Диссертация (Анализ тепловых шумов в многослойных диэлектрических зеркалах интерферометров и оптических микрорезонаторах), страница 6

Êàçàëîñü áû,ôîòîóïðóãàÿ ÷àñòü îêàçûâàåò îòðèöàòåëüíîå âîçäåéñòâèå íà êîìïåíñàöèþ, îäíàêî, êàê ïî-31êàçûâàþò ðàñ÷¼òû, îí ìîæåò è óëó÷øàòü îáùóþ êàðòèíó, êîìïåíñèðóÿ ñëèøêîì áîëüøóþèíòåðôåðåíöèþ âî âíåøíèõ ñëîÿõ.Âûðàæåíèå (1.2.38) óäîáíî äëÿ ïðîâåäåíèÿ ÷èñëåííîãî ðàñ÷¼òà, òàê êàê ïðîèçâîäíûåëåãêî áåðóòñÿ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëû (1.2.9)-(1.2.10) áûëèïðîâåðåíû ÷èñëåííî.Ïîëíûé èíòåðôåðîìåòð×òîáû ó÷åñòü øóìû àìïëèòóäû (1.2.33) è ïðîïóñêàíèÿ (1.2.26)-(1.2.29) ïðèä¼òñÿ ïîñòðîèòü ïîëíóþ ìîäåëü èíòåðôåðîìåòðà òàê êàê ïåðâûå äîëæíû áûòü ïðèâåäåíû ê øóìóôàçû, à âòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî â ïðîöåññå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âõîäíûì çåðêàëîì. ïðèíöèïå, ôîðìàëüíî ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè êîåôôèöèåíòîâ øóìà äëÿ øóìîâ ïðîïóñêàíèÿ (ñì. ðèñ.

1.9) îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàííî íèæå, ðåçóëüòàò òî÷íûõ ðàñ÷¼òîâ äëÿïîëíîé ìîäåëè áóäåò íåñêîëüêî ñëîæíåå.228x 107S1/2, /1/265432(.)Шум пропусканияШум пропускания (обр.)10024681012141618Ðèñ. 1.9: Êîýôôèöèåíòû øóìà ñëî¼â (ñîõðàíÿÿ çíàê) äëÿ ïîêðûòèÿ èç 16 ñëî¼â (âõîäíîå çåðêàëî) íà êâàðöåâîé ïîäëîæêå äëÿ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðîõîæäåíèÿ ëó÷åé.Ðàññìàòðèâàåìûé èíòåðôåðîìåòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïî ñóòè èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà, âìåñòî êîíöåâûõ çåðêàë êîòîðîãî ñòîÿò èíòåðôåðîìåòðû Ôàáðè-Ïåðî.

Ýòè êîíöåâûåèíòåðôåðîìåòðû íåñóò ñèãíàë â ôàçå ñâîåãî êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ. Ìîæíî ïîëó÷èòüôîðìóëû äëÿ øóìîâîãî è ñèãíàëüíîãî èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ åãî çåðêàë. Îáîçíà÷èì ïåðâûì èíäåêñîì íàïðàâëåíèå äâè-32æåíèÿ ëó÷à, à âòîðûì òèï çåðêàëà òàê ÷òî inin âõîäíîå çåðêàëî, âíóòðü Ôàáðè-Ïåðî, à outin âõîäíîå çåðêàëî, èç Ôàáðè-Ïåðî. Òàê æå ââåä¼ì ΓFP0 = ΓF P − Γinin =Γoutout τinin τoutin e−i2kL.1−Γoutout Γoutin e−i2kLÒîãäà äëÿ Ôàáðè-Ïåðî äëèíîé Lδτinin δτoutinδΓoutoutΓFP0δΓF P =ΓFP0δΓoutin + 2+ δΓinin++τininτoutinτinin τoutinΓoutout e−i2kL(1.2.39)äëÿ øóìà èδΓS = −2ikΓ2FP0δLΓoutout τoutin τinin e−i2kL(1.2.40)äëÿ ñèãíàëà.

Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ îáðàòíûé“ øóì, ñâÿçàííûé ñ ïðîõîæ”äåíèåì ëó÷à âõîäíîãî çåðêàëà â îáðàòíîì ïî îòíîøåíèþ ê çåðêàëó (âíóòðü Ôàáðè-Ïåðî)íàïðàâëåíèè. Åãî ó÷¼ò âàæåí òàê êàê ýòîò øóì êîððåëèðîâàí ñ øóìîì âõîäíîãî çåðêàëà èìîæåò åãî óñèëèòü èëè ïîäàâèòü.Ïðè óñëîâèè ÷òî ñâåòîäåëèòåëü íå âíîñèò äîïîëíèòåëüíûõ øóìîâ è ïðîèçâîäèò 50/50äåëåíèå, äëÿ âûõîäíîé èíòåíñèâíîñòè èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà ìîæíî çàïèñàòüI = |Γ1 |2 + |Γ2 |2 + 2|Γ1 ||Γ2 | cos(2kd + ϕ)δI1 = 2(Re[δΓ∗1 (Γ1 + Γ2 e−2ikd )] + Re[δΓ2 (Γ∗2 + Γ∗1 e−2ikd )])(1.2.41)(1.2.42)ãäå Γ è δΓ êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ Ôàáðè-Ïåðî â ïëå÷àõ è èõ âîçìóùåíèÿ, d ðàçíîñòüäëèí ïëå÷ ÷àñòè èíòåðôåðîìåòðà äî Ôàáðè-Ïåðî, ϕ óãîë ìåæäó êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè îòðàæåíèÿ Ôàáðè-Ïåðî.

Òîãäà äëÿ ñèãíàëà è øóìà îäèíàêîâûõ èíòåðôåðîìåòðîââ ïëå÷àõ ïîëó÷èìhδI1 i = 4|Γ|2 Im[Ŝ] sin 2kdδL,SδI1 = 4|Γ|4 (Re[N̂ ∗ (1 + e−2ikd )]2 + Re[N̂ (1 + e−2ikd )]2 )S∆ ,(1.2.43)(1.2.44)ãäå Ŝ è N̂ ïðîèçâîäíûå êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ ïî ñèãíàëó è ïî øóìàì. Çäåñü ñòîèòçàìåòèòü, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ äëèí ïëå÷ ñèãíàë (à òî÷íåå óñèëåíèå ñèãíàëà) ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íîëþ è ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ íå ÷óâñòâèòåëüíà ê ãðàâèòàöèîííûì âîëíàì âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.Êîìáèíèðóÿ ýòè ôîðìóëû ñ (1.2.39) è (1.2.40), è ïðèíèìàÿ δL = 1, ìîæíî ïîëó÷èòü âåëè÷èíó, îáðàòíóþ îòíîøåíèþ ñèãíàë-øóì.

Åñëè íå ó÷èòûâàòü àìïëèòóäíóþ ÷àñòü øóìà, ýòà√ −1âåëè÷èíà áóäåò ÷èñëåííî ðàâíà 2 øóìà ôàçû è ìîæåò áûòü âûðàæåíà â åäèíèöàõ ñìåùåíèÿ çåðêàëà (ì/Ãö1/2 ).  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îíà ðàâíà øóìó êîíöåâîãî çåðêàëà ñ óêàçàííûììíîæèòåëåì, ïðè÷¼ì ìíîæèòåëü ýòîò ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî çà ñ÷¼ò èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà ñèãíàë óâåëè÷èâàåòñÿ âäâîå ïî àìïëèòóäå, â òî âðåìÿ êàê øóì âäâîå33Òèï√Áðîóíîâñêèé 10−21 ì/ Ãöλ/4 + λ/2 GWINC√√5.01 × 2 4.88 × 2GWINC L1,2 = 1.04λ/4√4.88 × 2χ â èíòåðôåðîìåòðå11.4%−16.6%10.8%χ ñ èíòåðôåðåíöèåé15.9%−3.4%15.5%χ ñ ôîòîóïðóãîñòüþ14.9%−6.3%14.5%χ ñ àìïëèòóäîé14.8%−6.5%14.4%χ ñ ïðîïóñêàíèåì14.8%13.3%14.7%χ ñ îáðàòíûì“ øóìîì”14.8%−111%14.0%Òàáëèöà 1.1: Ïîïðàâêè (χ = (1 −√√S/ S Br ) ∗ 100%) äëÿ ýôôåêòèâíîãî øóìà â èíòåðôåðîìåòðå ïî îòíîøå-íèþ ê ñóììå ÷èñòî áðîóíîâñêèõ øóìîâ âõîäíîãî è âûõîäíîãî çåðêàë.

λ/4 + λ/2 ïîêðûòèÿ ñôîðìèðîâàíûèç λ/4-ñëî¼â, ñ âíåøíèì λ/2-ñëîåì. GWINC îïòèìàëüíûå ïîêðûòèÿ, ðàññ÷èòàííûå â Gravitation WaveInterferometer Noise Calculator[38].ïî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Ýòó âåëè÷èíó ìû íàçîâ¼ì ýôôåêòèâíûì èëè íîðìèðîâàííûìøóìîì, îíà óäîáíà äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ ïðåäûäóùèìè ðåçóëüòàòàìè. Îäíàêî, ïðÿìîå îòíîøåíèåñèãíàë-øóì áîëåå óäîáíî äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà, òàê êàê óñèëåíèå ñèãíàëà ïðîõîäèò ÷åðåçíîëü (ñì. (1.2.43)).Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå ñèãíàë-øóì çàâèñèò îò äëèí ïëå÷, ýòî ïîðîæäàåò çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ ýòîé çàâèñèìîñòè.  öåëîì çàâèñèìîñòü äîñòàòî÷íî ñëàáàÿ çà èñêëþ÷åíèåì îáëàñòåéëèíèé íóëåâîãî ñèãíàëëà.Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî ïîäáîðîì äëèí ïëå÷ ìîæíî äîáèòüñÿ ðåæèìà íàèìåíüøåãî øóìà.Èçìåíåíèå ñòðóêòóðû çåðêàë ïðèâîäèò âñåãî ëèø ê ñìåùåíèþ ýòîãî ðåæèìà íà äèàãðàììàõâäîëü ëèíèè L1 = L2 (ñì ðèñ. 1.10 âíèçó).

 ýòîì ðåæèìå âñ¼ îïðåäåëÿåòñÿ áðîóíîâñêèìøóìîì êîíöåâûõ çåðêàë è èíòåðôåðåíöèåé â íèõ (ñì. òàáë. 1.1 òðåòüÿ êîëîíêà). Ïðè ýòîìýôôåêòèâíûé øóì ìåíüøå ïðÿìîé ñóììû áðîóíîâñêèõ øóìîâ íà 10-12%. Ïîýòîìó äàëååáóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî èíòåðôåðåíöèîííàÿ ïîïðàâêà ôàçîâîãî øóìà.1.2.3.Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü øóìàÈñïîëüçóÿ (1.2.37), ìîæíî îöåíèòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé ïîêðûòèÿ, åñëè èçâåñòíû ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ôëóêòóàöèé òîëùèíû êàæäîãî ñëîÿ Sδd .

 ìîäåëèíåçàâèñèìûõ òîíêèõ ñëîåâ, ëåæàùèõ íà ïîäëîæêå â âèäå áåñêîíå÷íîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà,êàæäûé ñëîé âåä¼ò ñåáÿ, êàê åñëè áû îí áûë åäèíñòâåííûì ñëîåì íà ýòîé ïîäëîæêå. Òàêàÿìîäåëü ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ [21, 14] è å¼ ðåøåíèå õîðîøî èçâåñòíî [19, 37]. Îäíàêî â íàøåì341.20.60.610.81.20.810.400.6−0.20.8d, λ/4L2, λ/40.40.20.80.200.6−0.2−0.40.40.4−0.6−0.4−0.80.20.2−0.6−1000.20.40.6L1, λ/40.8101.2−0.800.20.40.6L1, λ/40.811.21.081.04111.071.030.80.80.61.060.61.020.40.4L2, λ/40.201−0.20.99L2, λ/41.051.010.201.04−0.21.03−0.4−0.40.98−0.6−0.80.971.02−0.6−0.81.01−1−10.960.9610.970.980.9911.01L1, λ/41.021.031.0411.011.021.031.04 1.05L1, λ/41.061.071.08Ðèñ.

1.10: Îòíîøåíèÿ ñèãíàëë-øóì, íîðìèðîâàííûé íà ïðÿìóþ ñóììó áðîóíîâñêèõ øóìîâ. Íà ðèñóíêàõðåçóëüòàòû äëÿ λ/4 + λ/2 ïîêðûòèÿ, êðîìå ïðàâîãî íèæíåãî ðèñóíêà äëÿ ïîêðûòèÿ èç GWINC. Âíèçóóâåëè÷åííûå îáëàñòè íàèìåíüøåãî øóìà. Âèäíû îáëàñòè íóëåâîãî ñèãíàëà (çåë¼íûå) è ìåñòà ñíèæåíèÿ øóìà ò¼ìíûå. Èçìåíåíèå çíàêà îçíà÷àåò, ÷òî ñèãíàë íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîôàçå ê ïðèíèìàåìîé ãðàâèòàöèîííîéâîëíå.ñëó÷àå ýòî ðåøåíèå ïðèä¼òñÿ íåìíîãî âèäîèçìåíèòü, òàê êàê â í¼ì ïðèñóòñòâóåò íå òîëüêîSδd , íî è ñîñòàâëÿþùàÿ, ñâÿçàííàÿ ñ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì ñëîÿ, ò.å. ñìåùåíèåì ãðàíèöûïîäëîæêè ïîä äåéñòâèåì ñëîÿ Sx0 .Ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííàÿ òåîðåìàÄëÿ ðàñ÷¼òà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ôëóêòóàöèé èñïîëüçóåòñÿ ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííòåîðåìà (ÔÄÒ).

ÔÄÒ ñâÿçûâàåò ôëóêòóàöèè ñèñòåìû (èõ ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü) ñ å¼ äèññèïàòèâíûìè ñâîéñòâàìè. ÔÄÒ âûâîäèòñÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî îòêëèê ñèñòåìû íàìàëîå âíåøíåå âîçäåéñòâèå èìååò òó æå ïðèðîäó, ÷òî è îòêëèê íà ñïîíòàííûå ôëóêòóàöèè.Åñëè îòêëèê x(t) íà âíåøíåå âîçäåéñòâèå F (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåx̃(Ω) = α̃(Ω)F̃ (Ω),(1.2.45)35òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé Sx âåëè÷èíû x ñâÿçàíà ñ ìíèìîé ÷àñòüþ îáîáù¼ííîéâîñïðèèì÷èâîñòè Im[α̃(Ω)] èëè ðàññåÿííîé ñèñòåìîé ýíåðãèåé Udiss ñëåäóþùèì îáðàçîì [39]:Sx (Ω) =2kB T 2Udiss2kB TIm[α̃(Ω)] =.ΩΩ F̃ 2 (Ω)(1.2.46)Ïðè ýòîì ñîâïàäåíèå ðåøåíèé ÷åðåç âîñïðèèì÷èâîñòü è ÷åðåç ýíåðãèþ ìîæåò ÿâëÿòüñÿ êðèòåðèåì ïðàâèëüíîñòè âûáîðà ïàðû x è F .×òîáû ïðîèçâåñòè ïðàâèëüíîå ðàçäåëåíèå, ñîãëàñíî ÔÄÒ, íóæíî ðåøèòü ñëåäóþùèåçàäà÷è (ðèñ.

1.11):FFFx1 x0x1 x0Fx1 x0Ðèñ. 1.11: Ñõåìû ïðèëîæåíèÿ ñèë ê çàäà÷àì äëÿ ÔÄÒ.1. ñèììåòðè÷íàÿ (S t (Ω)) - ïðîòèâîíàïðàâëåííûå ñèëû ïðèëîæåíû ê ñëîþ, èùåì èçìåíåíèå òîëùèíû ñëîÿ (x = x0 − x1 = δd);2. àíòèñèììåòðè÷íàÿ çàäà÷à 0 (S b (Ω)) - ñèëà ïðèëîæåíà ê ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè, èùåìñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè (x = x0 ).Èñïîëüçóåì ñïîñîá ðåøåíèÿ óïðóãîé çàäà÷è èç [19], ãäå èñïîëüçîâàí ìåòîä òèïà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé: áåð¼òñÿ òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïîëóïðîñòðàíñòâàè ïåðåñ÷èòûâàåòñÿ â íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè ïîêðûòèÿ ÷åðåç ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Íà ýòîìðåøåíèå â [19] çàêàí÷èâàåòñÿ è ïîëó÷åííûå ôîðìóëû èñïîëüçóþò äëÿ ðàñ÷¼òà ôëóêòóàöèéçåðêàëà ñ ïîêðûòèåì:3.

àíòèñèììåòðè÷íàÿ çàäà÷à 1 (S(Ω)) - ñèëà ïðèëîæåíà ê ïîâåðõíîñòè ïîêðûòèÿ, èùåìñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ïîêðûòèÿ (x = x1 ).Åñëè ïîòåðè ñëîÿ, îòâå÷àþùèå çà ðàñøèðåíèå è ñäâèã ðàâíû, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òîôëóêòóàöèè â çàäà÷àõ 1 è 2 íå êîððåëèðîâàíû. Òîãäà ñóììà ðåøåíèé ïåðâûõ äâóõ çàäà÷äîëæíà ñîâïàäàòü ñ ðåøåíèåì òðåòüåé. Èñïîëüçóÿ âûøåîïèñàííîå ðåøåíèå äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷èì:S t (Ω)j =4kB T (1 + νj )(1 − 2νj )φj dj .πw2 ΩYj (1 − νj )(1.2.47)36ãäå νj êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà j -îãî ñëîÿ, Yj åãî ìîäóëü Þíãà (Ys è νs ïàðàìåòðû ïîäëîæêè), φj óãîë ìåõàíè÷åñêèõ ïîòåðü (ïî ýíåðãèè), w ðàäèóñ Ãàóññîâà ïÿòíà ñâåòà íàïîâåðõíîñòè çåðêàëà, Ω êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, T àáñîëþòíàÿòåìïåðàòóðà (ïîäðîáíåå â ïðèëîæåíèè Ï.3.).