Гармонические отображения римановых многообразий, страница 2

Лемма 1.2 доказана. ЧитВВВЯ ~15) ° получаем, чго функЦИЯ ~р ~ у;„) на Я ~, Н Огре Вна сверлу максимумОМ функпии (х/у ) ~>( ~~Ц + В~) (8 .) Ва мнс стве 2 И) ~ б ~, ц~е В~ = Вт 3~ ~~~Д~) . следовательно, в силу утверждений ~г) и (д леммы 6.1 существует такан е зависящня от т константа С, что еу ~у~) 6 С на Я ~ Н, . Более того, поскольку все дифйеоморфизмн Видественнн вне множества Л" О Я., Обозначим через у~ ~ О ~ ~ ~ 1 ) существуюшую по ЕДПОЛОИЕНИЮ ИВЛУКЦИИ Ииффзстспий МНОГООбразиЯ Я ° правИПЬ ' ЙИОсительнс Я. ~ услохие ~ а) ОпреДелсниЯ "Ве 1 псзволЯОт выб ть такую Глалкую иэнстонную замену параметра ~ ~ '~) ю что (О)= О, ~~1)= 1 И 3' 4ВнФ ~ 8 а~а~~ " '.у ':.'' уе Ф и~фиильнссть Ф ч Относительно Я Ц' Н Следснательно й ~' Я, пранильнн е Поскольку нвкритич вские знаЧЗВИЯ р,~ $ функ .".' 'Я :.ф.

(; ЛоказательстВО теоремы 5"Х занвриается объединением утвер- ф,;ж .- .- "у :'бдений двух псслсдних лемм 6,3 и $,'4, Лвйстиитвщ,но Пусть Я Й'- . Из результатоВ С.Смейла 124~ следует, Что на М су- щд~Щ~'ЕТ ГАВ.ЕВЯ Морса р, Удовлвтнорпсщан трвбонанинм 'данин с привлечением ДВОйстзвнности Пучнкаре и теОр6м ?~рвнича и ' '::::::::"::.".:;::::::::,'!,.;:,:;Увйтхвда псзнсляют заключить, что Я Гомотопнчвски зкВКВвлвнтно Г 3 :ет, что К диффвомсрфно сфвр6 лля Всех Глндких сфер ~> и раз :иерностнх и. ъ 3 требонаниям лавалю 5.4 Удониетноряет МО3са, ЯВлнюшвЯОЯ ОГраничением на ,'Р лйбОГО ненулеВОГО ВЗЩВст венного линейного функционала В объемлющем простраиствв !К хаким Образом, Нудная функциЯ ~И с~чЦвстнувй На лйбом МНОГООб:~ЙВии Я у УДОВлетнорЯВЩем УСЛОВНЯм твОремы бъХе Положим ',Щ = р (-юд,Й~, Гдв Й е. !К вЂ” таков некритическое зРачвнив Р, ЧТО ПОДМНОЖЕСТВО Я ~ Я" СОЛВРКИТ РОВНО ОДНУ ЩЯи~иВскУЮ точку — максимум функции р ° Компактное подмногосбразие Я" правильно ~зто следует из лвммм 6.4), а поднножв- ФтВО Я ~ Я днффЕОМОрфвс ОТКрытсму дискУ.

СлвдонатеЛЬНО, ВЫ'Нслнены Услонив лвмьн 6 ° 3 и многообразие Я пранильно, т в 8 е су- 4ЮВ$, ~'" „~ф~,ф~~ф ф~' % 9 $ :- Ииа ";= ~~ф33888~ .$ -' Ф',ф !!':~!!.-"'",.~1!!~! Ф!,',:::: -, ' „1 ц '! „$ . б е Ббсбходимоа тоцологича скоа услони8 сущастионаник Ф„Ф ~ на триэиальных Глобально мищщ~ылу,нц)ф~ гармоиича ских Отббрйжений 'В.ф ':::;-,;:::,.",;.:':;:,"''."'."~Ь„' Параидам к иаучанио ноцроса 0 суйастнонании гомотоническй ' минимум Функционала Лирихла Е н оноам гомотоничаском класса мотоничаскии класс ~ Ы„3 тождестнанного отображаник гладко:-';",,.::,:",":,::-,-,;.;::'".'-',,,'„.:",'",:.-,:, ГО Риманона многсоб киме 1басконачнс-диФфар8ИЦНРУамыми) В частности мы ОтождастнлЯ6м зламанты множастна ~М , Л~ ~ Гсмотопичаских классон Отобра- е~п) = ~ 1 е(у) ~ Вообиа, чараа м1 Е мы будам обозначать точнУю ниинкю грани,' 'цу множа стна Значаний функционала Дирихл8 на накотОРОМ подмнсРбтюж ситУацннх.

Рафа, н тсполсгичаских тарминах оцисынаат класс Риманоных '4ного- 1иногообразия и Е~И) = О . Тогда ~м1Е = О н любом гомотоаичв'~мом классе Гладких Отображений из Ф н Р$ Доказательстно» Если мнОГООбразив .Я ЕУльмерно что Утн8РИ- деБИЗ лвммм триниальео Пусть ОКА М. > 0 Фиксируем произВОль- кЯЙ Гомотонический клаОО ГлаДких Отображений из,Ф э Р$ и наберем н нем такое отображение ~, что ~(Ю)Л 3РФ= Ф . Раощ9щим касательнОе ВдОль $ Векторное Рассло8нив Т~ над Я/ в мшщщное н аервом иараграфа. Из теории конечномерннх линейных , гдв число Я > О набрано таким обть".г1, ',:ф, : -ита 6Ы ~ЦФ),ЗЖ) ~ 26' (8сий ЭМ ~ ф, то к >6 проиа' ~аъво).

ОбоинЕЧИИ 'Вава:,О": КаЮЩа:вДаЭММаФ'йвжи:Я" в пвнтром В началв ИООрдинйт Й опрвдщцщ отображвнив Г 'ЖФЗ Ф' ,~~1 формулой йнвдвннов формулой (1) отображение Я' янлявтсн субмвРсивй, по67ОЙ7 из л8мми 4.3 слОД787 сУщВстВОВЯниВ 78®ОЙ ЙОлОзийВА:ьесй кОВ- станты С , что послвдонатвльность Е~ Г„ ) иажорирувтся последовательностью С.Е1у;) . Следовательно, Иг;) Р при 6 Понятно, что нов отображвния Г; гомотопны Г . Позтому ~а$Е = О 3 класса ~ Е 3 .

Из лвммн Е.1 получавм, что ~м) Е = О н гомотопичвском классе отображения Г ~ Л~и (о1, сонпадаимцвго с Х М силу ~1) е Ламма бвЗ доказана ° Доказатвльстно творвмн 6 Х'. Обозначим М произнольное : гладков риманоно многообразие. Понятно, что если М, компактйо, то Я ~~) = О тогда и только тогда, когда то жв ранвнстзо амполннвтся для любой компонвнты снязности многообразия М . 63Мдовательно, творвму 6„"1' достаточнО доказать для снизимся мнс- ~6, М е -', П~ ° Слвдсаатвльно, нв существует нвтриииаль- 76ОРВМ6 6'~Л.

ДОЖЦЗЙНЙ в 3 класса ксмпвктннх семмвтричвских прсстрвнстБ тепа 1 (тевв .Цв ЙВЯЯющихсЯ ГД~ппами Ли) ОбнаруеилавтсЯ твснаЯ ОБЯвь БОНРОСОБ О ЖВВБО8 сей,нДартыс)Й рийи БОЖЬЕЙ и87фмкОЙ~ 7ОГДЗ ~1) Бсв нвпсстОЯнныв ГНРмсничвскеВ ОтсбРаивниЯ ез М Б 63ОИЗЗОЛЬНСВ ГЛВДКО6 РИМЗНОБО МНОГОС)браЗИЕ НВУЫОИЧЙЗЦт ВСЯ~ И ',ТОЛЬКО ВСЛЕ Е(М) = О ~Г) тснДвстБВннсв Отсбражвнив ~др~ С7) ь~ х "~~у: Я м ~ в,Я.К Я х 1 ь =ь хй~..Рх1- Я. РхТ. Яссмотрим отобРажений (в) Ф =~м~~Ф ':Р~м1 - Ф' ф - ~Д~~~~рф © ~, .' Р~~ ~ з~, Я (5)„~7) и ~8) аолучаеи: Ф.! П" И=7~ ".е, Г ~ 93 и Г б ~~3 .

Лемма 64~ доказана. Пусть соследозательность гладких отобракеиий Г;Е ~$л~~ озон метрики на Я ~а~ ~амниание н ~Кй М э М либор иомпоненти связности Ренстза ~ (~~» ~) содержит множестэо постоящдщ отобра изб з Л~ :Фмзнс. Тогда пересечение замыканий в Я~и ~Я,я~) зсвх композвнт связности пространства С ~М,Ю) непусто и содержат мно- ФОРБС ЙОстсяннБх стОбрв',еений, 3 чзстнОсти~ звмБВЙЯ26 пРсстРЯ зз С" ~М, Ю) в 94 (М,.М ) связно. Лля доказательстна теоремы 7.1 нам понадобится Лемма ~,2, Пустн т ° : щ -+ ~Д ( ~ ~ Д ...

) такия последс,'.Фсбпаи~й, «ло Е ~~; ) — О при ~ '"' . Тогда сУп~ест=-Ует .