Дифракция на неоднородностях в волноводе

На правах рукописиЛаврёнова Анастасия ВикторовнаДИФРАКЦИЯ НА НЕОДНОРОДНОСТИ В ВОЛНОВОДЕСпециальность 05.13.18Математическое моделирование, численные методы икомплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук.Москва2006Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУим. М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Александр Николаевич БоголюбовОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Анатолий Семенович Белановдоктор физико-математических наук,профессор Юрий Андреевич ПироговВедущая организация:Институт математического моделированияРАНЗащита диссертации состоится «___» _______________ 2006 г.

в ____на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 при Московскомгосударственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992,г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. №______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическогофакультета МГУ.Автореферат разослан «___» _______________ 2006 г.Ученый секретарьДиссертационного Совета К 501.001.17,доктор физико-математических наукП.А.

ПоляковОбщая характеристика работыАктуальность. Применение различных численных методов к решениюграничных задач электродинамики, в частности к задачам дифракцииэлектромагнитных волн, представляет в настоящее время большойинтерес. Математически задача дифракции давно поставлена иформулируется как краевая задача для системы уравнений Максвелла сопределенными условиями на поверхности тела и дополнительнымиусловиями на бесконечности. Однако общего метода ее решения для телпроизвольной формы с произвольными электрическими параметрами донастоящего времени не существует.

Можно записать строгоеаналитическое решение дифракционной задачи только для ограниченногочисла наиболее простых случаев, которые являются мало интересными впрактическом отношении. При выполнении конкретных расчетовприходится либо использовать различные идеализации при постановкесоответствующих задач, либо применять приближенные методы расчета,для которых часто нет строгого математического объяснения и неизвестныграницы их применимости. Поэтому совершенно очевидно тоисключительное значение, какое имеют численные методы для решенияграничных задач электродинамики и, в частности, задач дифракции.Задача дифракции на неоднородном теле может быть сведена кинтегральному уравнению со сложным ядром по объему неоднородноготела, но реализация алгоритмов решения подобных задач связана созначительными трудностями.

Проекционные методы сводят решениедифракционной задачи к решению алгебраических систем уравнений(полный метод Галеркина) или к краевой задаче для системыобыкновенныхдифференциальныхуравнений(неполныйметодГалеркина). Весьма перспективным является неполный метод Галеркина,предложенный А.Г. Свешниковым1. Этот метод позволяет решатьширокий класс различных задач дифракции на телах произвольнойгеометрии и в локально-неоднородных средах.

Однако применениенеполного метода Галеркина приводит к необходимости решения такназываемых жестких систем уравнений, что вызывает значительныетрудности в реализации соответствующих алгоритмов.Большой интерес представляет применение для решения задачдифракции и, в частности, дифракции на рассеивателях в различныхволноведущих системах методов конечных разностей в прямой ипроекционной постановках (метод конечных элементов)2,3.Свешников А.Г. Волны в изогнутых трубах // Радиотехника и электроника.

1958. Т. 3.№ 5. С. 641-648.2Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. Наука.1981.3Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука. 1983.1Актуальность применения конечно-разностных методов связана сразработкой эффективных численных алгоритмов для расчетанерегулярных волноведущих систем, в частности, систем с локальныминеоднородностями. Поскольку такие системы имеют сложную геометриюи неоднородное заполнение, встает вопрос об использовании наиболееуниверсальных численных алгоритмов для их исследования.

Такиеалгоритмы могут быть построены на основе метода конечных разностей впрямой и вариационной постановках (проекционно-сеточные методы,например, метод конечных элементов). Метод конечных разностей длярасчета электродинамических систем стал применяться относительнонедавно, однако в настоящее время он широко используется для решениякак прямых, так и обратных задач электродинамики4,5. Обладая большимипреимуществами, метод конечных разностей вызывает определенныесложности при своем использовании. Одной из таких сложностей являетсяпроблема ограничения области, в которой ищется решение.

В случае еслинеоднородность в волноводе носит локальный характер, для ограниченияобласти удобно использовать парциальные условия излучения, впервыепредложенные А.Г. Свешниковым6. Впервые такой подход былиспользован А.Н. Боголюбовым и А.Г. Свешниковым в работе,посвященной расчету плоского волновода методом конечныхразностеٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ ٛ онно-сеточныхметодов к расчету волноведущих систем возникает ряд принципиальныхтрудностей. Не все решения, полученные проекционно-сеточнымиметодами (на основе методов Ритца, Галеркина и др.), имеют физическийсмысл и соответствуют реально распространяющимся модам.

Проблемаборьбы с фиктивными решениями, называемыми часто «духами», являетсяодной из актуальных и сложных. Использование смешанных конечныхэлементов является решением этой проблемы.4Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г.Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечныхразностей // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.1998. № 5. С.39-54.5Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечныхразностей для решения задач синтеза волноведущих систем // Математическоемоделирование.

2000. Т.12. № 1. С.13-24.6Свешников А.Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. Т. 3. № 5. С. 517-520.7Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Применение итерационного метода к исследованиюплоских волноводов с неоднородным заполнением // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. № 4.

С.947-954.Целью настоящей работы является:1. Постановка задач дифракции волн на неоднородности в волноводе вскалярной формулировке и в полной векторной постановке.2. Разработка эффективных алгоритмов решения задачи дифракцииволн на неоднородности в волноводе, основанных на вариационноразностном подходе с применением лагранжевых (для скалярнойпостановки) или смешанных конечных элементов (для векторнойпостановки) и использованием парциальных условий излучения дляограничения области.3. Анализ вариационно-разностных схем с применением смешанныхконечных элементов для предотвращения появления фиктивныхрешений («духов»).4. Реализация алгоритмов в виде программ для ЭВМ.5. Апробация программ на тестовых задачах и сравнение результатов сточными, а также с имеющимися данными, полученными на основеметода интегральных уравнений.6. Применение разработанных алгоритмов длядифракции волн на неоднородности в волноводе.исследованияНаучная новизна.

Впервые для решения задачи дифракции волн вволноведущей системе используются смешанные конечные элементыразличного вида, в комбинации с парциальными условиями излучения,которые применяются для сведения внешней задачи к внутренней.Практическая ценность.

Построены и апробированы эффективныеалгоритмы, позволяющие решать задачи дифракции волн в волноведущихсистемах со сложной геометрией рассеивателя. Данные алгоритмыприменимы для расчета волноведущих систем как в акустическом, так и вэлектромагнитных случаях.Основные положения, выносимые на защиту:1. математическая модель дифракции электромагнитной волны начастичных диэлектрических заполнениях в плоском волноводе вскалярной и полной векторной постановках с использованиемпарциальных условий излучения для ограничения области впродольном направлении;2.

численный алгоритм решения скалярной задачи дифракцииэлектромагнитной волны на неоднородности в плоском волноводе наоснове метода конечных элементов с использованием элементовлагранжевого типа;3. численный алгоритм решения векторной задачи дифракцииэлектромагнитной волны на неоднородности в плоском волноводе наоснове метода конечных элементов с использованием элементовсмешанного типа;4. применение разработанного алгоритма для расчета характеристикрассеяния электромагнитной волны при дифракции нормальнойволны на неоднородностях в плоском волноводе;5. реализация рассматриваемых численных алгоритмов в видекомплекса ЭВМ-программ.Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:— Международной конференции студентов и аспирантов пофундаментальным наукам "Ломоносов-2002", секция "Физика" (Москва,МГУ им. М.В.

Ломоносова, 2002);— IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн».(Московская область, г. Звенигород, 26-30 мая 2003 года);— научный семинар кафедры математики (Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, физический факультет);Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6работах [1]-[6].Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения,трех глав, заключения, списка литературы, трех приложений. Объемдиссертации составляет 107 страниц основного текста, включая 34иллюстрации и 1 таблицу. Список цитируемой литературы содержит 113библиографических ссылок.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫПервая глава посвящена методу решения задач дифракции нанеоднородности в волноводе – методу конечных элементов. В первомпараграфе отмечается ряд преимуществ данного метода, основным изкоторых является возможность его применения для областей произвольнойформы и граничных условий общего вида, причем возможно нерегулярноеразбиение области. На расположение элементов при разбиении области ненакладываются ограничения, что позволяет применять метод конечныхэлементов для широкого круга областей без использования глобальнойфиксированной системы координат.