Диссертация (Анализ тепловых шумов в многослойных диэлектрических зеркалах интерферометров и оптических микрорезонаторах), страница 3

Äëÿ èëëþñòðàöèè çàìåíèììíîãîñëîéíîå çåðêàëî îäíîðîäíûì ïîëóïðîñòðàíñòâîì ñ ýêâèâàëåíòíûìè ýôôåêòèâíûìè ïàðàìåòðàìè, êàê åñëè áû îòðàæåíèå ïðîèñõîäèëî îò ýôôåêòèâíîé îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè,ðàñïîëîæåííîé íà êîíå÷íîé ãëóáèíå de . Ýòî ãëóáèíà, íà êîòîðîé àìïëèòóäà âîëíû çàòóõàåòâ e ðàç:de =λ(nl + nh ),8nl nh ln(nh /nl )(1.1.6)÷òî ñîñòàâëÿåò 0.44 ìêì ò.å. ÷óòü ìåíüøå, ÷åì 3 ÷åòâåðòüâîëíîâûõ ñëîÿ (nl êâàðö, nh îêñèä òàíòàëà). Ïðè ýòîì ôàçîâûé ñäâèã îòðàæåíèÿ ñîñòàâëÿåòZ ∞δϕ = k0neff e−z/de dz,(1.1.7)0ãäå neff - ýôôåêòèâíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, k0 - âîëíîâîé âåêòîð âîëíû â âàêóóìå.Ñëåäîâàòåëüíî, øóì ôàçû âîçíèêàåò íå òîëüêî èç-çà èçìåíåíèÿ ðàçìåðîâ çåðêàëà (ñ÷èòàåìïîäâåñ íåïîäâèæíûì), íî è èç-çà ôëóêòóàöèé ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ åãî ìàòåðèàëà.Ïîïûòàåìñÿ ïåðåéòè ê òåðìîäèíàìè÷åñêèì èñòî÷íèêàì øóìà, èñïîëüçóÿ (1.1.5b), è íàîñíîâå ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðå÷èñëèòü èõ îñíîâíûå âèäû (ðèñ.1.3).14den1uzden2δφBrδφaÐèñ.

1.3: Íàáåã ôàçû ïðè Áðîóíîâñêîì øóìå ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè è ôîòîóïðóãîì øóìå.1. Áðîóíîâñêèé øóì: ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè (äåôîðìàöèè), ïðèâîäÿùåå ê ñäâèãó ôàçû([14])∆uz |z=0 =∂uz|z=0 ∆σik∂σikδϕBr = −2k0 n0 uz |z=0 = −2k0 n0∂uz|z=0 ∆σik∂σik(1.1.8)2. Ôîòîóïðóãèé (àêóñòîîïòè÷åñêèé) øóì: äåôîðìàöèè, ïðèâîäÿùèå ê èçìåíåíèþ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ∂n∂n∆ui =∆σik∂ui∂σikZ ∞Z− dzδϕa = −k0∆n(z)e dz = −k0∆n =∞00z∂n ∂ui∆σik e− d dz∂ui ∂σik(1.1.9)3. Òåðìîóïðóãèé øóì: ôëóêòóàöèè òåìïåðàòóðû, ïåðåñ÷èòàííûå â ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè÷åðåç òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ([15, 16])∆uz |z=0 =∂uz|z=0 ∆T∂Tδϕt.e. = −2k0 n0 uz |z=0 = −2k0 n0∂uz|z=0 ∆T∂T(1.1.10)4. Òåðìîðåôðàêòèâíûé øóì: ôëóêòóàöèè òåìïåðàòóðû, ïåðåñ÷èòàííûå â èçìåíåíèå ïî-15êàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ([17])∆n =∂n∆T∂T Zδϕt.r. = −k0∞− dz∆n(z)e0Zdz = −k00∞z∂n∆T e− d dz∂T(1.1.11)Îáùåå âîçìóùåíèå ôàçû ñêëàäûâàåòñÿ èç îòäåëüíûõ âîçìóùåíèé.

Äàííûé íàáîð øóìîâïîëîí ïðè óñëîâèè, ÷òî ìû èñêëþ÷àåì èç ðàññìîòðåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå è õèìè÷åñêèåýôôåêòû, à òàê æå øóìû, âûçâàííûå âíåøíèì âîçäåéñòâèåì (øóìû èçìåðåíèÿ). Òàêèì îáðàçîì ìû ïîñòðîèì êëàññèôèêàöèþ êàê-áû âíóòðåííèõ øóìîâ, îïðåäåëÿþùèõñÿ òîëüêî ñàìîéñèñòåìîé.Íà îñíîâå ýòîãî ìîæíî ðàçáèòü øóìû íà äâå âåòâè“ , èñõîäÿ èç èõ ïðîèñõîæäåíèÿ.”Ýòî áðîóíîâñêàÿ âåòâü (áðîóíîâñêèé è ôîòîóïðóãèé) è òåïëîâàÿ (òåðìîóïðóãèé è òåðìîðåôðàêòèâíûé). Âàæíî, ÷òî âíóòðè âåòâè ôëóêòóàöèè êîððåëèðîâàíû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîòåîðåòè÷åñêè ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü âçàèìíîé êîìïåíñàöèè øóìîâ âíóòðè îäíîé âåòâè.Äåéñòâèòåëüíî δϕBr + δϕte = c1 ∆σik − c2 ∆T 6= 0 òàê êàê ∆σik è ∆T ïðîèçâîëüíûå è íåêîððåëèðîâàííûå âåëè÷èíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû òåðìîóïðóãèå è òåðìîðåôðàêòèâíûå øóìû ìîãóòïîäàâèòü äðóã äðóãà: δϕtr + δϕte = c1 ∆T − c2 ∆T = (c1 − c2 )∆T , ÷òî ìîæåò áûòü ðàâíî íîëþïðè ëþáûõ ∆T , íî îïðåäåë¼ííûõ c1 è c2 .

Ýòîò âàðèàíò ïîäàâëåíèÿ áûë ðàññìîòðåí â [4].Åù¼ îäèí âàæíûé êëàññ ôëóêòóàöèé øóìû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, êîòîðûå ÷àñòî ÿâëÿþòñÿ òàê æå øóìàìè îáðàòíîãî âëèÿíèÿ èëè èçìåðåíèÿ. Îíè âûçâàíû ôàêòîðàìè âíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ ê ñèñòåìå. Òàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå çåðêàëà ýòî áóäóò øóìû, âûçâàííûåëàçåðîì (äðîáîâîé øóì ëàçåðà, ïåðåäàþùèéñÿ ÷åðåç äàâëåíèå ñâåòà èëè íàãðåâ, âûçâàííûéïîãëîùåíèåì), ñåéñìèêà è ò.ï. Îñíîâûâàÿñü íà ïðîèñõîæäåíèè ìîæíî òàê æå ââåñòè âåòâè“ ,”â êîòîðûõ øóìû áóäóò êîððåëèðîâàíû.Îïèøåì øóìû çåðêàë, ó÷èòûâàåìûå â ñîâðåìåííûõ ãðàâèòàöèîííûõ àíòåííàõ (ðèñ.

1.4)ñ óêàçàíèåì ïðèíàäëåæíîñòè ê âåòâè è êëàññó.Áðîóíîâñêèé øóì ïîäëîæêèÈñòîðè÷åñêè, ïåðâûé øóì, âûäåëåííûé êàê ïðåïÿòñòâèå íà ïóòè ê îáíàðóæåíèþ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí, áûë øóì, ïîðîæäåííûé âíóòðåííèìè òðåíèÿìè â âåùåñòâå, ñîãëàñíîôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííîé òåîðåìå [18]. Ýòîò øóì òàêæå íàçûâàþò Áðîóíîâñêèì øóìîì ïîäëîæêè è îïðåäåëÿþò êàê ñìåùåíèå îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè çåðêàëà â ñâÿçè ñõàîòè÷åñêèì äâèæåíèåì ÷àñòèö â ïîäëîæêå. Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé, óñðåäí¼ííàÿ ïî ãàóññîâîìó ïÿòíó ðàäèóñà w (îïðåäåëÿåìîìó ïî ïàäåíèþ èíòåíñèâíîñòè â 1/e216Ðèñ. 1.4: Òåïëîâûå øóìû â ëàçåðíîé ãðàâèòàöèîííîé àíòåííå LIGO.

Ñîêðàùåíèÿ: ÓÒÈ óïðóãèé òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ, ÓÑÏ óïðóãèé ñâåòîâîãî ïîãëîùåíèÿ, ÐÒÈ ðåôðàêòèâíûé òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ, ÐÑÏ ðåôðàêòèâíûé ñâåòîâîãî ïîãëîùåíèÿ [4].ðàç) ðàâíàSBsub =2kB T φ(f )(1 − νs2 ),π 3/2 Ys wf(1.1.12)ãäå kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, T àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà çåðêàëà, φ(f ) óãîë ïîòåðü â ïîäëîæêå çåðêàëà ñ êîýôôèöèåíòîì Ïóàññîíà νs è ìîäóëåì Þíãà Ys , íà ÷àñòîòå f .Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíóòðåííèõ øóìîâ, áðîóíîâñêîé âåòâè.Òåðìîóïðóãèé øóì ïîäëîæêè [15] Áðàãèíñêèé, Ãîðîäåöêèé è Âÿò÷àíèí ðàññìîòðåëè âêëàä òåìïåðàòóðíûõ ôëóêòóàöèé â äîïîëíèòåëüíîå ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè ÷åðåç òåïëîâîå ðàñøèðåíèå. Èñïîëüçóÿ ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííóþ òåîðåìó (ÔÄÒ) è ìåòîä Ëàíæåâåíà, áûëî ïîêàçàíî, ÷òîýòîò øóì ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê øóì òåðìîóïðóãèõ ïîòåðü:STsubE =4kB T 2 αs2 (1 + νs )2 κs,π 5/2 (Cs ρs )2 w3 f 2(1.1.13)ãäå αs êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, Cs óäåëüíàÿ òåïëî¼ìêîñòü, κs êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, è ρs ïëîòíîñòü ïîäëîæêè.17Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíóòðåííèõ øóìîâ, òåìïåðàòóðíîé âåòâè.Áðîóíîâñêèé øóì ïîêðûòèÿÒàêæå êàê è â ïîäëîæêå, âíóòðåííåå òðåíèå â ìàòåðèàëàõ ïîêðûòèÿ ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíûì ôëóêòóàöèÿì.

Ýòè ôëóêòóàöèè, êàê îêàçàëîñü, äàæå ïðåâûøàþò ôëóêòóàöèè âïîäëîæêå, òàê êàê óïðóãèå ïîòåðè â òîíêèõ ñëîÿõ ïðåâûøàþò ïîòåðè â ïëàâëåíîì êâàðöå.Òåïëîâîé øóì ïîêðûòèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ïîêðûòèÿ ïðè íåïîäâèæíîé ïîäëîæêå è îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå àíàëîãè÷íîì (1.1.12) [19, 20]:S=φcoat2kT (1 − ν 2 ){φsubs + φcoat },π 3/2 f wY(1.1.14)N1 X h Yj2 (1 + ν)2 (1 − 2ν)2djφk=√Y Yj (1 − ν 2 )(1 − νj2 ) jπw jY Yj νj (1 + ν)(1 + νj )(1 − 2ν)(φkj − φ⊥j )Y Yj (1 − ν 2 )(1 − νj2 )iY 2 (1 + νj )2 (1 − 2νj )+φ⊥Y Yj (1 − ν 2 )(1 − νj2 ) j+(1.1.15)ãäå φkj è φ⊥j îçíà÷àþò ýìïèðè÷åñêèå óãëû ïîòåðü äëÿ äåôîðìàöèé ïàðàëëåëüíûõ è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïîâåðõíîñòè çåðêàëà ñîîòâåòñòâåííî. ×àñòî ýòè âåëè÷èíû ïîëàãàþò ðàâíûìèäëÿ ñëîÿ. Èíäåêñû j îçíà÷àþò ïàðàìåòðû ñëî¼â, è N èõ ïîëíîå ÷èñëî.

Ýòîò øóì áûëýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåí íà ñïåöèàëüíûõ Èíòåðôåðîìåòðàõ Òåïëîâîãî Øóìà (TNI) [21] èìîæåò ñòàòü ñåðüåçíîé ïðîáëåìîé äëÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñëåäóþùåãî ïîêîëåíèÿ ãðàâèòàöèîííûõ àíòåíí [20]. Ýòà ôîðìóëà ïîëó÷åíà èç äîïóùåíèÿ, ÷òî ëó÷ îòðàæàåòñÿ îò ïîâåðõíîñòèïîêðûòèÿ.  äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîïðàâêè, ñâÿçàííûå ñ òåì, ÷òî ôàêòè÷åñêèñâåò ïðîíèêàåò â ïîêðûòèå íà êîíå÷íóþ ãëóáèíó.Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíóòðåííèõ øóìîâ, áðîóíîâñêîé âåòâè.Òåðìîóïðóãèé øóì ïîêðûòèÿÒàê æå êàê è â ïóíêòå 1.1.3., òîëüêî òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ïðîèñõîäèò â ïîêðûòèè [16,22]:18STcoatE =8kB T 2 (1 + νs )2 αc2 d2N√G(ω)coatTE3/221/2πκs Cs ρs w f(1.1.16)αc =1α1+νYhCρi+ (1 − 2νs )− αs2 1 − ν 1 + νsYsCs ρ scoatG(ω)T E =sinh ξ − sin ξ + R(cosh ξ − cos ξ)2Rξ 2 cosh ξ + cos ξ + 2R sinh ξ + R2 (cosh ξ − cos ξ)sqhρCiξ = 2ωd2N hρCihκ−1 iR=Cs ρs κs hκ−1 iÄëÿ SiO2 − T a2 O5 ïîêðûòèÿ αc áëèçêî ê hαi.

Çäåñü óñðåäíåíèå îçíà÷àåò ñëåäóþùóþïðîöåäóðó:hXi ≡Xl dl + Xh dh.dl + dh(1.1.17)Ïðè ξ 1 ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü:G(ω)coatTE ' 1 −3R2 − 1ξ3R(1.1.18)Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíóòðåííèõ øóìîâ, òåïëîâîé âåòâè.Òåðìîðåôðàêòèâíûé øóì ïîêðûòèÿ [17] áûëî óêàçàíî íà åù¼ îäèí èñòî÷íèê øóìà: â ñâÿçè ñ òåðìîðåôðàêöèåé βl,h =dnl,h /dT â ñëîÿõ íàáåã ôàçû â ïîêðûòèè ìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ýòèõ ôëóêòóàöèé çàïèñûâàþò â ñëåäóþùåì âèäå:STcoatR =2 22kB T 2 βeffλ√3/2πκs ρs Cs w2 f 1/21 βh n2l + βl n2hβeff =4 n2h − n2l(1.1.19)Çíà÷åíèå βeff âåðíî òîëüêî åñëè âíåøíèé ñëîé èìååò ìåíüøèé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ nl <nh è òîëùèíó dc = λ/(4nl ).

Áîëåå îáùåå âûðàæåíèå è îáñóæäåíèå ìîæíî íàéòè â [4]. Ñóùåñòâîâàíèå ýòîãî øóìà áûëî ðàíåå ïðåäñêàçàíî [23] è èçìåðåíî [24] äëÿ îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ. Òàêîé øóì áûë òàê æå èçìåðåí â âûñîêîäîáðîòíûõ ñôåðè÷åñêèõ ìèêðîðåçîíàòîðàõ[25].Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíóòðåííèõ øóìîâ, òåïëîâîé âåòâè.19Øóìû ñâåòîâîãî ïîãëîùåíèÿØóì ìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ íå òîëüêî èç-çà âíóòðåííèõ òåïëîâûõ ôëóêòóàöèé, íî è èç-çàôëóêòóàöèé ïîãëîùàåìîé ñâåòîâîé ìîùíîñòè, íàãðåâàþùåé çåðêàëî [15]:SPsubTE =α2 Sabs,π 4 ρ2s Cs2 w4 f 2(1.1.20)ãäå ω0 îïòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, Sabs ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ïîãëîù¼ííîãî ñâåòà.

 ñëó÷àåäðîáîâîãî øóìà äëÿ ïîãëîù¼ííîé ìîùíîñòè Pabs , Sabs = ~ωPabs . Áîëåå îáùèé ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ôëóêòóàöèé ìîùíîñòè áûë èññëåäîâàí â [26].Äîïîëíèòåëüíûå òåïëîâûå ôëóêòóàöèè, âûçâàííûå ôëóêòóàöèÿìè ïîãëîùàåìîé ñâåòîâîé ìîùíîñòè ïðèâîäÿò ê òåïëîâîìó ðàñøèðåíèþ è èçìåíåíèÿì ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âïîêðûòèè è øóìó îòðàæ¼ííîé ôàçû àíàëîãè÷íî 1.1.3. è 1.1.3.. Îöåíêè ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè áûëè ïîëó÷åíû â [4]:SPcoatTE =4Sabs (1 + νs )2 αc2 d2N coatGsurf (ω)π 3 ρs Cs κs w4 f(1.1.21)2 2Sabs βeffλGcoat (ω)3π ρs Cs κs w4 f surf(1.1.22)SPcoatTR =Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíåøíèõ øóìîâ. Åñëè èõ èñòî÷íèê âîçáóæäàþùèéñèñòåìó ëàçåð, òî ýòî áóäåò âåòâü ëàçåðà âîçáóæäåíèÿ.Øóìû òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿÒåïëîâîå èçëó÷åíèå êàê äèññèïàòèâíûé ïðîöåññ òîæå ïðèâîäèò ê ôëóêòóàöèÿì òåìïåðàòóðû â çåðêàëå.

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òàêèõ ôëóêòóàöèé áûëà ïîëó÷åíà â [27, 28]. Ýòîòøóì ïðèëîæåí ê ïîâåðõíîñòè êàê è øóì òåïëîâîãî ïîãëîùåíèÿ, ïîýòîìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ èç 1.1.3. äëÿ îöåíêè óïðóãèõ è ðåôðàêòèâíûõ øóìîâ òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿïîêðûòèÿ è ïîäëîæêè, ñ ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíîéSabs → SSB = 8σB kB T 5 πw2 ,(1.1.23)ãäå σB ïîñòîÿííàÿ Ñòåôàíà-Áîëüöìàíà. Ýòîò øóì ïðèíàäëåæèò êëàññó âíåøíèõ øóìîâ,âåòâü èçëó÷åíèÿ ÷¼ðíîãî òåëà.Âñå âûøåîïèñàííûå îöåíêè ñäåëàíû â ïðåäñòàâëåíèè çåðêàëà êàê áåñêîíå÷íîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà (w ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñîì è òîëùèíîé çåðêàëà) è ìàëûõ ÷àñòîò f .

Íàðèñ. 1.4 ìîæíî âèäåòü äèàãðàììó ýòèõ øóìîâ, ïðèâåä¼ííûõ ê øóìó ñìåùåíèÿ ýôôåêòèâíîé îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè, äëÿ ïàðàìåòðîâ ðàáîòû LIGO. Ïîïðàâêè äëÿ äðóãèõ ÷àñòîòè êîíå÷íûõ çåðêàë ìîãóò áûòü íàéäåíû â ðàáîòàõ [29] è [30].201.1.4.Øóìû, ðàññìàòðèâàåìûå â äàííîé ðàáîòåÔîòîóïðóãèé (àêóñòîîïòè÷åñêèé) øóì ïîêðûòèÿÅñëè âñïîìíèòü îñíîâíûå âèäû øóìîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ïóíêòå 1.1.3. òî âèäíî, ÷òîñðåäè ðàññìîòðåííûõ âûøå øóìîâ íåò ôîòîóïðóãîãî øóìà àíàëîãà òåðìîðåôðàêòèâíîãî øóìà, íî ïðîèñõîäÿùåãî îò äåôîðìàöèé ñëî¼â. Ôîòîóïðóãîñòü ýòî ÿâëåíèå èçìåíåíèÿïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïðè äåôîðìàöèè [31]:∆Bλ = pλµ εµ(1.1.24)ãäå Bi îïòè÷åñêàÿ èíäèêàòðèñà, εµ äåôîðìàöèÿ, à èíäåêñû λ, µ ∈ [1; 6].  íàøåì ñëó÷àå εµ = ∂ε3 /∂z = −δd/d äëÿ êàæäîãî ñëîÿ.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìîæíîðàçäåëèòü ïðîäîëüíûé ýôôåêò ∆Bλ = pλ3 ε3 = pλ3 δd/d è ïîïåðå÷íûé ýôôåêò ∆Bλ = pλρ ερρ .Îäíàêî òîëüêî øóì, ïðîèçâîäèìûé ïðîäîëüíûì ýôôåêòîì èìååò òî æå ïðîèñõîæäåíèå, ÷òî èðàññìàòðèâàåìûé íàìè øóì (äâèæåíèå â íàïðàâëåíèè z ), è òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü ïîäàâëåíèÿ.