Гармонические отображения римановых многообразий

2 СО Яддуо щ,Щ8чэи6ЩВ8сЯ ОбОэниЯ6~ Глаза ~, Дприорнаи нвустойчизОсть хмрмОничеО~иих щО~~дЩ~ЯЯЯф. в в е е в в., ж а Ф 4 .Ф- Ф 4 в. Ф в и" . В. Пврнж и нтораи ваРиации Фуниционвла Лирвхлв ° е е е ° е е ° ~ ~ в ° ~ ° ° ~ ~ ° $2, Яеуотоичиность гармоничвсеих Отображений нвкоторнх однороднее миогообраВий в ° ° ° ° е. ° . в 36 $3. Индеком гармонических отображений афер ° ° ° ° ° 64 Глава 2. Задача минимизации функционала Лирихлв ..... 69 $4 е ПрвдВВритвльннв энчислвеин е ° в е ° ° е ° е ° в 69 $5. Поведение фнкцио~щла Дирихие на группе диФфеоморфизмоз дщ~хснвзного многообразия....

65 $6. Необходимое топологичвокое условие существования ДЮ ~~ У~ ~~~~" ~~Ж~~~Р~М~~РИЧ6сКея группа диффеоиор~ивщц~ !;".;~"„. ~~~'ь) ~ ~=- ~у~~ при достаточно мал~~ з оу,.зщ~ачм зющщ гладкие отсбражения ~'6 'Г щ в и многообразна, реализуюмие ~нимФ Е на иодм~жест- врсстршства Отббрайений Предисловии в что ~ ~ иомнамт" но и фиксируем некоторое Отображение ~)~'~ С ~ 4$~ СЗ~ КО~ВТИЗЙ~ ~ЙЭЙВ !)и ~абсолютная версия) или на содержащей отображение у комаоненте связности аространства С „ ~М,И) (относительная версия) .

Ю Обе задачи глубоко нетривиальны и имеют богатую историю. Пусть 4~ замкнуто (компактно и без края). Классическими резуиьзадач в случае дааМ= ~ ~доказательство может быть основано Ф':;.:: солвтную версию задачи Лирихле; современное решение задачи реаесли ~двумерная~ кривизна Ф неположительна (С,И.Альбер В. С И й.Сэссон дзу~~рную ~~д~~у Плато сорри ~29 показал, что абоолют- у уомезко ~~~~ и' ликом ииие ноотрОил '.гбмеомор$ное Я ' ' ')" '~~' „" бек ддщзали что нетриниальнооть ~В~ ~У ) нлечет сЭЮстн~ .39еиВ ЖОМ Ои 6деюх'6 ЯВхии'УОЯВнжО 3ЩЯОнзЯООЯОУО ОтМДЙВ8еиЯ ~Д, глобально шального в своем гомотоаичесиом классе.

Следующий ваиний результат получили Гильдебранд, Баул Я/ Радиуса т > О , леиащий в нормальной окрестности любой из сзоих точек (нормальной окрестностью точки назызается любая ОблйОть ОЩ)8Д8лВБВЯ ЯОДмйльЯОЙ сист8мм иОО~ЩМВйт О Ц8ВтДОМ з этой точке). Пусть у'~ЗМ) с 3('с) и т< 'РДД, где константа ~ > О маиорирует функцию двумерной крививнн на Ф Тогда в С„~ ~Ч, М) существует абсолютно минимальное гармоническое Отобраиение ~, нричем ДМ) С Л('с), Примерами Решений задачи реализации являются голоморФнне отобраиенин Ев ИМВ ьЮ1 Е = ОО~~Р) ж~ Е, ~1х у~ ~13 Гдз ФК(Р) — Объем мнОГообрйзин Р (Воли ойщР= О, то полоким 'ба(Р) = ~ ).

при ВтОм ~~$ Е нй Джу~ ЯВ достк ГЙВтсяу Воли гсмотопичзсеии клксс ~$д ) НВтрилкилзн Следстаив 6.6. Пуоть зцподнеии уса(вил теоре~ 6 4 а В жйждой компонентв связности проотрйнстий С' ~~Ч, ~У) содвркктся ГЗОбйльнО миБиьильнОО ГЙДЯОничеОЯОе О'.РОбр8%ение. БрОДООАО- жим, что Обй Отсбрйжзнкк ~ и ~9 Гомотопкчзсжи нзтринийлъны. тогда м4 Е >() нй ~~ х у~, но НВ достигйвтоя ни нй одном глйдкОм Отсбдюзи!Бии иэ этОГО х'Ом(ОООичесиОГО клйоОЙж РЯд Гнрмоничзских (ИВминимйлъзнх) Отобрйж8нии иидй пострсзн в ~Э -НЫШО ИЗЯВОТНЫМИ вйзт, что гомотопичбажие клйссы отобрйкзний ив МЛР и Ф~Я с НВдостигЙВмым и~~ Е > О вовнижнют и слздуяцих ситуациях (Р~ к Ф' зймкнутн, С (Р, Я) НВсвязно): (1)М=Ы~~З~ЩО, (2) А Я=2, ')~~~Ф)ФО,~~~Ф)= О, (3)У'(м)ФО, жркнизнй Ф нзположитВльнй ~ НнпрнмВр, можно Взять тйк06 ссчзтнни6 ГДЕ М,у ~ С ~у,„) 1„7 — СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-Чинита и Еэ рранненен ~1), оченцдно, Вытекает симметр ость формы 8~ е еленее 1.1.

Второй фущаментальной формой гладкого ,3 отобраления ~: Р~ — Я/' ремановнх многообразий назннается симметричеснел билинейнаЯ форма В = 7~~сК ) на 'Г~ Х Г~, 'й~ . Средней нринезной Отобраиенин ~ назыВается поточечный след Н~ = ~.т 8~ этой йормы, янлнющийся ГЛЕДВИМ ВЕХТОРННМ ПОЛИВ ВДОЛЬ ~ е Формулируемые ниже леммы 1.1-1.4 хороио изнестны ~ см.нанрн- Вложение Гладиех риманоннх многообразий Тогда формы Ву е Н~ нрннимын значения В нормельнси расслоении к Д~Й ) В гле Х= ~Э~ь/Э~) ~ С ра-Лагравиа для функциовалв Ди ;--":":Р '" а.+ иие ЙОО1роевив, Пуоуь ф: 806 Рзсслсбеиб О Риманонсй сая обРаеиеи Л ' Лважды иовариа оечевие Х ~ С"~~) оо еваиевюии в ~ . Поточечвы 30 Я„, ~ ~. ) = ~т ~~ — е Й ~', М.) або 3 р Ю МЕ С ~%р~) р гдз Я - твнзор риманоиой нринезни многообразия с', а символ Ьз ~м — Г~~,~) 3 обозначает аоточвчннй след билинейной форме нз С~„м 'Г~ц Из снойстн твезора К~ слаКУВт» что снврзтор Йс симметричен.

Если ~ * ~О1,„, (тоидвстнвниое отсбрвевние М, 3, тО Йьс~ Двйстз~Гвт н еасатальном расслО6нии И. ОИЗПЯДЯ67 О ЕЛЯССИ%8СКЕМ О рнй мн Обозначим симнОлсм В~с' ~ ° стсбраивнив гладких римвновых многообразий, аречвм Р1 замзнутсв тогда нтсрая нариация функционала ДирихАВ Е э ннчислвнная э "точев" ~ , янлявтсЯ БВЩвствеееозначной симмвтречвоеой билинейной формой еа С ~ч~ ) х С ~'Гу ) и имеет след7ю5ий нид гдв ~ - Элемент Обьвма на Я,, Д~ и Кьс~ - Онзраторн Лволзс8 и Рйччи Я Рассл68нии $.~ еленке Х..

Линейный сильно Вский ди4ФВРп~- оператор второго поуцца 9 = -~ц-Вс~ в раселеееек с',, соответотеухщий гарыоивчеоиому отобуакеиив Х . ЕазеваВтся операто.ром Якоби отобракееия К ИЗ демми Х 3 з юицЩ$фткых тжф9м О ОмдьмО элжизимчФОззх ::1=1-"4 лиф$еренпшльннх ОЕЭраторех слещэт,, чтО в Олфчае замкнутого пространство С ~~~) разлагается в Мув сумку конечисмери МХ ЧИСЛО ОООТЗ97ЮРЩЯ7 О!~~бЩеИЮЛЪНБМ ООбСМВФЖБИ Тоидественисе отобрзиееие ц~~ч гледеОУО риыаесва меод Обре,эмЯ М РВЯЙОижчиО и ддж9 ВБОлБ8 3ГФОд93ичиО, т к 9 ДЩерею~кел ковариантеО постоянен. Оператор Якоби Отсбракения Й~ру обозначим через Оц е Из приведенных вюпе фсрйЯ~л ЕЩДНО~ что 3р~ = Л Йьй ° где Ь стаидартеий Оператор лаылйск на векторных полях, а К'с ~ — оператор кривизны Риччи многообразия Я . Последуииие результаты юотоящей ижвы во многом основаны на существовании связи 0ч о операторамк Якоби произвольных гармонических отображений ~:~ — ~1Г .ЯЗ~ЖКТЩ) 87ОЯ ОЗЯЭИ ЗЫЯСНЯ6Т ВЗЖИК ТВО Вма 1 1.е Пусть ~~/~ в" Я~ — произвольнОВ ГармОничэс кое Отсбрежение гладких римановых многообразий ю а 3~ е „~р~ операторы Якоби отображения ~ к тсидественеого отобракенкя нногообразия Я соответственно.

Тогда ":$ Рйссмотрим гйрмоничйское отобрнжйяие ~: Я вЂ” Ф конйчно" Обрйвие я зймкнуто ~компактно л б86 крдя). В ооотнйтотнии О лбимой 1.2 Отобрйжений ~ янляйтся экстрймйльи функционйлй Дирихлй Е т-В. НВрная вариация 8 Е ~Ф), соотийтотвуаВЯ отобрйивнию ~ являвтоя тождественно Нулавнм линййннм функционйлом нй .прострйнствв С ~'г~ ) звкторннх полей вдоль 1 Нйномним что Отобрйийний ~ нйинийВТОЯ УстОЙчкним (и Омислй функционйлй Дирихлй) ~ Воли ЕВотрицйтй~п~нй ннйдрйтичнйя формй второй вйРийции о" ГЯ), которая в соотиетствии с леммой 1.4 зм882 слбдуйщий зиД -,:.:$ ФВсь Х б С ~ ву ) ~ с~и — ВЛВМВнт Обьймй нй Я и ОЯВ~итОР Яиоби, БВВДВннцф 3 одределе~щц „~ 4 Рйссмотрим Однонйрймйтричйску18 группу ц~ диффйоморфи ф ф мон мкогообрййия М и ОНРВдйлим нйрийцш отобрйжйния ~ фор мулой ~~ = $~ ~~ соотнйтствувщйя инфинитйвимйдащя нйрийция НЗЗЫВ88ТОЯ Е408',МЛЬНЫМ ЗаатцрнцМ аолВМ ндОЛЬ т И НМВВМ нид аТ~м~, гдВ д-~3~~/~~ ":::::ф: 1=9 ~6кторноВ пол8 нй М ОНРВдйлн~юВ группу ди4фйоморфивмон у ТВОРВмВ 1е1 были еолучйнй формуле, внрйжщндя ~~ ~,~~,,) чнр66 -~е 1~) ° гд' -~м — ОНВРВТОР якОби соотвйтстнующий тоидйс~ ~~~Сну отобрйиннии многообрййик Л Послй аодстйнонки Вт Й фОРмужн в (1) получим: ~ФФВ~, 48 Ф5В~В ~ ~~'~ 1.

Р ) - козф$ицивнты оиаратора мй ПосиольиУ к сбратноиу экзмзиту нвлжатск щзоиатрнай грунны 6 в Если участь„что действие ('„в С (Р~ ) смысла ~ л -структуры ° то получим: Щ7ЩОНВЛЬЯО Б у Л~ (у) 3~М. ~я К С' ЛМ Сравнаниа раванств (17) и (18) ариводит к нуиной формула. Лаима 2 Е 4 ДОН ЯЭЯ Щ 6 Ламма 2 5. Пусть Л~ -опрадаляемый равенством (б) линайннй однородный ди44зранциальный Оператор, соотватствующий гармоннчзскому отображению ~: Р~ — ьЯ~ из наариводимого компактного риманова многообразия Р1 = ('„/Н в накотороа рим~ нсвс многООбразиа Я~ е '1огда Я~ — () р гДЗ ~3~ — усрЗД- нанна оаератора ,9~ в смысле (16) .

Локазательство. Обозначим чараз с~~, ( ~ 0,1, Х, 3 ) ксзф$идианты опаратора Л~. у Оеесанныа в ламма 2еЗе Мы Долины ДСКЗЗЗТЬ, ЧТО др = 0 ДЛЯ ВСЗХ Р = О) 1р 2, Ъ е РЗВЗНСТВО О1р = О слЗДуат из пункта (а) ламин 2аЗе При с~~т К Раванство 3~ = О сладузт из пункта (б) ламмы 2.3. Пусть А ~Д Означавт» что Оущ6стлу6Т так06 нвнул8306 эйжтОРНО8 ВОл8 уж С СГ„) 1 что 4~ (м) ~.м, Гда Х- сО~М с О, ф„, =-~ Всм ° ОНЗРатор Риччи В~с саалярвя (следстиив 2 1), а ~к Ж онвратор Лапласа Ь 8 иннариантвн:: С зтО слвдувт из Я- -жа Ж вариантности снязности Д и из формулщ ~ ст 9' ) ° Поэтому опвратОР „~щ пврвстанОВОЧЗН с двйстнивм Группы изомвтрий Д "',:-. В С (к„,) и 3 ~~ )=1ф для любого ~я С, .

Из лвммн а.2 (ЯВЯ'8!Р Р338БОт3О о' Е1И И С~~) = л ( ~ А~ ) ~м,~фЬ+ 2 (ф3 ф) 48, С19) Гдв у= м и использонан тот фант, что уда4(ф) = рм. Проинтвгрирувм обв части С19) по группе 5 , Используя ф РВЭУЛЬ'.Р87.Ы ЛОХМ 2,4 Й 265, .ПЩЦЧЯЕЯ: :--:"::::::-':;:!, Гдв Л~ — усрвднвнив пврзсй фундаментальной формн отображении ° Из лвммн 2 1 слвдувт, что симмвтричвская 6 -иняариаятная :::,—:,'.-:1 Форма А ~ с Точностью Дс постояннОГО множитвля сонпадавт со бИЙЯЩ)ЯБМ Щ)ОИ326ДВИ$8М~ 7 8 Д»(м,~) = се!~!1,с= иа~Ф.

С21) ,:::::,:'':-:::::,::.::::::;: . Дсквжвмр что с > с) е Двйстнитвльяо, поскольку Отображвнив нвпсстоянно, ~т. А~ > С) яа множвстнв положитвльной иври. КроМЭ ТОГО, ~~А~ ~ О ВсюДУ на ~'1 ° Поэтому ~л А~ ~ О ° 0пв...:,::.:="::'' Рация усреднения пврвстанонсчна со Взятием следа и силу с4) слв- ЙВЙЮЕВ Ф~ '''~',':"-'",!!!~!!!!" ' Донатвльно~ с'ФСьтЯ Ь А~ > О е Таким Образом~ из Отрицатвль :-':::::::::::-',:::,:::,:,-'-',::,, ности множителя А и раввнстн С20) и С21) слвдувт явранвястно Локазатвльстно. Вшолнение условий ~а) и ~б) Определения Х В лцбой РиьиноВОЙ метрике на К следует из лващ 4.5, что оказннает пврное утнерждение.

Дня дозазательстна дорого угвврж' внин Обозначим ч8рвз ~~ диффвотОпию многообразии Я, працуе относительно компактного подмножвстна К с Х . Фиксируем ОВу метрику на .Я и ВВЗДвм на Ф ТНЩ~ю ~йййнону метрииуу которОЙ диффеоморфнзм ~ янлиется изометривй 3 этОЙ метрике ди4феотопии $а у~ $ 1 и подмножвстВа Х~К) а,Д Выпол- ИИ ЗСЭ ТР6бО:МЯЛ ОПРВДВЛОЮ1Я 6е.Г, бей. ЯСМПОЗИЦНЯ О ИЗСМ6Ц)И- ', очвнндно, сохраняет . плотности и 1~К)» = 3 ~К~ ) '~ДОжи.'Ольвии, эти ЩзбсВйнея ВипОлиеии в лБ етрике на Я/ .