Акустическая томография распределения нелинейных параметров рассеивателя на основе эффектов третьего порядка, страница 3

С этой цельюиспользуется комплексная запись действительных монохроматических первичных[]сигналов p j (r, t ) =1p j (C) (r ) exp(−iω jt ) + p *j ( C) (r ) exp(iω j t ) , где j=1,2,3; комбинационных2сигналовp (±3±) phys (r, t ) =[*1 ( 3)p ± ± phys (C) (r ) exp(−iΩ ± ± t ) + p ±(3±)phys (C) (r ) exp(iΩ ± ± t )2(12)[]и]( 3)( 3)( 3)комбинационных источников Qphys(r, t ) = Qphys(C) (r ) exp( −iΩ ± ± t ) + (Qphys (C) (r ) ) exp(iΩ ± ± t ) ;*здесь индекс (С) говорит о комплексном характере величины.

Уравнение,описывающее поле давления рассеянных комбинационных волн третьего порядка,записывается в следующем виде: 2 Ω ±2±  (3)(3)∇ + 2  p ± ± phys(C) (r ) = Q phys(C) (r ) =c0 뤀‫ڈ‬3=−Ω ±2± ε ′3 (r ) p1(C) (r ) p 2(*)(C) (r ) p3(*)(C) (r )2 62ρ 0 c0(2)В правой части уравнения (2) знак сопряжения ∗ величин p 2 и p3 указан вскобках, поскольку он относится только к случаю знака “минус” передсоответствующейчастотойΩ ± ± = ω1 ± ω2 ± ω3 .Решениеуравнения(2)записывается в виде:p ±(3±)phys(C) (y ) =32 p1(C) (r ) p 2(*)(C) (r ) p3(*)(C) (r ) dr ,′= ∫ G±0 ± (y − r )  −Ωε(r)±±32 6 2ρ 0 c0ℜ(3)где y определяет точку наблюдения, ℜ – область взаимодействия первичныхволн.

Функция Грина G±0± (y − r ) для частоты Ω ± ± и однородной безграничнойфоновой среды со скоростью звука c = c0 имеет в приближении дальнего поля видG±0 ± (y − r ) ≈ G 0± ± (y ) exp(− i k ± ± r ) , где k ± ± ≡ (Ω ± ± c0 )11yy– волновой векторрассеянной волны на соответствующей комбинационной частоте Ω ± ± . В случаетомографируемого объекта, однородного по своим линейным параметрам, инеоднородного только по нелинейным параметрам, подстановка в правую часть(3) выражений для комплексных амплитуд первичных плоских волнp1(C) (r ) = p 01 exp(i k 1r ) , p 2 (C) (r ) = p 02 exp(i k 2 r ) , p 3(C) (r ) = p 03 exp(i k 3r ) приводитдля дальней зоны к соотношению:p ±(3±) phys(C) (y ) = −32ρ 02 c06(*)(*)Ω ±2± p 01 p 02p 03G±0 ± (y ) ~ε3′ (K ± ± ) ,K ± ± = k ± ± − (k 1 ± k 2 ± k 3 ) ,(4)где K ± ± – векторы соответствующих пространственных частотот. Таким образом,давление комбинационных волн третьего порядка зависит от амплитуд первичныхволн и пространственного спектра ~ε3′ (K ± ± ) нелинейного параметра{}ε ′3 (r ) ≡ 2(ε 2 (r ) − 1) − ε 3 (r ) .2Из (4) следует, что при фиксировании направлений и величин волновыхвекторовk1 ,фиксированииk2,k3полеймонохроматических뤀‫ڈ‬направленияприёма,т.е.направлениярегистрируемой рассеянной волны k ± ± ≡ (Ω ± ± c0 )возможнодлячетырёхвектороввосстановимостинулевойа такжеволновоговектораy, восстановление ~ε3′ (K ± ± )yпространственнойK + + = k + + − (k 1 + k 2 + k 3 ) ,K − + = k − + − (k 1 − k 2 + k 3 ) ,излучателей,частоты:K + − = k + − − (k 1 + k 2 − k 3 ) ,K − − = k − − − (k 1 − k 2 − k 3 ) .компонентыВаженпространственноговопросспектраоK = 0,ответственной за постоянную составляющую функции рассеивателя.

Присуммарнойкомбинационнойсоотношения:частотеΩ + + = ω1 + ω2 + ω3справедливы| k + + | = (ω1 + ω 2 + ω3 ) c0 = | k 1 | + | k 2 | + | k 3 | ≥ | k 1 + k 2 + k 3 | ,причем равенство | k + + | = | k 1 + k 2 + k 3 | , означающее возможность обеспеченияK + + = 0 , достигается только при коллинеарном взаимодействии всех трехпервичныхволн.Длясуммарно-разностной| k + − | = (ω1 + ω2 − ω3 ) c0 = | k 1 | + | k 2 | − | k 3 | ,зачастотысчетΩ + − = ω1 + ω2 − ω3 :чегоравенство| k + − | = | k 1 + k 2 − k 3 | , допускающее значение K + − = 0 , может быть обеспечено и12принеколлинеарномвзаимодействии(дляразностно-суммарнойчастотыΩ − + = ω1 − ω 2 + ω3 и разностно-разностной частоты Ω − − = ω1 − ω 2 − ω3 ситуацияаналогична).

Надо отметить, что в нелинейной томографии второго порядканеколлинеарное взаимодействие двух первичных волн возможно лишь вприсутствии неоднородности нелинейного параметра среды второго порядкаε 2 (r ) , поскольку “дефицит” волнового вектора, о котором шла речь ранее,восполняется за счёт вектора K необходимой пространственной частоты вспектре ~ε (K ) [4]. При взаимодействии же трёх первичных волн этот “дефицит”2восполняет волновой вектор третьей первичной волны k 3 , и рождениекомбинационных волн третьего порядка возможно даже в случае среды,однородной по нелинейным характеристикам ε 2 (r ) и ε 3 (r ) .Модельная схема, реализующаяYИзлучатель 3O′k3ℜk −+k1процесс нелинейной томографиитретьего порядка, предложенная в§2.3, изображена на рис.

1. НаOX荰Ȕапертурнойрасполагаютсяизлучателя(дваширокополосные)широкополосныйПриемникk2Излучатель 2окружноститриплоскихизикоторыхплоскийприёмник.Исследуемыйобъектнаходитсявнутри области пересечения ближнихИзлучатель 1зон всех четырёх преобразователей.На широкополосные излучатели 1 и 2подаютсянезависимыесигналы,Рис. 1. Модельная схема нелинейнойтомографии третьего порядка.кодированные известным образом, например, фазоманипулированные ( 0, π )сигналы. Третий преобразователь излучает монохроматическую (при двумернойсхеме томографирования) волну. Приемник регистрирует полное поле,являющееся результатом различного по характеру, линейного и нелинейного,рассеяния волн. Таким образом, данная схема построена по принципу схемы,использованной в [4, 5] для томографирования с помощью нелинейных эффектоввторого порядка, и конструктивно отличается от нее присутствием третьегомонохроматического излучателя.13В качестве информативного сигнала для томографии распределениякомбинированного нелинейного параметра ε'3 (r ) ≡ {2(ε 2 (r ) − 1)2 − ε 3 (r )} используетсякомбинационныйсигналтретьегопорядкаΩ − + = ω1 − ω 2 + ω3 .

Вид поля давленияразносто-суммарнойчастотыp −(3+) phys (y; t ) (4) на приемнике скоординатой y можно обобщить на случай использования широкополосныхсигналов(спомощьюразложенияширокополосногосигналанамонохроматическиесоставляющие).Предлагаетсятажепроцедуравосстановления, которая использовалась в [4, 5]. Она основана на согласованнойфильтрации (или эквивалентной ей корреляционной обработке) сигнала p (y , t ) ,рассеянного сложным нелинейным объектом и регистрируемого приемником сцентром в точке y . Сигналом сравнения, т.е.

эталонным откликом pδ (y | r; t ) дляточки пространства r , является предвычисленный комбинационный сигнал врассматриваемой полосе частот, порождаемый пробным нелинейнымрассеивателем (ε ′3 ) δ (r ′) ~ δ(r ′ − r ) (нормировочный множитель опущен) ирегистрируемый на том же приемнике.Оценкой рассеивателя ε′3 (r ) служит:εˆ ′3 (r ) =∫p뤀‫ڈ‬∗δ(y | r; t ) p (y , t ) dt∗∫ p δ (y | r; t ) pδ (y | r; t ) dt.(5)Для оценки уровней сигналов комбинационных волн третьего порядка,(3)(3)(3)(2×2)создаваемых различными источниками Qphys, Qgeom, Qphys, и, как-geom , Qследствие, оценки возможности томографии нелинейного параметра ε′3 (r ) наоснове предложенной схемы, в §2.4 проведено численное моделированиепроцесса взаимодействия трех монохроматических пучков, частоты инаправления распространения которых совпадали с несущими частотами инаправлениями первичных волн в описанной схеме.

При моделированиирассчитывалась амплитуда поля давления комбинационных волн с частотойΩ − + = ω1 − ω 2 + ω3взависимостиотрадиусаобластивзаимодействия.Полученные оценки показали, что для таких сред как вода (рис. 2), для которойε 2 ≈ 3.5 , ε 3 ≈ ε'3 ≈ 6.3 , происходит практически полная взаимокомпенсация14комбинационного поля давленияp(Па)p −(3)+ phys(линиямаркерами),скруглымирожденного(3)физическими источниками Qphys,с полемp −(3)+ phys-geom (длинныйпунктир),рожденногофизическо-геометрическимиr / λ0Рис. 2.Зависимость амплитуды давлениякомбинационных волнp− +на приемнике,порождаемогоразличныминелинейнымиисточникамичистотретьегопорядка( 3)( 3)(3)(3)Q− + = Q− + phys + Q− + geom + Q− + phys-geomвнутриэлемента разрешения в воде ( ε 2 ≈ 3.5 , ε 3 ≈ 6.3 ),от радиуса элемента разрешения.источниками(3)Qphys-geom ,врезультате чего, полное поледавления чисто третьего порядкаp −(3)+ = p −(3)+ phys + p −(3)+ geom + p −(3)+ phys-geom(сплошная линия) существеннослабеепервыхдвухегослагаемых, что говорит оневозможности восстановления с помощью предложенной схемы объектов, понелинейным свойствами схожими с водой.뤀‫ڈ‬Однако аналогичные оценки для глицерина ( ε 2 ≈ 5.4 , ε 3 ≈ ε'3 ≈ 19.4 ),комбинированный нелинейный параметр ε'3 которого заметно больше чем уводы, показали (рис.

3а), что для сильно нелинейных сред основной вклад в(3)полное поле p −(3)+ (сплошная линия) вносят именно физические источники Qphys(поле давления p −(3)+ phys , обусловленное этими источниками, обозначено на рис. 3акруглыми маркерами). Несмотря на то, что в случае взаимодействия трехмонохроматических пучков в глицерине комбинационное поле давлениядвукратного взаимодействия второго порядка p −(2×+2) (рис. 3б короткий пунктир)сравнимо с полем чисто третьего порядка p −(3)+ (рис.

3б сплошная линия), влияниеp −(2×+2) в процессе томографии при взаимодействии широкополосных волн сильноснижается за счет кодировки. Таким образом, рассмотренная схема томографииприменима при исследовании нелинейных объектов, для которых не происходит,как в случае с водой, близкой к полной взаимной компенсации комбинационногополя давления чисто третьего порядка p −(3)+ = p −(3)+ phys + p −(3)+ geom + p −(3)+ phys-geom .15p(Па)p(Па)r / λ0− +r / λ0− +(а)(б)Рис. 3. Зависимость амплитуды давления комбинационных волн p − + на приемнике,порождаемого различными нелинейными источниками чисто третьего порядкаQ−(3+) = Q−(3+)phys + Q−(3)+ geom + Q−(3)+ phys-geom (а) и всеми источниками третьего порядкаQ−(III+ ) = Q−(3+) + Q−(2+×2) (б) внутри элемента разрешения в глицерине ( ε 2 ≈ 5.4 , ε 3 ≈ 19.4 ), отрадиуса элемента разрешения.Провести аналогичные оценки 荰дляреальных биологических тканей неȔпредоставляется возможным, поскольку значения нелинейного параметра ε 3 дляних из литературы нам известны.