Автореферат (Вычислительные методы для задач достижимости и синтеза управлений в условиях нелинейности)

Московский Государственный Университет им.М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиНа правах рукописиСиняков Владимир ВладимировичВычислительные методы для задачдостижимости и синтеза управлений вусловиях нелинейности01.01.07 — вычислительная математикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2016 г.Работа выполнена на кафедре системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»Научный руководитель:Куржанский Александр Борисович,доктор физико-математических наук, академик РАН, заведующий кафедрой системного анализа факультета ВМК МГУ имениМ.

В. Ломоносова.Официальные оппоненты: Овсянников Дмитрий Александрович,доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории систем управления электрофизической аппаратурой федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»Обросова Наталия Кирилловна,кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ФИЦ «Информатика и управление» РАНВедущая организация:федеральное государственное бюджетноеучреждение науки «Институт проблем механики имени А. Ю.

Ишлинского РоссийскойАкадемии Наук»Защита состоится 25 мая 2016 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационногосовета Д. 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносовапо адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, д.1, стр. 52, 2-й учебныйкорпус, ВМК, аудитория 685.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского государственного университета им. М.В.

Ломоносова по адресу: 119192, г. Москва, Ломоносовскийпроспект, д. 27.Автореферат разослан «»2016 г.Ученый секретарь диссертационного совета Д. 501.001.41,доктор физико-математических наук, профессорЕ.В. ЗахаровОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы. Данная работа посвящена вычислительным методамдля задач достижимости, гарантированного оценивания и синтеза управлений для некоторых классов систем управления. Изучаемые управляемые системы описываются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основное внимание в работе уделено классу билинейных по состоянию и управлению систем. Задача достижимости заключается в построениимножества достижимости, состоящего из всех точек, в которые можнопопасть из заданного начального множества, используя допустимые управления, которые удовлетворяют так называемым “жестким” или геометрическим ограничениям. В задаче гарантированного оценивания требуется найти информационное множество, которое состоит из всех точек, совместимых с поступающими в реальном времени измерениями и ограничениями нанеопределенность в системе и начальном состоянии. Поступающие измеренияпредставляют собой функцию от состояния системы и реализации помехи вуравнении измерений.

Неопределенность в задачах гарантированного оценивания также удовлетворяет геометрическим ограничениям: значения неопределенных параметров в конкретный момент времени должно принадлежатьопределенным множествам в пространстве этих параметров. Множества достижимости и информационные множества являются составными частямирешения других задач теории управления, в частности, задачи синтеза. Висследуемых в данной работе задачах все рассмотрения производятся на конечном отрезке времени. Важными понятиями в этих задачах являются понятия трубки достижимости и информационной трубки, которые представляют собой многозначные отображения, значениями которых в фиксированный момент времени t являются соответственно множества достижимости иинформационные множества [1].К настоящему времени разработан ряд подходов к рассматриваемому кругу задач.

Необходимо подчеркнуть, что решение этих задач, как правило,может быть получено только численно и требует большого количества вычислений. Лишь в ряде исключительных случаев решение получено в видеявной формулы.Основным элементом многих таких вычислительных подходов является2использование метода динамического программирования, разработанного Р.Беллманом [2]. Этот метод заключается во введении вспомогательного объекта — функции цены, которая вычисляется как оптимальное значение соответствующего задаче функционала для каждой позиции системы. Позициейсистемы называется пара объектов: момент времени и обобщенное состояние системы. Позиция выбирается таким образом, чтобы функция цены удовлетворяла полугрупповому свойству, которое также называется принципомоптимальности. В таком случае функция цены является решением дифференциального уравнения в частных производных, которое называется уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ).

Функция цены часто бывает невсюду гладкой и удовлетворяет уравнению ГЯБ только в точках дифференцируемости, поэтому возникает необходимость использовать различные понятия обобщенных решений уравнения Беллмана. Среди определений обобщенных решений можно выделить обобщенные решения С. Н. Кружкова [3]для выпуклого по импульсной переменной p гамильтониана H(t, x, p), вязкие решения [4, 5, 6], построенные при помощи метода исчезающей вязкости,вязкостные решения, введенные М. Г.

Крэндаллом и П.-Л. Лионсом [7, 8], иминимаксные решения, введенные А. И. Субботиным [9, 10]. В случае непрерывной функции цены последние два определения эквивалентны.Одна группа численных методов, связанная с использованием метода характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби, была развита в работах Н.Н.Субботиной [11, 12].

В рамках этого подхода функция цены в задаче достижимости (или в задаче синтеза) аппроксимируется на основе формул методахарактеристик.Другой подход к численному решению задачи достижимости заключаетсяв дискретизации соответствующей функции цены по времени и/или по пространству. В частности, при дискретизации по времени уравнение ГамильтонаЯкоби заменяется некоторым оператором, который переводит аппроксимацию решения в момент t в аппроксимацию решения в момент t+∆t.

Решенияв рамках этого подхода приведены в работах [13, 14, 15, 16], см. также книги[17, 10].Третий вычислительный подход заключается в оценивании решений рассматриваемых задач множествами более простой формы. Эти оценки представляют собой внутренние или внешние аппроксимации искомых множеств.3В работах А.Б. Куржанского [18, 19] был разработан аппарат эллипсоидального исчисления, в рамках которого для линейных систем строятся внешниеи внутренние оценки множеств достижимости в виде эллипсоидов (см.

также [20, 21]). При этом объединение всех внутренних оценок, как и пересечение всех внешних оценок, совпадает с точным множеством достижимости.Сходная теория для оценок в виде параллелотопов была позже построена вработах Е.К. Костоусовой [22, 23].Данный подход можно реализовать различными способами. В указанныхвыше работах оценки получены индуктивным методом (также см. [24]). Другой способ, называемый принципом сравнения для уравнений ГамильтонаЯкоби, предложен в работе А.Б.

Куржанского [25]. Он сводит задачу к нахождению верхних и нижних оценок функции цены, которые конструируютсяпутем оценивания гамильтониана в уравнении Гамильтона-Якоби-Беллмана.Этот способ, в частности, применен в работе [26].В данной работе также используется именно этот подход.

Его применение приводит к алгоритмам аппроксимации, в которых оценки задаются спомощью решений задач Коши для некоторых специально сконструированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи Коши для различных оценок независимы друг от друга и решаются численно.Независимость позволяет при этом эффективно использовать параллельныевычисления.

Полученные в результате наборы оценок могут быть использованы для построения более точных внешних и внутренних аппроксимацийискомых множеств с помощью операций пересечения и объединения.Имеются работы, в которых было получено точное аналитическое представление множеств достижимости для конкретных нелинейных управляемых систем (см., в частности, [27, 28]).Одними из ключевых понятий в теории гарантированного оценивания,разработанной А.Б. Куржанским [29, 30, 31, 32, 33], являются понятия информационного множества и информационного состояния системы, которые являются различными вариантами формализации доступной к некоторому моменту времени информации о состоянии системы и связаны между собой определенными соотношениями.

Информационное множество оказывается решением соответствующего эволюционного уравнения [34], а информационное состояние, в зависимости от определения, является решением4уравнения или вариационного неравенства типа Гамильтона-Якоби [35, 33].Использование этих различных формализаций доступной информации позволяет применять при решении задач гарантированного оценивания как теорию многозначного анализа и дифференциальных включений, так и теориюуравнений Гамильтона-Якоби.В теории, разработанной Н.Н. Красовским и его сотрудниками [36, 37,38, 39, 40, 41, 42, 43], предложена формализация дифференциальных игр иподробно исследована их структура. При этом, в частности, указано, какимобразом можно построить синтезирующую стратегию управления, удерживающую траекторию системы внутри слабоинвариантных множеств, несмотряна действия второго игрока, и обеспечивающую таким образом попадание нацелевое множество в требуемый момент времени.Важным свойством, которое зачастую имеется у множеств достижимостинелинейных систем, является их невыпуклость даже для выпуклых начальных множеств.