Возбуждение электромагнитных колебаний в импедансных волноводах

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. Ломоносова.Физический факультет. Кафедра математики.На правах рукописи.УДК 517.958МУХАРТОВА ЮЛИЯ ВЯЧЕСЛАВОВНАВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВИМПЕДАНСНЫХ ВОЛНОВОДАХСпециальность 01.01.03МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКААВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук.Москва20071Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.М.В.

Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор А.Н. БоголюбовОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Гольдман М.Л.доктор физико-математических наук,профессор Грац Ю.В.Ведущая организация:Институт МатематическогоМоделирования РАН.Защита диссертации состоится « 8 » __ноября_____2007г. в _______ часов назаседании Диссертационного Совета К 501.001.17 при Московском государственномуниверситете имени М.В. Ломоносова по адресу:119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. №______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.Автореферат разослан «_4_» __октября_______ 2007 г.Ученый секретарьДиссертационного Совета К 501.001.17,доктор физико-математических наук________________________П.А. Поляков2Общая характеристика работы.Актуальность.Значительныйтехнологическийпрогресс,достигнутыйвразработке новых материалов, и их активное применение в задачах передачи информацииделают актуальными исследования волноведущих систем со все более и более сложнымизаполнениями и покрытиями.Основы математической теории волноводов заложены А.Н.

Тихоновым и А.А.Самарским в 1940-х годах. В их работах построено в виде рядов решение задачи овозбуждении электромагнитного поля заданным распределением тока в регулярныхполых цилиндрических волноводах произвольного поперечного сечения с идеальнопроводящими стенками. При исследовании задач возбуждения волн в волноводахпринципиальной является необходимость постановки условий на бесконечности, такназываемых условий излучения, которые позволили бы выделить единственное решениезадачи. В случае, когда возбуждение осуществляется источниками, локализованными внекоторой ограниченной области, такие условия формулируются в виде требованияотсутствия волн, приходящих из бесконечности. Для волновода такими условиямиявляются парциальные условия излучения, предложенные в работах А.Г.

Свешникова, чтопозволило корректно поставить целый ряд важных краевых задач электродинамики.При описании возбуждения колебаний локальным распределением тока вволноводе, характеристики которого не меняются вдоль его оси Oz, за неизвестноепринимают или вектор Герца, или поле E, или агрегат из компонент E и B. Однакопостановка парциальных условий излучения всегда осуществляется по одной схеме.Сначала устанавливают полноту системы нормальных волн волновода, то есть решенийвида A( x, y ) exp(− iωt ± iγz ) однородной задачи.

Затем решение задачи возбуждения ищут3вне области источников в виде суперпозиции нормальных волн. При этом парциальныеусловия излучения трактуются как условия выбора знака при iγz . Задача нахождениянормальных волн сводится к задаче на собственные значения на сечении волновода,которая в общем случае оказывается несамосопряженной. Полнота системы нормальныхволн для слоистых волноводов с идеально проводящими стенками была установлена П.Е.Краснушкиным, E.B. Моисеевым и Ю.Г. Смирновым, а в случае более общего видаизменения тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости заполнения – А.Л.Делицыным.

При этом, однако, к собственным функциям пришлось добавить корневыефункции задачи на собственные значения, а значит, к нормальным волнам – «волны»,растущие вдоль оси Oz степенным образом.Сусложнениемматериальныххарактеристикволноводаусложняетсяидоказательство полноты системы нормальных волн, причем ее установление в общемслучае представляется весьма трудной задачей. В связи с этим в работе А.Н. Боголюбова иМ.Д. Малых было показано, как сформулировать условия, эквивалентные парциальнымусловиям, не используя полноты системы нормальных (корневых) волн. Главная идея этойработы состоит в том, чтобы использовать не дискретную систему собственных функцийсечения волновода, а непрерывную систему «собственных функций» оператора ∂ 2z .

Болееточно, в качестве такого условия выступает требование наличия у решения задачиобобщенного преобразования Фурье или Fr-преобразования:Определение. Мероморфная функция û (γ ) со значениями в гильбертовомпространстве H называется Fr-образом или обобщенным преобразованием Фурье функцииu ( z ) , если справедливо равенствоu ( z ) = Fr[uˆ (γ )] =1uˆ (γ ) ⋅ e iγ ⋅ z dγ ,∫2π Cгде путь интегрирования C совпадает с вещественной осью γ -плоскости, если û (γ ) неимеет на ней полюсов, если же û (γ ) имеет вещественные полюса, то отрицательныеполюса обходятся по верхней полуплоскости, а положительные – по нижней (см. рис. 1).Рис. 1.

Контур интегрирования для Fr-преобразования. Здесь()γi- положительные полюсысоответственно, − γ k - отрицательные4û (γ ) , и,В работе Боголюбова и Малых было показано, что требование существования Frпреобразования может быть использовано в качестве условия излучения в задаче Дирихледля эллиптического оператора. Именно, была рассмотрена задача⎧⎪ L[u ] + ∂ 2z u + ω 2 u = f ,⎨u ∂Ω = 0⎪⎩для произвольного эллиптического оператораL[u ] =m∑ ai , j (x )i , j =1m∂ 2u∂u+ ∑ ai (x )+ a ( x )u∂xi ∂x j i =1∂xi{}в бесконечной цилиндрической области Ω = x ∈ S ⊂ R m , z ∈ R 1 .

Функция f в правойчасти уравнения является гладкой и имеет компактный носитель. На основании оценокКарлемана для резольвенты соответствующей задачи в пространстве образов былодоказано, что при всех ω 2 ≠ α n2 , где α n2 – собственные значения краевой задачи Дирихледля оператора L, существует единственное решение исходной задачи, имеющееобобщенное преобразование Фурье. Это решение представимо в виде суммы конечногочисла слагаемых, соответствующих расходящимся волнам, и слагаемого, являющегося0элементом пространства W21 (Ω ) .В настоящей работе показано, что можно отказаться от использования результатовТ. Карлемана, специфических для задач Дирихле, и получить все необходимые оценки наосновании леммы Келдыша о поведении резольвенты нормального оператора.

В целом женастоящая диссертационная работа посвящена развитию общих методов исследованияразрешимостизадачиовозбужденииэлектромагнитныхколебанийлокальнымраспределением тока в волноводе, характеристики которого не меняются вдоль осиволновода. Предлагаемый метод описан в общем, для чего рассмотрена задача впроизвольном гильбертовом пространстве, имеющая характерные черты задачи овозбуждении колебаний вне зависимости от выбора неизвестных или каких-либоматериальных характеристик волновода. Для этой задачи показано, что парциальныеусловия излучения выделяют существующее и единственное решение.В качестве примера, на котором иллюстрируются полученные результаты,рассмотрен волновод с импедансной границей. Эта задача является адекватной и наиболееупотребимой математической моделью волноведущих систем, проводимость структурныхэлементов которых во многих реальных случаях велика, но конечна.

Значительноупростить постановку задачи позволяют эквивалентные граничные условия, прииспользовании которых можно исключить из рассмотрения некоторую область5пространства, поставив условие на границе волновода. Классическим примером такихусловий являются условия Щукина-Леонтовича[n, E] = ς [n, [n, H]],описывающие поглощение энергии поля в металле. Поверхностный импеданс металлаς = (i − 1)ωµ8πσвыражается через его удельную проводимость на постоянном токе, магнитнуюпроницаемость среды, а также частоту падающей монохроматической волны.

В случаепроизвольного поля условие Щукина-Леонтовича можно считать справедливым дляФурье-амплитуд полей. Следует подчеркнуть, что эквивалентные импедансные условияпредставляютсобойдовольнораспространенныйспособ упрощения постановкиэлектродинамических задач. В частности, импедансные условия типа условий ЩукинаЛеонтовича могут быть получены для сверхпроводящих поверхностей или гребенчатыхструктур, что было предметом исследований Диденко А.Н., Нефедова Е.И., Сивова А.Н.,Слепяна Г.Я., Ильинского А.С.

и Моденова В.П.Из физических соображений ясно, что при значенияхς = (i − 1)ωµ8πσдолжно происходить затухание возбужденного током электромагнитного поля, поэтому вкачестве условий излучения можно взять условие убывания решения с ростом z. Однаконепосредственно доказать разрешимость задачи с таким условием излучения не удается. Внастоящей диссертационной работе рассматривается случай произвольногоςидоказывается разрешимость задачи возбуждения с парциальными условиями излученияпри условии, что модуль ς достаточно мал. Для случая волновода кругового сеченияметодами теории возмущений показывается, что при указанных значениях ς решениеубывает с ростом z.