Диссертация (Анализ тепловых шумов в многослойных диэлектрических зеркалах интерферометров и оптических микрорезонаторах), страница 5

1.6 âíèçó). Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì ôîðìóëû (1.2.9)-(1.2.10) è ñäåëàåì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä nj = n(z) ≈ n íåâîçìóù¼ííûéïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñëîÿ, δnj = δn(z) è dj → dz → 0 (ϕj → dϕ). ÒîãäàΓj+1 =ejPgj+1,j + Γej = Γj e−iϕj = Γ1 e−i j ϕk ,=Γej1 + gj+1,j Γ(1.2.12)Çäåñü è äàëåå èíäåêñàìè îáîçíà÷àþòñÿ ïîäñëîè, ñâÿçàííûå ñ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì, à íåíîìåðà ñëî¼â âñåãî ïîêðûòèÿ.

Äëÿ ñëîÿ òîëùèíîé L ΓN +1 = Γ1 e−iPNϕj= Γ1 e−2ik0 nL . Ïåðåïè-26øåì êîýôôèöèåíòû (1.2.10). Çàìåòèì, ÷òî zk = zek−1 è óïðîñòèì äàëåå âûðàæåíèÿ èñïîëüçóÿPk−1PkΓ1 = e−i2ϕe è âñïîìèíàÿ, ÷òî â ñëåäñòâèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäàϕl =ϕl − ϕk =2k0 nz − 2k0 ndz (ïîäðîáíåå ñì. ïðèë. Ï.2.2.):zk = i sin (2k0 n(z − dz) + 2ϕ)e ,(1.2.13)zek = i sin (2k0 nz + 2ϕ)e .(1.2.14)ζk = ik0 n cos (2k0 nz + 2ϕ)e dz.(1.2.15)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìàëîé íåîäíîðîäíîñòè â ñëîå òîëùèíîé L íà íà÷àëüíîì êîýôôèöèåíòå îòðàæåíèÿ Γ1 , îòðàæåíèå íà ïîâåðõíîñòèZ Lp 0−2ik0 nLδn(z) cos2 k0 nz + i Ln Γ1 dz) =ΓN +1 =Γ1 e(1 − 4ik00Z Lδn(z)dz+=Γ1 e−2ik0 nL (1 − 2ik00Z L1 + Γ211 − Γ21− ik0δn(z) cos(2k0 nz + ϕ1 )+ i sin(2k0 nz + ϕ1 )dz),Γ1Γ10(1.2.16)(1.2.17)ãäå Ln êîìïëåêñíûé ëîãàðèôì.

Ïðè âûáîðå íà÷àëüíîãî êîýôôèöèåíòå îòðàæåíèÿ Γ1 =−1, ýòîò ðåçóëüòàò íàïîìèíàåò óñðåäíåíèå ïî sin2 , èñïîëüçîâàííîå â [36] äëÿ ðàñ÷¼òà øóìàâ ïîäëîæêå. Âûáîð òàêîãî óñðåäíåíèÿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíè ñ÷èòàëè, ÷òî â ïîäëîæêåóñòàíàâëèâàåòñÿ ñòîÿ÷àÿ âîëíà, ÷òî è òðåáóåò òàêîãî Γ1 .  ðåàëüíîñòè Γ1 =nSiO2 −1nSiO2 +1= 0.18,÷òî ïðèâåä¼ò ê çàìåíå ñèíóñà íà êîìïëåêñíóþ ýêñïîíåíòó. Îäíàêî, äàííàÿ çàìåíà àíàëîãè÷íàñäâèãó ñòîÿ÷åé âîëíû, êîòîðûé, ïî ñëîâàì àâòîðîâ, ó÷ò¼í â èõ ðàáîòå.Çàìåòèì, ÷òî Γ1 ïîëó÷åíî èç áåñøóìíîãî Γ0 , òî åñòü ôîðìóëà (1.2.16) îïèñûâàåò ïåðåõîäìåæäó áåñøóìíûìè ñëîÿìè. Äëÿ âñòðàèâàíèÿ òàêîãî íåîäíîðîäíîãî ñëîÿ â ïîêðûòèå, íàìïîíàäîáèòñÿ ôîðìóëà äëÿ äîáàâêè êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ïðè ïåðåõîäå âíóòðè øóìÿùåãî íåîäíîãîäíîãî ñëîÿ, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü âìåñòî (1.2.4).

Ïîýòîìó íàì ïðèä¼òñÿ âû÷åñòüâëèÿíèÿ ïåðåõîäà â ýòîò ñëîé è èç ýòîãî ñëîÿ. Ïåðåõîä íàðóæó (ëåâàÿ ãðàíèöà) ïîëó÷àåòñÿêàê îáðàòíûé ïåðåõîä îò j + 1 ñëîÿ ê j :Γ−gδn(d)j+1j+1,jjej =Γ= Γj+1 1 + zej(1.2.18)1 − gj+1,j Γj+1nQ zkÄëÿ ïåðåõîäà â ñëîé (ïðàâàÿ ãðàíèöà), òàê êàê= 1 âíóòðè ñëîÿ, ýòà äîáàâêà áóäåòzek−1òàêîé æå êàê è ó åäèíñòâåííîãî ñëîÿΓ01δn(0)= Γ1 1 + z1.n(1.2.19)27ãäå δn(dj ) íà ïåðåäíåé (ëåâîé) ñòîðîíå ñëîÿ.  èòîãå ïîëó÷èìeN =Γ1 e−2ik0 nL (1 + ζ 0 δn(0) − 4ik0ΓnZLp δn(z) cos2 k0 nz + i Ln Γ1 dz),(1.2.20)0δn(L)ãäå ζ 0 = zek δn− zkk (0)Òàêèì îáðàçîì äëÿ ïîëíîãî ïîêðûòèÿ (ðèñ. 1.6 ââåðõó)Z z−dj0∆j = − 2k0 nj δdj − 2k0δnj (ξ)dξ+Zzδnj (0)+ ζj0− 2ik0 δn(z) cos (2k0 nz + i Ln (Γj )) dz.njdj(1.2.21)k)Òîãäà, ïîìèìî ∆j , èçìåíåíèÿ êîñíóòñÿ òîëüêî ζk → ζk0 = zek δn(d− zk .δnk (0)Òàêèì îáðàçîì ïîäîáíîå íåîäíîðîäíîå ðàñøèðåíèå ôîðìóë (1.2.9)-(1.2.10) íå ïðèâîäèòíè ê êàêèì íîâûì ýôôåêòàì.

Äëÿ øóìà ïîêðûòèÿ ýòî ðàñøèðåíèå íå èìååò ñìûñëà, òàê êàêðàñ÷¼òû ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé (ñì. äàëåå) ïðîâîäÿòñÿ â ïðèáëèæåíèè òîíêîãî ïîêðûòèÿ,ïðèâîäÿ ê ïîñòîÿííîé äåôîðìàöèè âíóòðè ñëî¼â.Øóì ïðîïóñêàíèÿÑêàçàííîå âûøå îòíîñèòñÿ ê ñâåòó îòðàæ¼ííîìó îò çåðêàëà. Îäíàêî â ñòðóêòóðå èíòåðôåðîìåòðà èìåþòñÿ çåðêàëà ïðîïóñêàþùèå èçëó÷åíèå. Ïðîõîæäåíèå ñêâîçü ôëóêòóèðóþùóþ ñðåäó äîëæíî âíîñèòü ñâîþ ÷àñòü íåîïðåäåë¼ííîñòè â ôàçó. Ðàññìîòðèì ïàäàþùèå èîòðàæ¼ííûå âîëíû íà êàæäîé ãðàíèöå ñëî¼â00(1.2.22)EI + Γ0N +e EI = EN eik0 nN dN + EN Γ0N e−ik0 nN dN00EN + Γ0N EN = EN −1 eik0 nN −1 dN −1 + EN −1 Γ0N −1 e−ik0 nN −1 dN −1(1.2.23)ãäå EI ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïàäàþùåé âîëíû, Ek ïîëå íà âõîäíîé (ëåâîé) ãðàíèöå k -ñëîÿ.ÒîãäàNY1 + Γ0k+11 + Γ0m+1E=EEm = ik0 nm d0m+10ik0 nk d0k0 −ik0 nk d0k Im + Γ0 e−ik0 nm dmee+Γemkk=m(1.2.24)Äëÿ àìïëèòóäíîãî êîýôôèöèåíòà ïðîïóñêàíèÿ ïîëó÷èìτ 0 = (1 + Γ0N +e )NY1 + Γ0k0e−ik0 nk dk0 −iϕ0k1 + Γk ek=1(1.2.25)Îòìå÷ó, ÷òîáû íå ñìóùàòü çíàêîì + â ïåðâîé ñêîáêå, ÷òî ýòî ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíòïðîïóñêàíèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç àìïëèòóäíîãî ïóò¼ì âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò è äåëåíèÿ íà îòíîøåíèå ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ â èñõîäíîé è êîíå÷íîé ñðåäå, òàê êàê ïîòîê ýíåðãèè ðàâåí28cnE 2 /2.

Ïðîâåäÿ ïðÿìóþ ïîäñòàíîâêó (1.2.9)-(1.2.10) ïîëó÷èì!N XδnjτN0 +e = τN +e 1 +i(Mj + Tj )∆j + (dtj zj − Mj ζj )njj=1Γk (1 − e−iϕk )(1 + Γk )(1 + Γk e−iϕk )NN+ekXYYΓN +ezmzmMj =+dtkze1 + ΓN +e m=j+1 zem−1m=j+1 m−1k=j+1dtk =Tk =1.2.2.1 1 − Γk e−iϕk2 1 + Γk e−iϕk(1.2.26)(1.2.27)(1.2.28)(1.2.29)Áðîóíîâñêàÿ âåòâü øóìîâÁðîóíîâñêàÿ âåòâü øóìîâ ïðîèñõîäèò èç ôëóêòóàöèé ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ â âåùåñòâå. Îíè ïðåîáðàçîâûâàþòñÿ â ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè òåëà è ôëóêòóàöèè åãî òîëùèíû ïîçàêîíó Ãóêà. Èñïîëüçóÿ ôîòîóïðóãîñòü êàê ìåõàíèçì ïðåîáðàçîâàíèÿ ôëóêòóàöèé òîëùèíûâî ôëóêòóàöèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿn2j∆j = −2k0 nj 1 − pj δdj = −2k0 nj ψj δdj ,22nj pj δdjn2j pjδnj∆j = γj ∆j ,==−−nj2 djϕj (2 − n2j pj )(1.2.30)(1.2.31)ïðèâåä¼ì âñå ôîðìóëû (1.2.9)-(1.2.10) ê âàðèàöèè òîëùèíû δdj :δϕc =NXβj0 δdj ,(1.2.32)βj00 δdj ,(1.2.33)j=1δΓc =NXj=1ãäå"#Y zkβj0 = − 2k0 nj ψj Im(i + ζj γj ) ,zek−1k"#Y zkβj00 = − 2k0 nj ψj Re(i + ζj γj ) ,zek−1k(1.2.34)(1.2.35)â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.2.9).

Òåïåðü ðàññìîòðèì çåðêàëî êàê ÷àñòü ïëå÷à èíòåðôåðîìåòðà. Ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè çåðêàëà ïîðîæäàåò ôàçîâûé øóì íà âûõîäå èíòåðôåðîìåòðà. Äîïóñòèì,çåðêàëî ñæàëîñü (ðèñ. 1.7). Òîãäà ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ïðîìåæóòîê −δd (àê êàêδd < 0 ïðè ñæàòèè), êîòîðûé ïðèä¼òñÿ ïðîéòè ñâåòó, ïðåæäå ÷åì âîéòè â çåðêàëî. Òîãäàñäâèã ôàçδϕg = −2k0NXj=1(−δdj ).(1.2.36)29δφ00δφ0δφBδφIÐèñ. 1.7: Ôàçîâûé ñäâèã ñâåòîâîé âîëíû, îòðàæ¼ííîé îò íåâîçìóù¼ííîãî (ñâåðõó) è âîçìóù¼ííîãî (ñíèçó)çåðêàë. δϕ0 , δϕB è δϕI èñõîäíûé ñäâèã ôàç, ñäâèã îò ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè è ñäâèã îò ñáîÿ èíòåðôåðåíöèè(δdj < 0).Ïîëíûé ñäâèã ôàç, âíåñ¼ííûé âîçìóù¼ííûì ïîêðûòèåì, áóäåòNXδϕΣ = −2k0zN +e (−1)N −j zej−1 ψj nj − 1 δdj ,(1.2.37)j=1ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî âíóòðè λ/4-îòðàæàòåëÿ âñå âåëè÷èíû äåéñòâèòåëüíû, ÷òî ïîçâîëÿåò òàêæå óïðîñòèòü βj0 = −2k0 nj ψj zN +e (−1)N −j zej−1 (ïîäðîáíåå â ïðèëîæåíèè Ï.2.1.).Òàê æå âàæíî çàìåòèòü, ÷òî â ïðèáëèæåíèè õîðîøåãî çåðêàëà ΓN +e → 1 ( ýòîì ñëó÷àå ZN → 0 èëè ZN → ∞ â çàâèñèìîñòè îò âíåøíåãî ñëîÿ) àìïëèòóäíûé äåôåêò îòðàæåíèÿZîò êàæäîãî ñëîÿ βj00 = (−1)N −j zN +e γj zej−1 ηjj → 0.

Îäíàêî äëÿ ñòðîãîãî ó÷¼òà ýòîãî ýôôåêòàíåîáõîäèìî ó÷åñòü êîððåëÿöèè è âçàèìîäåéñòâèå â èíòåðôåðîìåòðå, ÷òî áóäåò ñäåëàíî äàëåå.Âûðàæåíèå ïåðåä δdj ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ êîýôôèöèåíò øóìà, ïîêàçûâàþùèé âêëàäêàæäîãî ñëîÿ â ïîëíûé øóì. Ýòîò êîýôôèöèåíò èìååò ðàçíûé çíàê â çàâèñèìîñòè îò òîãî,êàêàÿ ÷àñòü øóìà ïðåîáëàäàåò â ñëîå èíòåðôåðåíöèîííàÿ (çíàê −) èëè ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè (çíàê +), îäíàêî çíà÷åíèå èìååò òîëüêî åãî ìîäóëü øóìû ñëî¼â ñêëàäûâàþòñÿ íåêîãåðåíòíî.Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè êîýôôèöèåíòîâ øóìà è ðàññ÷èòàòü çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïîëíîãî øóìà.

Òàêîé ãðàôèê èçîáðàæ¼í íà ðèñ.1.8 ñ ñîõðàíåíèåì çíàêà èç ôîðìóëû (1.2.37). Ìîæíî âèäåòü, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ ÷àñòüçíà÷èòåëüíà òîëüêî äëÿ íåñêîëüêèõ âíåøíèõ ñëî¼â, â òî âðåìÿ êàê áðîóíîâñêèé (ñìåùåíèÿ30431/20,8S, 10-23420,60,40,20,0010203040j-0,2-0,4Ðèñ.

1.8: Êîýôôèöèåíòû øóìà ñëî¼â (ñîõðàíÿÿ çíàê) äëÿ ïîêðûòèé èç 42 (êðóãè) è 43 (êâàäðàòû) ñëî¼â íàêâàðöåâîé ïîäëîæêå.ïîâåðõíîñòè) øóì ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ îñíîâó øóìà. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëîÿõ íàáëþäàåòñÿ ïîëíàÿ êîìïåíñàöèÿ øóìà. Òàêæå ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî èíòåðôåðåíöèÿ âåëèêà òîëüêîòàì, ãäå ìîùíîñòü ñâåòîâîãî ïîëÿ íå ìàëà, î ÷¼ì òàê æå ãîâîðèëîñü â [37].Ðàñ÷¼òû ïîêàçûâàþò, ÷òî â èíòåðôåðåíöèîííîì ïîêðûòèè âíóòðåííèå ñëîè èìåþò áðîóíîâñêèé òèï øóìà è âíîñÿò îñíîâíóþ äîëþ â ïîëíóþ ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü.

Øóì âîâíåøíèõ ñëîÿõ èìååò èíòåðôåðåíöèîííóþ ïðèðîäó.  íåáîëüøîé æå ïðåäâíåøíåé îáëàñòèíàáëþäàåòñÿ ìèíèìóì øóìà.Ñòîèò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî âêëàä êàæäîãî ñëîÿ ôîðìàëüíî ñîñòîèò èç òð¼õ ñëàãàåìûõ:áðîóíîâñêèé (ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè), èíòåðôåðåíöèîííûé è ôîòîóïðóãèé:δϕΣ =X2k0 δdj +∂ϕ∂ϕ ∂njδdj +δdj ,∂dj∂nj ∂dj(1.2.38)ãäå ϕ îáîçíà÷àåò ôàçó êîìïëåêñíîãî êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ. Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû (1.2.9)(1.2.10) äàþò àíàëèòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíûõ â (1.2.38). Ðàñïðåäåëåíèå çíàêîâìåæäó ýòèìè ñëàãàåìûìè ìîæåò áûòü ïðîèëëþñòðèðîâàíî ñëåäóþùèì ðàññóæäåíèåì. Äîïóñòèì, ïîêðûòèå ñæàëîñü, òîãäà âêëàä ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè äà¼ò ïîëîæèòåëüíûé íàáåã ôàç,òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ íàáåã ôàçû íå âíóòðè, à ñíàðóæè çåðêàëà (ðèñ. 1.7). Ñæàòèåñëî¼â ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ èõ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ, òàê æå äàâàÿ ïîëîæèòåëüíûéâêëàä â ôàçó.  òî æå âðåìÿ óìåíüøåíèå òîëùèí ñëî¼â ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ è íàáåãàôàçû â íèõ, ïðîèçâîäÿ æåëàåìóþ êîìïåíñàöèþ ïðåäûäóùèõ äâóõ ýôôåêòîâ.