Геометрия интегрирумых случаев динамики твердого тела, страница 6
Описание файла
PDF-файл из архива "Геометрия интегрирумых случаев динамики твердого тела", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 6 страницы из PDF
ðDïNì@ù ø ðNùVïNúZXù ö Ø ¦wΛΛ¢w~cγs ÅBË \`ghgÄÉÊe`Å`^VfVÉ dP\`dYc1iæÒÔ¿Vf`c~ÃE Å`^+\`¿Vgh_<ÁÄ^Yg~\bÆ`¿Yc1i ]KÆ@e\ÃLdYc P (s) fKògÄÁhÉÊÁVgÇÅ<_.\KµôÏ^V\`_<¿VfVÉ«Ã+Æ!¿VÁhÁfY¿V_.\`^VfV\`¿YÅ<À Λ gÄfVgÇÅ<ÁÄÉÝ YYÕ|Ïf YYÇÖ \`ÉÊÁÇÅ<fVÉÂ6¾YÅ<ee<ghe <ÀÂÁÅ`e<¾VdVf:e <ÁÄfKa,gÄfVgÇÅ<ÁhÉoghe<_<]+\ÃL\i ÅÏ\ugÄe<gÇÅ<_<Áh¿V¿VÀÂÁò~¿V\¾YÁÄ¿Vf,_«¿VfKae`Å~Æ@fY¾+\i Å`gq ¿+\ÉÊ¿Ve OfYÅ<ÁIÆ VæeÄÃLfV¿+\`dZe<_`3À Ã+Æ p_`gÄÁÇa e<ghe <ÀÏaÅ<e<¾VÁhdF J6Å`e:e`ò~¿V\¾V\`ÁhÅ ¾YÅ<e:¿+\fV¿Y_.\`^Vf+\¿YÅ<À Λ ^YÁIÃ@1c VfV^Ye<_.\`¿V¿Ye ÖghfVghÅ`ÁÄÉÊÀf!gÄfVgÇÅ<ÁhÉÊÀ g I\ÉÊfKÆ óÅ<e<¿Yf+\`¿Ve<É f ghe<_<]+\ÃL\ i ÅP (s)ñle<gÄdZeÆ <dYcSgÄfVgÇÅ<ÁhÉkÔ\ YY@ ´g I\`ÉÊfKÆ óÅ`e<¿Vf+\`¿Ye<É f ¿VfYdK\dp¿VÁ¤ò~\`_<fVghfYÅ:e`Å]+\`^+\ÉÊÁhÅ<^V\ s ÂÅ`eò~¿V\¾YÁÄ¿Vf ΛÒ fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅb\eÄÃLfV¿V\`dZe<_<À»ÃVÆ !_<gÄÁIaÅ<e<¾VÁhd γ 5í CClù )Fö 4ö !Fö 4 x| Dµ¢~{®~cyDzwÁ0ww~cÜ v^?| w| y}{z«∆° Z ?∆Z8~¢@2¨2y}vµ|~Å22s~q{ yiP2|u{lwvµ@~w~{jf2 (x, y) °Ey2x@¿w~22~¶| w|y}{lzIxE~cy∆ i ° ZjP (s) ' P 2 Å?¢~q{l®~y Dz×~2c1 H10(s, 0)∆i ,2π H201 H10Zj =(s, 0)Z j ,2π H20∆i =.z∆wZÁ0w¦w~cv8~¢@2¨2y}vµ|~îfVghÅ`ÁÄÉÊÀYY±|c fYY@ e`Å~Æ@fV¾+\i Å<gq Æ+fй ¿V\ ÉÊ¿VeOãfKÅ<ÁÇÆ×ÏÀ3`ÁÄ^VÁhÉ ¿V\¾V\bÆ@eeÅ<gľYÁhÅb\ c1 Æ@e<_<e]YÁÄ^VÁhÉÊÁÄ¿V¿Vee~Ã@fV¿+\`dZe<_<ÀÂÉ e<^+\òÄe<ÉÂ[leÅ<e ð\fe<gÇÅb\bÆ<¿VÀÂÁÁhÁÆ@fV¿VfYf»cP^Ve`_<¿ :ghe<_<]+\ÃL\i ÅÃ+ÆÝ YY±|cfÝ YK@I8×ÜgÄ\`ÉÊe<É{ÃLÁÇÆ+Á`8¿+\udP\OÃLee<dV^Kc1O¿Ve<gÇÅ<f {f = const} Å<^V\`ÁÄdYÅ`e<^VfVf{e <ÁÄfPa gÄfVgÇÅ<Áh#É ÃL_`f OÁÄ¿YfVÁe`Å~Æ@fV¾+\ÁhÅ<qg {gÄdZe<^Ve`ghÅ im]V^VfY¾VÁÄÉghdPe`^Ve<ghÅ`ßf YY±c| uf KY@ Ã+Æ eÄÃL¿Ve Å<^+\`ÁhdYÅ<e`^VfVf e`Å~Æ@fV¾V\ i Å`qg ¿+\§ÉÊ¿Ve OfYÅ<ÁIÆ V]Ve<gÇÅ<e V¿Y¿V3À ¿+\Å`^+\`ÁÄdKÅ<e<^VfYfFÈ ØÅ<^VÁÇò~dVf^+\òIÃLÁÇÆL\e<]V^YÁIÃLÁIÆ iæÅ<qg ÃLeÆ YÉÊfN(s, f )_<^VÁhÉÊÁÄ¿Vfe óa<eÄð\Y`]Y^Ve<]Ve<^ VfVe<¿+\Æ <¿VÀÂÉÊf_<ÁIÆ@fV¾VfY¿+\`É Λ eÄÃLfV¿V\`dZe<_<ÀÂÉÃ+Æ me<ÁÄfPaghfVghÅ`ÁÄpÉ Æ@ÁhÉÊÉk\YY±c| ÇôÏdZe<^Ve`ghÅ<f»ÃL_<f OÁh¿Vf ]Ve e<gÄe `e<ÉXc:gÇÆ+e i eÅ~Æ@fV¾+\ iæÅ<qg ¿+\(ÉÊ¿Ve OfYÅ<ÁIÆ 2π (s, 0) ]V^VÁIÃ@ÁÇÆ]V^Vf f → 0 PgÄÉ YÞY /ÇKô1Æ@Á ÃLe<_.\bÅ<ÁÇÆ <¿VeVVdZe hÍ&Íf VfVÁÄ¿KÅ<À YÁÄ]VÁ l YK@ Êf l(s, f ) KY±c| 6eÅ~Æ@fV¾+\ iæÅ<qg ÖÅb\`d OÁ¿+\ÉÊ¿Ve OãfKÅ<ÁÇÆ VÈ2πH20 G020H1 G02 −H20 G01Å(s, f2 )22πH20 G02H10 G02 −H20 G012iH20H102πH20 G020H1 G02 −H20 G01221 H10(s, 0)l.l=2π H206Å<ee`òÄ¿+\ó¾+\`ÁhÅ@¾YÅ`eÅ`e<¾V¿VeÅb\`dZe<ÁlOÁ&fYò~ÉÊÁh¿VÁÄ¿YfVÁdZe<gh¿VÁhÅ`gqf!fV¿V_.\^Vf+\`¿YÅ`e<_ ∆ Z ÷Öø í`îXû-*'9 íZïNðDí )FöFö)Fö 4 x|Dµ zº¥1w|}vEy z ¨2¥yw1 (Λ, ∆, Z) Á0w¦wDJEy2x@¿w~22~¶| w|y}{lzIP (0)v¼Λ(0) = Λ0 ,∆(0) = ∆0 ,×~cc¹{l~u~x@¢@2¨2DµÌ¹~q{2wy w Ç x@¢@¿wwZ(0) = Z0 .Λ(s) ° ∆(s) ° Z(s)¼Λ(s) = Λ0 ,H10H20(0,0)(s, 0)∆0 ,H10H20H0H0Z(s) = 20 (0, 0) 10 (s, 0)Z0 .H1H2∆(s) =KYÑ}ùClí18NùVïNðDí )FöFö6>ö ÎDeÁhghÅÍ\`dKÅ<fV¾VÁhgÄdVf"fY¿V_.\`^VfV\`¿YÅ<e`ÉudP\`¿Ve<¿VfY¾VÁÄghdPe"e<gÄe`ÁÄ¿V¿Ve`ghÅ<fV_ÆYÁhÅ`gq¿+\`e<^ÖfY¿V_.\`^VfV\`¿YÅ<e`_ ((Λ, ∆, Z), ε) V_<À¾VfYgÇÆ@Áh¿V¿VÀ3_ãeÄÃL¿YeÖÅ`e<¾VdZÁmdV^YfV_<e γ @]KÆiØg¿VÁÄdZe`Å`e<^+\ÍlcP¿Vd Vf !eÄÃL¿Ve Ö]VÁh^VÁÄÉÊÁh¿V¿Veµ8~¢@2¨2y}vµ| ~ [lÁÄe ~a.eÄÃLfYÉÊe _`e<gÄ]VebÆ `ò~e`_.\Å `qg Å`ÁÄÉÂ"¾YÅ`e Æ@ÁhÉÊÉk\YKÕc| fΛ(s) = ΛÅgÄ^V\`_<¿VfYÅ cP^+\_<¿VÁÄ¿Yf YY±c| kÃ+Æ P (0) f P (s) +ñle\¿+\bÆ@e hfVf!g#Ã@e<dP\òó\Å`ÁÇÆ `ghÅ<_`e<É(Æ@ÁhÉÊÉÊÀYY s0e`Å`dYc~ð\f_<À8Å`ÁÄdP\`ÁÇÅF YYÑ}Ç2πH20(s, 0)∆(s) =H102πH20(s, 0)Z(s) =H10<Þ2πH20(0, 0)∆(0),H102πH20(0, 0)Z(0),H10ñl^VÁ Ã+Æ@eOÁÄ¿YfVÁmKYÉÊeOã¿Ve]VÁh^VÁÄÍ&e<^YÉXcÆ+fV^Ve<_.\bÅã¿YÁÄÉÊ¿Vehe]YeÒ ÃL^Kc^he<ÉXcLÈ÷Öø í`îX-û *'9 íZïNðDí )Fö Fö :Fö 4 x|Dµ zº¥1w|}vEy z ¨2¥yw1 (Λ, ∆, Z) Á0w¦wDy|y|y ~n|w| y}{zÇ x@¿wwΛ(s) ° ∆(s) ° Z(s)¼e 0, ∆e 0, Ze0 ) ÅP (0) (Λ×~c¦cm{l~u~mx@¢@2¨2Dµ£~q{v2wy¯4v^gEycx@¿wE~c~F| w|y}{lz ¼±Λ(s) = Λ̃0 (= Λ0 ),H20 (0, 0) H10e 0,(s, 0)∆2π H20H 0 (0, 0) H10e0 .Z(s) = 2(s, 0)Z2π H20∆(s) =8~¢@2¨2y}vµ|~ÅKYz[lÁÄe~a.eÄÃLfYÉÊe_<e`gÄ]VeÆ`ò~e<_<\Å<gqÅ`ÁÄÉÂ@¾YÅ<ee 0 = Λ0 = Λ(s),ΛÆ@ÁhÉÊÉk\ YY±|< f gÄ_Kòui ^VÁ Ã@c1VfV^Ve`_.\`¿V¿Ve f ÁÄghÅ`ÁÄgÇÅ<_<Áh¿V¿Ve e`¿+\ OÁ Û ]Y^VÁIÃLÁIÆgÄ]Y^Ve<ÁÄdKÅ<fV^Ve`_.\`¿V¿VÀÏalgÄfVgÇÅ<ÁhÉ ¿+\ P (0) gÄÉ°cK^V\`_<¿VÁh¿VfÊ KY±|c fÊ YK ¸Ç°e`Å<dYc~ð\]Ve\`¿V\bÆ@ehfVfg ÃLe<dP\ò~\Å<ÁIÆ <gÇÅ<_<e<ÉÆ+ÁÄÉÊÉÊÀpKY gÇÆ@Á Ã@c<ÁÇÅF KYzI[%[ T `^ó T dó T d ÷BW f2d Y0 WXWÏ× eò~¿VfVdP\`ÁÇÅ{ÁhghÅ`ÁÄghÅ`_<ÁÄ¿Y¿VÀ3 _<e<]V^Ye<g`È¿YÁíY_Æi Å<gqÆ@f _<ghÁ:e<gÄe`ÁÄ¿V¿Ve`ghÅ<fodP\`¿Ve<¿VfY¾VÁÄghdVfVÉÊf yÎBeÁÄgÇÅgÇc1mÁÄgÇÅ<_`c`ÁhÅ Æ@fF _<e<emÁ he<_<e<^@F¹]V^YfVÉÊÁÄ^e<ghe<Áh¿V¿Ve<gÇÅ<fFFV_ÆimÁVgq]Y^YÉÊÀÂÉ]V^Ve`fYò~_<Á ÃLÁÄ¿YfVÁÄÉ \Å`e<ÉÊe<_ A f V Æ@fÐÑ gÅ<e<¾YdVf§òÄ^VÁÄ¿Vf^0Æ@fKcK_`fKÆVÆ@Áh_<e£hdV_<fV_.\Æ@ÁÄ¿YÅ`¿Ve<gÇÅ<fFm\gÄfYÉÊ]KÆ@ÁÄdKÅ<fV¾VÁhgÄdVfYÉ ]V@^ VÉÊÀÂÉ»]V^Ye<fYò~_`ÁIÃLÁh¿VfVÁÄÉ:Û ¿VÒÁ V_Æ imÁ Vqg y MÁÄÉÊÉk\ãYKÕ|]Ye<ÉÊe I\`ÁÇÅð\Å cZÅ<_<Áh^`ÃLfYÅ<ÁIÆ <¿V3À eÅ<_<ÁÇÅã¿+D\ ÇÅ<e`Åã_<e<]V^Ve`g`yl^Ve<ÉÊÁÅ`e ÄeY4ghc ÁhghÅ<_c<ÁhÅÖÆ@f¹e<gÄe `ÁÄ¿V¿Ve`ghÅ Å<fY]+\!ghÁIÃ+Æ+e0Ò VÁh¿YÅ<^µ>Åb\dK2\ F4¾YÅ`e!ÁhÁÅ<^+\`ÁhdYÅ<e`^V¿V3À fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅ^+\_<ÁÄ¿(]V^Ve<fYòÄ_<eÆ `¿Ve<ÉXc«òó\^+\`¿VÁhÁ!ò~\ð\`¿V¿Ye<ÉXc y Î6ÁÊ]Yc<gÇÅ uÍ&fVdZghfV^Ve<_.\¿VÀ gÄÁ Ã+Æ@e<_<e \Å`e<É V C 0Ò ÆL\óÃLdP\ ÍlcP¿Vd V^f g : [0, +δ) → RP ×R ghÉÂbe`]V^VÁIÃ@ÁÇÆ@Áh¿VfVÁYK±|óÝæfòó\`ÉÊÁh¾+\`¿VfVÁYK±|<c| Êfò~¿+\`d ε ∈ {±1} Yô6c ÁÄgÇÅ<_`c`ÁhÅãÆ+f"e<gÄe `ÁÄ¿V¿Ve`ghÅ mÆ+fYcP_<fKÆVÆ@Áh_.\Å<fV]V\ A × V Åb\dK2\ FV¾YÅ`eÁÄÁÅ<^V\`ÁÄdYÅ`e<^V¿V3À fV¿V_.\`^Yf+\`¿YÅ^+\`_`ÁÄ¿ (germ g, ε)y∞nn+l0ÌZF/íZF F£îU'R Õ¥Y U©N Y O N!¤¦NPR!ï Y §OG¤pð¤p§¤ pY NPN!¤¦§^RlFñle<gÇÅ<^Ve<fYÉgÄ¿V\¾V\bÆL\]V^VfVÉÊÁh^¿VÁhdK\¿Ve<¿VfV¾YÁÄgÄdZee<gÄe`ÁÄ¿V¿Ve`ghÅ<fµ÷Öø (ð Clí éø )4ö uFö õ+ö ËD\`gÄghÉÊe`Å<^VfYÉ,gÄ¿Ve`_.\ÃL_.\\Å<e`Ék\YÈ A = (D (s), s = (u + v )) f V = D Û gÄÉÂ^VfVgKY±|#fÆ+ÁÄÉÊÉXcY±|<Õ|`B fKÆ@fÆ i<e Ã@^Y1c Äe "]KÆ+e<gÄdVf "e<^VfVÁh¿YÅ<fV^Kc<ÁÄÉÊÀ3!gÃ@_`cPÉ<_<Áh^ÐfV¿V\`ÉÊfÇ.212221D1áâãälääçæè]Yc`ghÅÍlcP¿VdVf^ f (x, y) òó\óð\`ÁhÅgIÆ@e<Áh¿VfVÁl¿+\_`Å`e<^Ve<É \Å`e<ÉÊÁ`.xÆ"]V^Ve`ghÅ<eÅ<À ÉÊÀ»]V^YÁIÃL]VebÆL\I\`ÁhɾYÅ`e_`Å<e`^Ve \Å`e<ÉuÛ]KÆ@e`gÄdVfµYÅb\`d"¾YÅ`e_<gÄÁ#ÉÊeO¿Vem]Y^VÁIÃLgÇÅb\`_ÆKÅgÄÁ <Á#¿+\me<À¾V¿VeÃ@_`cPÉÊÁÄ^V¿Ve]KÆ@e`gÄdZe<ghÅ`f R (x, y) ZeÄÃL¿+\`dZedZe<¿YghÅ<^KcKd Vf i ÉÊe Oã¿Vee <e fYÅ ¿+\Æ i<e "\Å`e<ÉÂKÙ6c~ÃLÁÄÉgľYfYÅb\Å Y¾YÅ`e _`ÁÄ^ ÐmfV¿+\`ÉÊf\Å<e`Ék\ V Y_Æ iæÅ<qg »Å<e`¾VdVf M : x, y = 0 f M : x, y = 1 f»¾YÅ<e^VÁ <^+\gÄfY¿ hcóÆ Y^V¿Ve he h^+\`Í\æ_Å<ÀÂdP\ i Å`qg _rhÅ`fÅ`e<¾VdVf_æ¿V\`]V^+\`_bÆ@ÁÄ¿V^f Ka°]+\`^+\bÆYÆ@ÁÇÆ `¿VÀÏadZe<e<^`ÃLfV¿+\bÅ<¿VÀÂÉe<qg YÉÂ6ËD\`gÄghÉÊe`Å<^YfVÉo¿V\ A × V Ã@_<ÁÖghfVghÅ`ÁÄÉÊÀlÂñlÁh^V_.\ ÛdP\`¿Ve`¿VfV¾VÁhgÄdP\ F6gghfVÉÊ]KÆ@ÁhdYÅ<fV¾YÁÄgÄdZe ghÅ`^YcPdYÅ`cP^Ve Ω = ds ∧ dϕ + dx ∧ dy £f I\ÉÊfKÆ óÅ<e<¿Yf+\`¿Ve<É H = H(s, f ), \_`Å`e<^+\ Û ggÄfYÉÊ]KÆ@ÁÄdKÅ<fV¾VÁhgÄdZe gÇÅ<^YcPdYÅcK^Ye YKÕc| e = ds ∧ dϕ + ω(s, x, y)dx ∧ dy + a(s, x, y)ds ∧ dx + b(s, x, y)ds ∧ dy,Ωf Å<ÁÄÉ OÁg~\`ÉÊÀÂÉ I\`ÉÊfKÆ óÅ<e`¿Vf+\`¿Ve`ÉÂuôÏfVÉÊ]PÆ@ÁÄdYÅ`fV¾VÁhgÄdP\ ghÅ`^YcPdYÅ`cP^+\ YYÕ| _<3À <^+\`¿V\¿VÁgÇÆVcK¾V\ V¿VeVlÐcP¿Vd Vf ω(s, x, y) _<3À <fY^+\`ÁhÅ`qg 0]V^Ve<fYòÄ_<eÆ `¿VÀÂÉe <^+\òÄe<ßÉ ]V^Yf0Í&fVdZghfV^Ve<_.\¿V¿Ve<Éò~¿V\¾YÁÄ¿VfVf s Í&e<^YÉk\ ω(s, x, y)dx ∧ dy `c~ÃLÁhÅ ghfVÉÊ]KÆ@ÁhdYÅ<fV¾YÁÄgÄdZe Íe`^VÉÊe «¿+\Å<^V\`¿VgÄ_`ÁÄ^VgÄ\bÆ <¿Ve ]KÆ@e \ÃLdZÁKÅb\`d"¾YÅ`eÁÄgÇÅ<ÁhghÅ<_`ÁÄ¿V¿VegÄ¿V\¾V\bÆL\mòó\óð\Å mfVÉÊÁÄ¿V¿YeÍ&cP¿Vd Vf i ω(s, x, y)Ix\Æ@ÁÄÁKÉÊe O¿Ve]VeÄÃLe `^+\Å !ÍlcP¿Vd VfVf a(s, x, y) f b(s, x, y) Åb\`dVfYÉpe <^+\bò~e<ÉÂF¾KÅ<e <À Ωe <ÀÏÆL\gÄfYÉÊ]KÆ@ÁÄdKÅ<fV¾VÁhgÄdZe ghÅ`^YcPdYÅ`cP^Ve ¿+\ A × V Kxme<dP\ OÁhÉ(ghe<e`Å`_<ÁhÅ`ghÅ<_^c irm1c i{Æ@ÁhÉÊÉXc<5í CClù )4ö uFö !Fö 4 x| DµÔ¨2c Ç x@¢@¿w1×~c¦cí{l~u~É®~c2~qDµA×Vω(s, x, y) Å22012Ç x@¢@¿wwa(s, x, y) ° b(s, x, y)D¢°¥^~cz Ç ~q@{e = ds ∧ dϕ + ω(s, x, y)dx ∧ dy + a(s, x, y)ds ∧ dx + b(s, x, y)ds ∧ dyΩczvE| w1{®vXy¢@Dw¥y | ¢~| Àx@¢@Dx~c?~c| ~c2y~2|Dw?|y vE~Á0¿y ÀË{l~c2y¬vµ@~2¦~ÔDw®¬vEx Ä ½ y ¥1~cczí2zº®~qvE1vE~2|µF¯ Ä ½¼Å ° Å ÅÅ Åe±∂b ∂ω∂a−+= 0.∂y ∂x∂s°|}{lÉÊÁÄÁhÅ`gq eÄÃL¿Ve ¿YÁÄeÄÃL¿Ve<^Ye~Ã@¿Ve<Á ÃLfYÍÍ&Áh^VÁÄ¿Yf+\bÆ<¿Ye<Á cP^+\`_<¿VÁh¿VfVÁ _¾+\`gÇÅ<¿VÀÏa]V^Ye<fYò~_`e~Ã@¿VÀÏag§]Ve`ghÅ<eY¿V¿VÀÂÉÊf dZehÍÍ&fYfVÁÄ¿YÅb\ÉÊfFgh_YòÄÀÂ_.\imÁÄÁÃL_<Á ÍlcK¿YdVfVfF]V^VfY¾VÁÄÉ e`Å<¿Ye<gÄfYÅ`ÁÇÆ `¿VedP\ OÃLe fKmò hÅ<fPa Í&cP¿VdVfcP^+\`_<¿VÁh¿VfVÁ¤V_bÆVÁÇÅ<gq e<ÀÂdV¿Ye<_<ÁÄ¿Y¿VÀÂÉÃLfVÍ&Í&ÁÄ^YÁÄ¿VfV\bÆ <¿VÀÂÉ cP^+\`_<¿VÁh¿VfVÁhÉ #¾VÁh_<fPÃL¿YeV"¾YÅ<e ]VeÅ<Áhe<^VÁhÉÊÁ§gÇ1c mÁÄgÇÅ<_<e<_<\`¿Vf ^VÁ ÐmÁÄ¿V^f8xw e<¿YefYÉÊÁÄÁhÅÉÊ¿Ve OÁhghÅ<_`eã^VÁ ÐÁÄ¿Yf F<8~¢@2¨2y}vµ|~ÅÅÚÖÀ ^+\`gÄghÉk\Å<^YfV_.\`ÁhÉèfV¿V_.\^Vf+\`¿YÅ`¿VÀÂÁpÒ ]Ve<_`ÁÄ^<aK¿Ve<ghÅ`f {s = const} f Å`^+\`¿Vgh_<ÁÄ^VgÄ\bÆ<¿YÀÂÁ]KÆ@e\ÃLdYf P (s) _¿VfKaòó\ð\i Å<gq!c<gIÆ@e<_<fYÁÄÉ ϕ = 0 ñl^VÁ ÃL]VeÆ@eOfVɾYÅ<e Æ@fV¿VÁÄ\`^VfYò~\VfVf]VeÅ<e<dP\ñ#c<\`¿VdP\`^VÁ¤]VÁÄ^V_`epgÄfYghÅ<ÁhÉÊÀ (A × V, Ω, H) _Å<e`¾VdP\ba M M ]KÆ@e \ÃLdYf P (s) _<3À Æ PÃKÅdP\`d01M0 : ẋ = λ x1 ẏ = −λ1 yf ẋ = λ (x − 1)2 ẏ = −λ2 (y − 1)M1 :ÎX\dVfVÉe<^+\bò~e<É ΛÒ fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅ^+\`_<Áh¿−1Λ = {λ−11 : λ2 }.[#Å<eV] ^Ye<fYò~ePÃLÁhÅ»ÁhgÇÆ@f òó\`ÉÊÁh¿VfYÅ Í&e<^VÉXc Ω ¿+\Í&e<^VÉXc Ωe y ÎBeÁhghÅ ^+\gÄgÄÉÊeÅ<^VÁÇÅÆ@fV¿YÁ~\`^VfKòó\VfYf!]Ye`Å<e<dP\ñ#c.\`¿YdK\^VÁl_`Å<e`^Ve"gÄfYghÅ<ÁhÉÊÀ (A × V, Ω,e H) _Å`e<¾VdP\ba M M ]KÆ@e\ÃLdYfñl^+\`_<ÀÂÁk¾+\ghÅ<fgÄfVgÇÅ<ÁhÉ!ÃLfVÍ&Í&ÁÄ^VÁh¿ Vf+\Æ <¿VÀÏacP^+\`_<¿YÁÄ¿Vf#ÃLe<ÉÊ¿YecO\Å<gq¿+\Âò~¿+\ó¾VÁh¿VfVÁP (s) y_Å<e<¾YdPÁ M fKÆ@f M ghe<e`Å`_<ÁhÅ`ghÅ<_`ÁÄ¿V¿VeYÈ011ω(s,x,y)01M0 : ẋ = λ1 xω(s,0,0) ẏ = − λ1 yω(s,0,0)f ẋ = λ2 (x − 1)ω(s,1,1) ẏ = − λ2 (y − 1)ω(s,1,1)M1 :\ ΛÒÔfV¿V_.\`^Yf+\`¿YÅ`c~ÃLÁÇÅã^V\`_<ÁÄ¿Λ̃ =ω(s, 0, 0) ω(s, 1, 1):λ1λ2=ω(s, 1, 1)Λ2 ,Λ1 :ω(s, 0, 0)ÅÑÁ`_<ÁIÆ@fV¾VfY¿VÀ Λ f Λ̃ V_bÆYgÇÆ+ÁÄÉÊÁÄ¿KÅb\`ÉÊf RP e`Å~Æ@fY¾+\i Å`gq¬¿V\K#òÅb\`dZehe]V^VÁ ÃLghÅb\_Æ@ÁÄ¿YfÉÊeO¿Veg ÃLÁÇÆ@\ÅgIÆ@ÁIÃ+c^irfVÁ_<ÀÂ_<eÄÃLÀl×ÏebÒ ]VÁh^V_<ÀÏa°<¿VÁÂ_<ghÁÂe<gÄe <ÁÄ¿V¿Ye<ghÅ`»f Y_Æ iæÅ<qg dP\`¿Ve<¿YfV¾VÁÄghdVfVÉÊfF.]Ye<gÄdZeÆ`dYcò~¿V\¾YÁÄ¿VfÍlcP¿VdYfVf¿VÁ e Yò~\`¿VÀ gÄe<_<]V\ð\Å o_Å<e<¾YdK\a M M ]V^Yf_<ghÁÇa s \{Ã+Æ dP\`¿Ve`¿VfV¾VÁhgÄdVfKaω(s, x, y)e<ghe <ÁÄ¿Y¿Ve<ghÅ`Á Λ e`Å s ¿VÁ&òó\_<fVgÄfKÅ×ÏebÒ _`Å`e<^VÀÏa°`]VeÄÃLe <^+\`_#¿K1c O¿VÀÂÉe `^+\ò~e`ÉÍ&cP¿Vd Vf i ω(s, x, y) ÉÊe Oã¿YeÃLe `fYÅ <qg mÅ<e heV`¾YÅ`e <ÀÉÊ¿Ve OfYÅ<ÁIÆ <ÀÏÆÅ<e OÃLÁÄgÇÅ<_<Áh¿V¿Ve#^V\`_<ÁÄ¿lÆ i<e &¿+\`]VÁh^VÁIÃòó\ÃL\`¿V¿Ve ÆL\Ã@dPe mÍlcP¿Vd VfVf f (s) gXc`gÇÆ@e`_<fVÁÄÉfYòÇÒÔòó3\ hfV]VÁÄ^ <eÆ@fV¾Y¿Ve<ghÅ`f]Ve`Å`e<dZe<_æñ#c.\`¿VdP\`^YÁ1¿V\_`gÄÁÇa#Å<^+\`¿YgÄ_<Áh^Vg~\bÆ <¿VÀÏainf f (s) > 0]KÆ@e \ÃLdP\ba Ixme<dP\ OÁhÉ]Ye<gÇÆ@Á ÃL¿VÁhÁcZÅ<_`ÁÄ@^ OÃ@ÁÄ¿VfV5Á Å`eÖÁhghÅ !]VeÄEà <Áh^VÁÄÉ ω(s, x, y) ]Ve f (s)Ç4ñle<ghdPebÆ <dYcÉÊÀe h^+\`¿VfV¾YfV_.\`ÁhÉÊqg ÖÉk\Æ@ÀÂÉÊfÖe`dV^VÁÄgÇÅ<¿Ve`ghÅ VÉÊfe`gÄe <e ÄegÇÆ@e µ+_<e`ò~ÉÊe O¿VÀ»Å<^VfÖgÇÆ+cP¾+\ µÈ@\ fÖÉÊe O¿Ve]VeÆL\ I\Å V+¾KÅ<eã_^+\gÄgÄÉk\bÅ<^VfV_<\`ÁÄÉÊe Öe<dV^VÁhghÅ`¿Ve<ghÅ`f f (s) > 1 f (0) > 1f!ÉÊce O¿Ve]VeÆ@\ I\Å Y+¾YÅ<e_^V\`gÄghÉk\Å<^VfY_.\`ÁÄÉÊe e<dV^YÁÄghÅ`¿Ve<gÇÅ<f 0 < f (s) < 1 0 < f (0) < 1ω(s,1,1)ω(s,0,0)10ω(s,1,1)ω(s,0,0)<1_fÉÊeO¿Ve]YeÆL\I\ÅV@¾YÅ<e_^V\`gÄghÉk\Å<^VfY_.\`ÁÄÉÊee<dV^VÁhghÅ`¿Ve<ghÅ`f < f (s) < 2 fÖ¾YÅ<e]KÆ+e\Ã@dK\ P (s) VÁIÆ@fVdZe<É¿V\ba.eÄÃLfYÅ`qg _e ÆL\ghÅ<f −1 < x, y < 2 xme<ghÅb\bÅ<e<¾V¿Ye]V^Ye<_<ÁÄ^YfYÅ gÇÆ@Á Ã@1c ifYÁc<gIÆ@e<_<^f FÈ|` ω(s, 0, 0) = 1 P ω(s, 1, 1) = f (s) K ω(s, x, y) 6= 0 ¿V\_<ghÁ !]KÆ@e \ÃLdZÁ P (s) ñle<ghÅcP]VfVÉ,gIÆ@ÁIÃ@1c irfVÉ:e `^+\ò~e`ÉÂÈ@\ IÈ ]VebÆ@e OãfVÉñl^Ve<_<Áh^VdP\YÈk|<4fu P4e<¾VÁÄ_`fPÃL¿VÀ ω(s, x, y) =ω(s, x, y) =(f (s) − 1) + 1.]VebÆ@¿V3À !dV_.\ÃL^V\'Å ñ]YeÆ@e OãfKÅ<ÁÇÆ <¿Ve<Á¾VfVgIÆ@e +1 > 0.IÈ ]VebÆ@e OãfVÉñl^Ve<_`ÁÄ^VdP\YÈ|`fo Ke<¾VÁh_<fPÃL¿YÀ ω(s, x, y) = (1 − f (s))− 1 + f (s).]VeÆ+ce OfYÅ+¾VfYgÇÆ@'e ñó]VeÆ@¿F+dY_V + ]YeÆ@e OãfKÅ+¾VfVgÇÆ+e > 0 ω(s, x, y) = ñl^Ve`_<ÁÄ^VdP\YÈ4|`+f P+e<¾VÁÄ_`fPÃL¿VÀl_ IÈ ]VebÆ@e OãfVÉω(s, x, y) = f (s)+ 1−.<e`òÄ¿+\ó¾VfVÉXñlec`gÇÆ@e<_`f i −1 < t < 2 t =g(s, t) = ω(s, x, y) = f (s)t + (1 − t)ÍlcP¿Vd V^f g(s, t) Æ@fV¿YÁ V¿+\]Ve t < f (s) < 2 V]Ve ÇÅ<e<ÉXc12f (0) = 1x+y 22x+y2x+y22x+y2x+y212ω(s, x, y) = g(s, t) > inf {g(s, −1), g(s, 2)} = inf {−f (s) + 2, 2f (s) − 1}ss≥ 1 inf {−w + 2, 2w − 1} = 0.2<w<2ÌZFíF F£ò YÒÑ R Ðp QPRSDÎ ÁÄ]VÁh^ÉÊÀe`Å`_<ÁhÅ`fVÉ ¿+\ _<e<]V^Ve`g¤e(ghcÁhghÅ<_`e<_.\`¿VfYfëlkNôò~\ð\`¿V¿YeÄeÆ@fYcP_<fKÆVÆ+ÁÄ_.\(Å`fV]+\gòó\óð\`¿V¿VÀÂÉ Å<^+\ÁÄdYÅ`e<^V¿VÀÂÉ:fV¿Y_.\`^Vf+\¿YÅ<e<ÉÂÖ \`Í&fVdZghfV^Yc<Áhɧe`gÄe <Áh¿V¿Ve<gÇÅ Å`fV]+\ghÁIÃ+Æ@ebÒ0VÁh¿YÅ<^FºJ6Å<ee`òÄ¿+\ó¾+\`ÁhÅB¾YÅ<e_`À3<^+\`¿uf¤òó\`Í&fVdVghfV^VeÒ_.\`¿ghÁIÃ+Æ@e`_<e \bÅ<e<É V g n _<ÁÄ^^ ÐfV¿+\ÉÊff l ^VÁ <^V\`ÉÊfF+e<]V^YÁIÃLÁIÆ irf Å`e<]VeÆ+e Äf i0e<ghe <ÁÄ¿Y¿Ve<ghÅ`f Å`ÁÄe<^YÁÄÉk\ |<Ñ}VÕ| ÇËD\`gÄghÉÊe`Å<^YfVÉ _<ghÁ_<e`ò~ÉÊe O¿VÀÂÔÁ lkNô Åb\dPe ÄeÆ@fYcP_<fKÆVÆ+ÁÄ_.\Å<fV]V\YN #]Vf ÐÁhÉÉÊ¿Ve OÁhghÅ<_`eòÄ¿+\ó¾VÁÄ¿Vf fKa"Å`^+\`ÁhdYÅ<e<^Y¿VÀÏafY¿V_.\`^VfV\`¿YÅ<e`_VMÁ hdZe_<fZÃLÁhÅ V@¾YÅ<efVÉÊÁ iæÅ<qg ÖÅ<^VfV_`f+\bÆ <¿YÀÂÁe h^+\`¿VfY¾VÁÄ¿V^f Ö¿V\ÍlcP¿Vd Vf ig = (Λ, ∆, Z) : [0, δ) → RP n × Rn+l .×ÏebÒ ]VÁh^V_<ÀÏa°Yò~¿V\¾YÁÄ¿VfVÁ ΛÒÔfV¿V_.\^Vf+\`¿YÅb\¿VÁlÉÊeOÁÇÅ<À8Å]V^Ye<fYò~_`eÆ<¿VeÅ`e<¾VdZe!]V^Ve<gÇÅ<^+\¿VghÅ`_.\u]Ve`gÄdZeÆ <dKcè]Ve e<]V^YÁIÃLÁIÆ@ÁÄ¿Vfi _<ghÁ dZe<ÉÊ]Ve<¿VÁh¿YÅ<À ΛÒÔfV¿V_.\`^Yf+\`¿YÅb\^VÁÄ\bÆ<¿Ve ghfVghÅ`ÁÄÉÊÀRPV_bÆ iæÅ<qg !]VeÆ@e OfYÅ<ÁIÆ <¿VÀÂÉÊfµ<Ýnø í`îXí.ûBíZïNðDí )Föu4ö)Fö Ö ¿+\ó¾VÁÄ¿VfYÁ Λ = {Λ : · · · : Λ } ∈ RP ÉÊÀ cóÃ@ÁÄÉ¿+\òÄÀÂ_.\Å2~®x| Dw1{z({&ÁÄgIÆ@fÅ<e<¾VdP\fVÉÊÁhÁhÅ ]V^YÁIÃLgÇÅb\`_<fYÅ`ÁÇÆogÄe_<ghÁÄÉÊf]VebÆ@eOãfYÅ`ÁÇÆ`¿VÀÂÉÊfΛ ∈ RPdZe<ÉÊ]Ve<¿YÁÄ¿YÅb\`ÉÊfµ[#cZÅ ]Veò OgÁ cóÃ@ÁhÅ]Ve`dK\bòó\`¿VeYB¾YÅ`e_<gÄÁÃ@e<]Yc<gÇÅ<fVÉÊÀÂÁ Λ ^YÁ~\bÆ@fKòÄc1i Å`gq(__<fPÃLÁfY¿V_.\`^VfV\`¿YÅ<e`_¿VÁhdPeÅ<e<^VÀÏa!ghfVghÅ`ÁÄÉÂ×ÏebÒ _`Å`e<^VÀÏa°òÄ¿+\ó¾VÁÄ¿V^f ∆Òf Z ÒÔfV¿V_.\`^Yf+\`¿YÅ`e<_ Åb\`d OÁ ÃLeÆ O¿VÀ <À8Å ÃLe<]Yc`ghÅ`fVÉÊÀÂÉÊÕf gÄÉ¿+\`]Y^VfVÉÊÁÄ^µ ]Ç" , ø í`îXí.ûBíZïNðDí )Fö uFö 6>Àö Ö \`Í&fVdZgÄfY^Yc<ÁhÉ ò~¿+\ó¾VÁh¿VfVÁÒÔfV¿V_.\`^Yf+\`¿YÅb\Y Ö ¿V\¾YÁÄ¿Vf ∆ ∈ R Z ∈ R ¿+\ò~ÀÂ_<\ i Å`qgΛ2~®x| Dw1{z({lw+1ÁÄgIÆ@f:gÄ^VÁ ÃLf»_<gÄÁIéa lkNôÜ¿+\u\Å`e<ÉÊÁ V gÖòó\ð\¿V¿VÀÂÉò~¿+\ó¾VÁh¿VfVÁhÉ ΛÒ fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅb\¿+\ ZÃLÁhÅ`qg ÖÅb\`dP\ µ+¾YÅ<eÁÄÁ&fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅ<Àp^+\_<¿VÀ (Λ, ∆, Z) × -<ÀÏÆ@fÖÃLe`dK\bòó\`¿VÀcZÅ<_`ÁÄ@^ OÃ@ÁÄ¿Vf µFe<]VfYgÄÀÂ_.\ irfVÁ]Y^Ve<ghÅ`^+\`¿VgÇÅ<_.\ÃLe`]Yc<gÇÅ<fVÉÊÀÏaòÄ¿+\ó¾VÁÄ¿Yf ÒLf Ò fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅ<e<_V×¾+\ghÅ<¿Ye<ghÅ`fFóÃ@e<]Yc<gÇÅ<fVÉÊÀÂÁ6ò~¿+\ó¾VÁh¿Vf ∆ÒÔfV¿V_.\^Vf+\`¿YÅb\e <^V\òÄ1c i ÅÆ@fV¿YÁ V¿Ve`Á∆ Z]VeÄÃL]V^Ye<ghÅ`^+\`¿VgÇÅ<_<e!]V^Ve<gÇÅ<^+\¿VghÅ`_.\ B (P̃ ) Lòó\`_`fVqg mÁÄÁe`ÅòÄ¿+\ó¾VÁÄ¿V^f Λ µ\ÃLe<]Yc`ghÅ<fYÉÊÀÂÁòÄ¿+\ó¾VÁÄ¿YfÒÔfV¿V_.\`^Yf+\`¿YÅb\e <^V\òÄ1c i Å_<ghÁÉÊ¿Yce OÁÄghÅ`_<e H (P̃ ) Zd Vf" , ø í`îXí.ûBíZïNðDí )Fö uFö :Fö ÐcP¿V" ,1nnnnl01g = (Λ, ∆, Z) : [0, δ) → RP n × Rn+l+¿ \òÄÀÂ_.\`ÁÇÅ<gq ~®x|Dw1{ ~+»ÁÄgIÆ@f ¿+\<e<^VÀ _<gÄÁIa ÁÄÁò~¿+\ó¾VÁh¿Vf Y_Æi Å<gq gÄe`e`Å<_<ÁÇÅ<gÇÅ<_<Áh¿V¿VeÃLe<]Kc<ghÅ`fVÉÊÀÂÉÊf ΛÒ ∆Ò f Z Ò fY¿V_.\`^VfV\`¿YÅb\`ÉÊfì (∆, Z)(s) V_bÆVÁÇÅ<gq ÃLe<]Kc<ghÅ`fVÉÊÀÂÉ fKÆ+f¿YÁhÅ _òó\_<fVgÄfYÉÊe<ghÅ`fe`Å,dZe<¿VdY^VÁhÅ`¿VeÄe,òÄ¿+\ó¾VÁÄ¿Yf Λ(s)Iæf dV^Ve<ÉÊÁ Å<eheV ^Ye<ghÅ`e<d germ g fYÉÊÁÄÁhÅ C Ò ÆL\Ã@dPe Äe]V^VÁIÃ@ghÅb\`_<fKÅ<ÁÇÆ H ghÉÂVòó\`ÉÊÁh¾+\`¿VfVÁYK±|<c| Ixme<dP\ OÁhÉ Å`ÁÄ]VÁh^ ãgIÆ@ÁIÃ+^c irm1c i{Å`ÁÄe<^VÁhÉXc^VÁ~\Æ@fYòó\ VfVfFÈ| Ç w¢| w~22z({ëc¨22wywy}{t¢~qvEy ¿; í * ø í Clù )Fö uFö Fö 8v^KvEª32~c¦~~{V = (P , K)∞02®~qvE~uwy¬vµ@zyÀw~Àw¿y¬vEµ@zy v ª32~2~®x| Dw1{l~cwN®E~w¨~qvEµ@~c¦~ | x@©y | xygε°~c|~2y ~c| Dµ vwxwv@vEy~²2¢2wuvEy DuÀy¢@~qzºìw2w ¢~~/E~A × V°°|~c2®cy?|(germ0 g, ε) ÅxÆãÃLe`dK\bòó\Å`ÁÇÆ<gÇÅ<_.\¿+\`É ]Ve<¿+\Ã@e<fYÅ`gqgIÆ@ÁIÃ@c1irÁÄÁ 2 ËD\`gÄghÉÊe`Å<^VfYÉ dP\`dZe KÒÔ¿Vf `c~ÃE Ò \Å<e`É P ge<ghe<ÀÂÉmÄ^+\Íe`É K féI\`ÉÊfPÆóÅ<e<¿Ve`_<e»gÄfVgÇÅ<ÁhÉÊe¿+\¿VÁÄÉÂVñlc`ghÅ −δ ≤ H ≤ δ ¿+\ P VËD\`gÄghÉÊe`Å<^VfYÉ]V^Ve`fYò~_<ebÆ<¿Ve<Ál^YÁ<^Ve K e<gÄe<eÄew = sgrad HÄ^V\`Í\Y+ËB\bò~^VÁ OÁÄÉ,]Ye<_<ÁÄ^<aK¿Ve<gÇÅ _bÃLeÆ » ÆL\Ã@dPe ÄeãeÅ<^VÁÇò~dP\Y+Å<^+\¿VgÄ_<Áh^Vg~\Æ <¿Ve]YÁÄ^VÁhgÄÁÄdP\irÁ ÄePY|i^VÁ <^Vefu_<ghÁãÅ<^V\`ÁÄdYÅ`e<^VfVf w BËD\`gÄghÉÊe`Å<^VfYÉ0Åb\`d^OÁe`ÅÄÃLÁIÆ<¿Ve¿YÁÄdZe`Å<e`^VÀ3ð ]V^@VÉÊec^heÆ<¿YfVd^ñ Ã@Á m > 0 Ff´he<^VfYòÄe<¿YÅb\bÆ<¿Ve<ÁI\`ÉÊfKÆóÅ<e`¿Ve<_<eÖ_<ÁÄdYÅ`e<^V¿Ve`Á]VebÆ@Á¿+\ M(M = [0, m ] × [−δ, δ]Åb\`dZe<ÁL¾KÅ<e <À _<^VÁÄ<É !]V^Yeóa<e OÃLÁh¿VfÖdP\OÃ@e!Å`^+\`ÁhdYÅ<e<^YfVf_<¿YcZÅ`^Vf M <ÀÏÆ@e^+\`_`¿Ve m @×ÏdKÆ@ÁhfVÉhÅ`e`Å_&^+\ò~^YÁhò ¿+\ P `Åb\d¾YÅ`e_&fYÅ`e ÄÁ_<^YÁÄ<É ÃL_<f OÁÄ¿Vf ¿V\^VÁ <^VÁ K f_<ghÁÇ»a Æ+fYò~dVfPad¿YÁÄÉXcMÅ<^V\`ÁÄdYÅ`e<^Vf PacP_<ÁÇÆ@fY¾VfYÅ<qg ã¿+\ m #]VfYg~\`¿V¿K^c i»e<]YÁÄ^+\ Yf i»¿+\ò~e`_<ÁÄÊÉ ¢cvEy ¢~"dYc`gÄdP\_&fVg a<eÄÃL¿V3À ]Ve`Å`e<d!¿+\^VÁ <^YÁ K Ä^+\`Í\ K ËD\`gÄghÉÊe`Å<^VfYÉ Åb\`^d OÁe <^+\bÅ<¿Y1c i e<]YÁÄ^+\ Yf im:×63À <ÁÄ^VÁhÉ gÄ¿Ve<_<\ Å<^+\¿VgÄ_<Áh^Vg~\Æ <¿V3À K fe<gÇÅb\bÆ <¿VÀÂÉ Å`^+\`ÁÄdKÅ<e<^V^f VÉ ]VeÆ w ÆL\ÃLdVf e`Å<^VÁÇò~e<d f ^+\`ghgÄÉÊe`Å`^VfVÉ Á Äe g ÃL_<f _bÃLeÆ I\`ÉÊfKÆ Å`e<¿Ve<_<\ ]Ve`Å`e<dP\Ü¿+\ _<^VÁh<É m ñleÆ+cP¾VfYÅ`qg Á mÁeÄÃLfV¿ Å`^+\`¿Vgh_<ÁÄ^VgÄ\bÆ <¿Y3À eÅ<^VÁÇò~e<dF×ÏÀÂ^VÁ OÁÄÉ:fKò P ]V@^ VÉÊe`1c heÆ <¿VfYdÖÃ+Æ@fV¿VÀ m fgÄdKÆ+ÁÄfVíÉ <Áh^VÁ I\ã^V\ò~^VÁÇò~e<_Y°ÅÑÁ`L]VÁÄ^V_`e<¿+\ó¾+\bÆ `¿V3À e`Å`^VÁhòÄe<dfãÁ Äee <^+\ò ]V^Vfãg ÃL_<f hÁØ¿+\ m ^ J6Åb\e<]VÁh^+\ Vf ¿+\òÄÀÂ_.\`ÁÇÅ<qg ¶2zYEy¦¨2wy¸{dYc`gÄdP\]Ve`Å`e<dP\¿+\^VÁ <^VÁ K Ä^V\`Í\ K × ghfKÆ+cÅ<Áhe<^VÁhÉÊÀ x\`^ cÉÊce O¿Ve¤gľVfYÅb\bÅ V6¾YÅ<e«ghdKÆ@Á YdVfFÏ¿YÁÄe ~a.eÄÃLfYÉÊÀÂÁ]V^Vf,e<]Y^VÁIÃLÁIÆ@ÁÄ¿YfVfe<]VÁh^+\ Vf _<dKÆ+Á VdVf(f_<ÀÂ^YÁhòó\¿Vf Fk]V^Ye<_<ÁIÃ@ÁÄ¿VÀ ÆL\óÃLdZeVÊÅb\`d,¾YÅ`efYPò ÆL\ÃLdYfKÊa I\`ÉÊfKÆ óÅ<e`¿Ve<_<ÀÏagÄfYghÅ<ÁhÉ]VeÆ+cP¾+\ i Å<qg ÆL\ÃLdYfVÁ I\`ÉÊfPÆ óÅ<e<¿Ve`_<À gÄfVgÇÅ<ÁhÉÊÀlÌ #]VÁÄ^V\ VfVfÜ_`dKÆ@Á YdVf fo_<ÀÂ^VÁhò~\`¿VfV_bÆ iæÅ<qg !_`òó\fVÉÊ¿VeÒÔe <^+\Å`¿VÀÂÉÊfFLôÏÉÂ+^VfYg`LYY PKiiiiiiiiiiiiiiiiKPáâãälääèÖÚ eO¿Ve ^+\`ghgÄÉÊe`Å`^VÁhÅemc1i e<]YÁÄ^+\YfimY_Æimc1i gq dPe`ÉÊ]Ve`ò~fVfVÁ e<]YfVg~\`¿Y¿VÀÏa°¹[\dP\OÃLe<É ^VÁ <^VÁ K h^+\`Í\ K ^V\`gÄghÉÊe`Å<^VfYÉ ]Y^Ve<fYòÄ_<eÆ<¿Ye<Á _<ÁÁhghÅ<_`ÁÄ¿V¿Ve`Á ¾VfVgÇÆ+e m ôÏe<_<e`dYcP]V¿Ve<gÇÅ »¾VfVghÁÇÆ m ÉÊecO¿VeÅ`^+\`dYÅ`e<_.\ÅdP\`d ¿VÁhdZe`Å<e<^Kc^i _<ÁÁÄgÇÅ<_<Áh¿V¿Yc1i e~Ã@¿Ve<ÉÊÁÄ^Y¿Yc1idZe VÁh] m ¿+ \ Ä^+\`Í&Á K Y[&\dP\ OÃLe<ÉfYò#^VÁ <ÁÄ^ K ]Y^VfVÉÊÁÄ¿YfVÉe<]VÁÄ^V\Vfi_<dKÆ@Á VdVfFKÁÄgÇÆ+f m > 0 fKÆ@f«e`]VÁÄ^+\ Vf iÜ_<ÀÂ^YÁhòó\¿Vf FBÁÄgÇÆ+f m < 0 dYc<ghdP\ÃVÆ@fV¿VÀ |m |Ç% <e`ò~¿V\¾YfVÉ Φ dZe<ÉÊ]Veò~fVfiÅb\`dVfPNa ÇÆ@ÁhÉÊÁÄ¿YÅb\`^Y¿VÀÏae`]VÁÄ^+\ Vf ^VÁÇòÄcóÆ óÅb\Å¿YÁ&ò~\`_<fVghfYÅe`Å]Ve<@^ PÃLdP\fKa]V^YfVÉÊÁÄ¿VÁh¿Vf Ç¿+\òÄÀÂ_.\`ÁÇÅ<qg ~®y¬@¿wy Õ¢cvEy ¢@wÁ¬zYy¦¨2w1dYc`gÄdP\" , ø í`îXí.ûBíZïNðDí )Fö u4ö °ö #]VÁh^+\ VfΦ]Ve`Å`e<dP\Y+e`Å`_<Áľ+\ iÁ Äeð\`¿V¿Ve ÖdZe VÁh]Vf m iiiiiiim. m#]VÁh^+\Vf Φ fV¿PÃ@c1VfV^Kc<ÁhÅ ÃLÁYghÅ<_`fVÁ Φ Ä^YcP]V]YÀ eÄÃL¿Ve<ÉÊÁh^V¿VÀÏa dZeVÁh]VÁÄ^V\`Í\ K ¿+\]V^Ve`ghÅ<^V\`¿VghÅ`_<ÁI\ÉÊfKÆóÅ<e<¿Ye<_<ÀÏa¤gÄfVgÇÅ<ÁhÉ¿+\"ð\¿V¿Ve<É \Å<e<ÉÊÁgÉÊe<^Vghe<_<gÄdYfVÉÊfI\`ÉÊfPÆóÅ<e<¿VfV\`¿+\`ÉÊfF\Åb\d OÁ#f¿V\mdKÆL\`ghg~\baÅ<e`]VeÆ@e hfV¾VÁhgÄdZe gÄe<]Y^ ^OÁÄ¿Y¿Ve<ghÅ`fFVÎDemÁÄgÇÅ Φ K_m¾+\`ghÅ`¿Ve<gÇÅ<fFPÃ@ÁVgÇÅ<_`c`ÁhÅ¿+\fV¿V_<\`^Vf+\`¿KÅ<À Λ ∆ Z #]Vf ÐmÁÄÉ gÄ]VÁ Vf+\bÆ <¿Y1c i gÄfVgÇÅ<ÁÄÉXcg ∆ = 0 f Z = 0 gÄfYghÅ<ÁhÉgl¿YcóÆ@Áh_<ÀÂÉÊffV¿V_.\^Vf+\`¿YÅb\ÉÊf ∆ fÃLe<gÇÅb\Å<e<¾Y¿VeãÉÊ¿Ve ÄeV+¿+\É(]VeÅ<^VÁ `c<ÁÇÅ<qg ¿VÁhdZe`Å<e<^V\ _`À6ÃLÁÇÆ@Áh¿V¿+\ ÖgÄfYghÅ<ÁhÉk\Yê ZËD\`gÄghÉÊe`Å<^VfYɧ]V^Ye<ghÅ`Á ÐmfVÁgÄfVgÇÅ<ÁÄÉÊÀo¿+\dV^YÁÄghÅb\aµÊe`dV^Yc O\ irfKau_<ÁÄ^ ÐmfV¿VÀ K Xñl^VÁ ÃLghÅb\_<fVÉdP\ OÃL3À dY^VÁÄgÇÅm¿+\&]KÆ@e`gÄdZe<ghÅ`f R (x, y) _&_<fPÃLÁæe Æ@\`ghÅ`f |x| < 1 |y| < 1 |H| < ε .]Yc`ghÅ H = xy [&\ hÅ<e`ÉudV^VÁhghÅ<ÁØ^+\`gÄghÉÊe`Å<^YfVÉ«Í&e<^VÉXc Λ dx ∧ dy f I\ÉÊfKÆ óÅ<e<¿Ye<_<em_`ÁÄdYÅ`e<^V¿Ve<Áæ]VeÆ+Á w = sgrad H ÃLÁY_Æ VÁÇÅ<qg §dZe<ÉÊ]Ve<¿VÁh¿YÅ<e ΛÒ fY¿V_.\`^VfV\`¿YÅb\»_ghe<e`Å<_`ÁhÅ<gÇÅ<_`1c irÁ e<ghe <e Å<e<¾YdPÁg ÎX\`dZe ΛdV^VÁhghÅ^+\¿VÁÄÁl¿+\bò~ÀÂ_.\bÆ+qg K¢@~w¥^y| ¢@w1{ÑÇ+ÐmcP¿Vd Yf _<^VÁhÉÊÁÄ¿VfãÃL_<^f OÁÄ¿V^f "]VedYc`gÄdYcÅ<^+\`ÁhdYÅ<e`^VfVf_<ÁhdYÅ<e<^Y¿Ve Äe¤]VeÆ w X¿+\ba<e~à ÁhÉXc<qg :_`¿YcZÅ<^Vf,dP\`¿Ye<¿VfV¾VÁhgÄdZe heudV^VÁhghÅb\Y1^+\`_<¿V\ÃVÆ dK2\ OÃLe (fYò¾VÁÇÅ<_<Áh^YÅ<fV¿Ye<d(dY^VÁÄgÇÅb\ −Λ ln |H|.