нОГО 1)й('- .;(((!)( йиЯ п()л) 1)ы,"-1 1))-к(ерово йл! (()ру Л11 ()~е(3)'!.

ХЬ е(:")! 0106х)()ж('11ие яомсйт;:: Ф: ЛХ вЂ” ) Й, гДЕ 1Х = (1',(.')'!ХА~ С)1.)011!.'й Общь*ГО Полок( иия к(ьпрн(.0(дп11(')1Н(ьх:0 111ндст))въ'1(ия -:.1м тенйорн(ь1 о 1)(и)(1!(рения. Ф вЂ” !ХХ„Л;!. ХХь. Е. ), Где ~Н, Х1'1. Н)ь, К- 1 — нйоор интегрй.)ов. по,(угй( 111п1 и.) ~ Н. Х1 ~ при тен:)Ори(ьк( 1)))(..пп(рсни11, 1'1 :':;2.'. и пр('д.)(ынен1111 1 д(ькй.')ьХв ь(т(.а, ! ь(ь .)(Х' Д11Ф(1)01)к10РФнь) 7'Д'у'!. Где Т52 кд401(т(лйн1)е (ь)(( !'.:(()еп1!(' Дву".'Ч)н011 (Ф(*рьък Ц "1'('Ор(".Я(' (ь Ои!м'.ьхвйс'!'('ьх и1!(ьжестй() ОсоО('(ь)(0(т('!! .') 0 !'О!)(ьй'К('Н11)1 К10'ь1('Ыт)1.

ф. '!. ТЕО1)(".,1ЬХ (,$,С) 01(11('.~ХВйй) 1' 01)1))1) ..а Ь .'1) ', 1))'ОО!)йЖЕЧ11Ь( МОЯ('ь(тйь <!. '1 йЕЖ(' ()11(!ЬУ))1сйь(1!!ОННИ(' Д11(ь,!'1)й)1Мй! В ус:м) 1 ц:!(Проком с(иысл( соотв(-1(твен!((ь, где,.(нож(( гв(!. Р, 11 -...,.' О',ь 0011с)1ыы нй (Гт1), )02 и э.)..ц Отди(11е Ой: случйь;.в пе~)(-("ц)0— ('К:(ОМ!(йк'1'НЬ(Х 11ПВ11РПйНТНЬ(К Л()1'Рй11)1(("ВЬХХ ПОДМНОГ0(ЬОРЫ,)1111, В Н('КОЫ П (КТНОЬ! (' ТЪ'1йЕ ВО(ййпь" ГОВО~)Я ~ ' и ~)(')Ъ' ХЬ'"дт1 1 ДИ('('ЕРТ'!ЦПИ В пйстн )( тп. ь(лл)огт1)11ру)0т х) ! ()т факт, !) '',2.'3 11!.,с,'(('ду)от()я О(:Обеп11(ьст11„ 10.'! сч))("1.!ьхе нз (и О()(',нх10(:ти '1'11п1), цйХгх~), кото~)уы) сьООвн(),ч11м '1е~)!'и 'Л .

и НЗ сьсо0)е11)10(.'ч'11 т1п111 '(сдт(ь (Обознй.'111лх1 че1)ев ' В ~. По(~)(-'д- с~-во)( тензОРного Рвспйфения ез этнл. ' элементжРеых. пеРВстРОек по" д~:ч)потея п(р('(".Тройки '7 «.,4),7 (А,'",7'('.()) „7"',В)', В теореме 12 пО4Робно Опи(.;йкы проо()())хзьт точек бнфуркйпиОцнОЙ ДикГР9жкн. )3 ч))('"х'н(кти( (~)-1 („-.'1 =,'Х'" х Л'-') О (У х (с)~) ллн регулярной точки ~ ~ Ф(М"), ГДВ 7''" двум()„)пып тор) Л вЂ” дну)иернвя пло~.".кость, Докйвь~ваетея, что Вее ( Оотв( тс)твукици() пет)естройкн:)деоь имеют тип пРямого пронввеДения внд(!. 71 х 7», ГДе 71, ~~ (= (7 '',4),7(Л,"„71В),7 (В)",7(ж')), и. '7 ф",! ,-)то пнлицлР У х ((', 3('(то здесь,'В 20 пунктах) фнгурп1)ует 11 типов п()1)('» ТРОВ1,"; 7 (' 4) х 7 (У ';., 7 (.4) х 7 ', А).

7 (В ~ х 7 (Я1), 7 !' В) х 7 ( 4) ) 7,'В)' х '7 '; 4), 7 (В'!' х '7 ';."~ ), 7" 1'.4)) х 7 (.()"",1, 7,'Л)' х 7 (,4',1, 7(Л)' х '7(.4))',7 (В; х 7'(.4)',7 (Л)' х 7 (.4,'. В третьен Глвв(" ли(;серт))1111ц 1)Йс(.м)(!'1)цв()ется ('.ист(',м)), цолучйемсъя воср(".

(-твом т('11;!01)нОГО 1)Й('.11!111)енпя и:1 (..истемы. 01!11(:ыввющеи дм))ж(1- и!1(* '!("1'ы()('').)'1с'-'.1)НОГО твеРд01'0 телй . 3 сй (.'цстемй Г'!)(ильтон0ВЙ и:111д(1- ('т(Я «Р(1111:( цтщ.'п1 3!1,!("Ра цй О()!)и с(' оома("! 0 поло к(111!Я 1Дцфф( О)!ОРфноц х,~)*"') в .~(."4)' ((",м, «3.1,!. (,.)б)оокйчеци)! и Докйз((т('ль('твс (."Ов('.1)1и('.ннО ))и!)л()011'1ны т)11(цвыл| )1.) и()(~Дь~ДУ)Ц(.11 Глввы. 1..) ~~3, В 1:~ ОРем('. 1'.» ()П11(..нн 06Р)! ! О)"ООРЙЖ иия мо.'4( нта, '(О!.'.!Зывщт(.я, что зл( ('ь. Как и во Вто()ОЙ Гл)л! .

Ф:,::.', — — 1'-' х Л2! !.! 1"Т'-" х 112) ллЯ Р(Г):,.:1)11)цоп т)чвц;. 06();!- ай От()!)1)акен-'1Я мом(*1Г1 1,. Б Г( оремах '1-( и 16 1!( (троецы 1)нФур1:)1!!ион нме д)1))Г()йммы В узко(! и ппц)Оком (".$ысл 1х ('(и)тВетствонно. В '!'('Орем(' ( ) Опи('яны и('~)ест()ОП1д1 11!1В))1)ц<)п'1'ныл лг!1'1)!)н.(ь('Бах ПО ~~м)1()1 000)))(,)ин. '.Фто Оннс;11!!!(* Вкночв('т в ебя 34 пункт'! в которых ф111 урпр) 1 те л'( ! 1 тц!!()в и( ре.-тр()('к, '1то ц в т:( ремо ! ') дв 1!р( ыдуп!('и Гл(11)ы. 1('твс()'1')!я Гл))вв ди('серт)11и1и пО('))еХПФ'11)! прпложенн10 '!'4 хнцки, нй" ()!(00'! Вн)(011 В (1()еДыДу1Цпх !'лйвйж.

к пзу'1('иц)с) и(.'Рест()0(*е н('.компй)с!'- ных л)( з сл )(нпя „'1цу111!ллем. В );.$.2 вьг1пс"..1В1отся ииварп))нты к()цри(О- еД.!Не)!И01'О Ц)"Д(тъвл(нпя Дл)1 Йлт(1)1) .Ъ (навов(м 11Х сдлГЦ((„,абмь(и)11, з!(, ))циых (:т)'„1у)ощи: 1. Обр)!лом. Пусть А: à — ~ ') -- л11нейц)(й операт()1). им(1().,пп11 В11л жо()„.(аново11 клетки (". (:Обст))('нпымц '1И('л()мп А нй .11101 ()н )лц ц д(1";(тву)опп|й В про(..трап(тве 1:, .1.Игла 1)а п1)амоц «умме .1: '!», Гд(' ( — 11(:кото~)ыи В(. НГО(). О~й делаем ст()~1(.ту()у 11лгео()1 ! '(н. п0.1(г)кив ((1)1)~ = й. ~ )(,х1 = а41((.'1 Д„1В л)обых элементов (1,1),.1' ( ')', 0 (' Я, ЛеГНО ВНДехь., ч'ГО Оп~з(!Д(".д('.1(иьГЙ "Гйк11ь1 Обрйзом коммУтйтОР задает (.*т~эуетуру ЙлГ()6~)ьт Ле, 10()(.'ьм11)1е~)ные н дейя'.Гиъ(ерх(ьхо х(ххль110- Ген'Гньхе й 'хГеоры Ли 110ДОбнох'0 Вндй ~)Й4.:.('.м(хЦ)их))х.)и(.'ь 1) РВх)йтй:У ~41;,~4-~ Г'.

1(„'1(Гйх:а и Л.Ь.ООот11ОЙ«Б)х 11~)отяжеи11х1 чей"))е$)тон' Гхх(ВИ мьх ххзу'хххсм отд(.Яь)(0 лйи (.'Аъ '(йй'. Л = 0 н Л ф 6. В теоремйх 18,|9,Й) ~ио (.ъЩе(хтВу, В к(),'~ос'х'х(е репхення Ох%0льно11:)ххдйчн Выч)1(*.яон)ь( 11нВярнхХИ'х'ьх (111('-ци(хх(ь" 11),Х,( й.,)1'()О~) .'Х11, ОО0.))(1)ЧИХ)Х одаб)(ТЬХ, КОТО1)ЬХе ВЫДОЯ)0 Х' ЗТГХ ЙНВЙРНЙНТИ, 1)е()ез (') и (~~ ДЯЯ Л = 6 Й Л ф О 000 (Вет(:тх)('.нххо. '3атем, В!)4.2 п1)иь((11)Я('м Оп()ржщ1ПО т('нзорно1" О РЙ1.,ш11~)е)(1(я и по;хъ'ч(йея от(10~)йж()н11я ЯОмента Ф» .

Й',Р,) -+.Й'Х, Ф,; «ЦР.;) — 1 Л'-' 1-д(" х1 и Ф2 -- Отображения. постро(н)(ие ( 110ь(охцьк) х1( тола слВПГ11 ))~)1'")11)1ентй. Па1)амк'.Ц)ы (.'лВ11101 Вьхб)ХЦ)йеь( ~',.х~и)нцм „~ЗХЯ и)х(. '01)1)азом. 1) тай~)(''.((' .-.) ( т))0111 (;Я ОифЯЗках(1(онньХР, 1ийГ1)йммы ДНЯ О х 0О~)1(л~('. н11Я мох((.111') Ф1 и (;.Я(71а(* (11НХО = 5 ЗхХ((.ь е =- ~, 11 1(ех)е('.тх)оик)), 1(меет Вид 2Л' -+ Ь' — ) И. Ц те(фе.'я(' ' 1 Они( аней 6ифу1)кйхх110нные лнаГ~)йммы -- й, ч.тЯ ОтоО~)йжей)1)) Моей')(тЗ. Ф) В ('л1 1й(' (11(1) () = '3.:3.'1ееь ~,:,, и и('р("("гро)11.

) Им("('т ВХ(л Л -+ ~х)" > Й" — Ф Ф. А()т01) Вщ)1) й(йет 1лч00к~хо 1ц)изнит('зьно('. Хь (Во('ь(( НХ(у'ч номъ р)'1(0- йоли»(лй) про(~)ее(хц)у' В.В.Т~)офи)(ОВ~'. а тйк.+е йкйд("1)икр' РАН, п~)офе(. (':)1л Л, ) .(х)011('1!НО и ИРОфе( ((Ци' Л,11.))ОЯ(11110ВУ,')й.