D-браны и линейный дилатон - новые модели, страница 2

Ñóùåñòâóþò òàêæå ÷åðíûå p-áðàíû, ÿâëÿþùèåñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì ðåøåíèÿ ÷åðíîé äûðû.6Îíè ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ äëÿ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé AdS/CFT ñîîòâåòñòâèÿ (ãîëîãðàôè÷åñêîãî ñîîòâåòñòâèÿ òåîðèè ñóïåðñòðóí â ïðîñòðàíñòâåAdS5 × S 5 è N = 4 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãà-Ìèëëñà, æèâóùåéíà ãðàíèöå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà). Äðóãîé âàæíîé îñîáåííîñòüþ ãèïåðáðàíÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî îíè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîäåðæàò ìàòðè÷íûåñòåïåíè ñâîáîäû.  ÷àñòíîñòè, èçâåñòíà òåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó òåîðèÿìè, ñîäåðæàùèìè D-áðàíû, è íåàáåëåâûìè êàëèáðîâî÷íûìè òåîðèÿìè.Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âàæíîñòü ãèïåðáðàí â ñóïåðãðàâèòàöèè è òåîðèèñòðóí, îñîáûé èíòåðåñ âûçûâàåò çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ p-áðàííûõ ðåøåíèéâ ðàçëè÷íûõ ñóïåðãðàâèòàöèÿõ â ðàçìåðíîñòè 4 ≤ d ≤ 11. Òàêèå ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé p-ìåðíîå ïëîñêîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñ ISO(p) × Rñèììåòðèåé ìèðîâîãî îáúåìà (ãäå R ñîîòâåòñòâóåò âðåìåíè), îáëàäàþùååíåêîòîðûì íàòÿæåíèåì, íåñóùåå çàðÿä ïî ïîëþ ïîëèôîðìû è ñîäåðæàùååòàêæå íåòðèâèàëüíûé äèëàòîí.

Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èíòåðåñíî ðàññìàòðèâàòü àñèìïòîòè÷åñêè íåñèíãóëÿðíûå (â ÷àñòíîñòè, àñèìïòîòè÷åñêèïëîñêèå) ðåøåíèÿ, îáëàäàþùèå ðåãóëÿðíûì ãîðèçîíòîì ñîáûòèé â äîïîëíèòåëüíûõ èçìåðåíèÿõ. Òðàíñâåðñàëüíîå ïðîñòðàíñòâî îáû÷íî âûáèðàåòñÿâ âèäå ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé êðèâèçíû. ×åðíàÿ äûðà òàêèì îáðàçîìÿâëÿåòñÿ 0-áðàíîé ñî ñôåðè÷åñêèì òðàíñâåðñàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì.

Ñèììåòðèÿ ISO(p) × R äîïîëíÿåòñÿ äî ïîëíîé ISO(p, 1) ñèììåòðèè â ñëó÷àåýêñòðåìàëüíîé ÁÏÑ áðàíû (÷òî â ñëó÷àå ÷åðíîé äûðû ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ Ðåéññíåðà-Íîðäñòðåìà ñ ìàññîé, ðàâíîé çàðÿäó).Äîëãîå âðåìÿ ñ÷èòàëîñü, ÷òî ðåøåíèå äëÿ îäèíî÷íîé ñòàòè÷åñêîé çàðÿæåííîé ïî ïîëþ ôîðìû p-áðàíû, çàâèñèò îò äâóõ ïàðàìåòðîâ - ìàññû èçàðÿäà, ÷òî âîîáùå ãîâîðÿ íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåøåíèÿêîíêðåòíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïåðâîíà÷àëüíî ãðàâèòàöèîííîå ðåøåíèå äëÿ áðàíû íå óäàâàëîñü ïîëó÷èòü â îáùåì âèäå, îãðàíè÷åííûì ëèøü îïèñàííîé âûøå ñèììåòðèåé. ×åðíîå è ÁÏÑ-ðåøåíèÿ âûâîäèëèñü èç ñïåöèàëüíîãî àíçàöà, áîëåå óçêîãî, ÷åì ïîçâîëÿåò íàëîæåííàÿ ñèììåòðèÿ. Ïîýòîìó àïðèîðè íå áûëî ÿñíî, ñóùåñòâóåò ëè áîëåå îáùåå ðåøåíèå è ñêîëüêî ïàðàìåòðîâ òàêîå ðåøåíèå ìîæåò ñîäåðæàòü.  1999 ã.

Zhouè Zhu âïåðâûå ÿâíî ïðîèíòåãðèðîâàëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñòàòè÷åñêîé p-áðàíû è ïîñòðîèëè ñåìåéñòâî p-áðàííûõ ðåøåíèé ñî ñôåðè÷åñêè7ñèììåòðè÷íûì òðàíñâåðñàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì è ISO(p) × R ñèììåòðèåéìèðîâîãî îáúåìà, çàâèñÿùåå îò ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ.  ïîñëåäñòâèè áûëà ïðåäëîæåíà èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ ðåøåíèé, ñîãëàñíî êîòîðîé äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû îòâå÷àëè çà òàõèîííóþ êîíäåíñàöèþ â ñèñòåìå áðàíààíòèáðàíà.Îäíàêî, â ñâÿçè ñ çàïóòàííîñòüþ ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ è íåíàäåæíîñòüþ èíòåðïðåòàöèè äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ, ýòè ðåçóëüòàòû âûçûâàëè îïðåäåëåííûå ñîìíåíèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷àðàçðàáîòêè áîëåå ýôôåêòèâíîãî è ïðîçðà÷íîãî ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ,ïîëó÷åíèÿ íàèáîëåå îáùèõ ðåøåíèé óðàâíåíèé p-áðàíû (â òîì ÷èñëå âñëó÷àå áîëåå îáùåãî àíçàöà) è âûäåëåíèÿ èç îáùåãî ðåøåíèÿ ôèçè÷åñêèîñìûñëåííûõ êîíôèãóðàöèé, à èìåííî àñèìïòîòè÷åñêè íåñèíãóëÿðíûõ ðåøåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïðèíöèïó êîñìè÷åñêîé öåíçóðû (âñå ñèíãóëÿðíîñòè ñêðûòû ãîðèçîíòîì) è îáëàäàþùèõ ðåãóëÿðíûì ãîðèçîíòîì ñîáûòèé.Îêàçàëîñü, ÷òî ýòè òðåáîâàíèÿ çíà÷èòåëüíî ñóæàþò ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ íàèáîëåå îáùåãî ðåøåíèÿ.

 ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèåZhou è Zhu ñîäåðæèò ãîëûå ñèíãóëÿðíîñòè. Íàêëàäûâàÿ äîïîëíèòåëüíîóñëîâèÿ, âûòåêàþùèå èç òðåáîâàíèÿ íàëè÷èÿ ðåãóëÿðíîãî ãîðèçîíòà, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äàííûå ðåøåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê èçâåñòíîìó ðåøåíèþ äëÿ ÷åðíîé áðàíû.Òàêæå áûëî âûÿâëåíî, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíóþâåòâü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ãèïåðáðàíå íà ôîíå ëèíåéíîãî äèëàòîíà. Ðåøåíèÿïîäîáíîãî òèïà èãðàþò âàæíóþ ðîëü â ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèÿõ AdS/CFTñîîòâåòñòâèÿ. Ðàçðàáîòàííûé ìåòîä ÿâíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ïðèìåíåí äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ âñëó÷àÿõ äîìåííîé ñòåíêè è D-èíñòàíòîíà (D(-1)-áðàíû).

Äîìåííûå ñòåíêè(p-áðàíû êîðàçìåðíîñòè îäèí) âàæíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáîáùåíèé AdS/CFTñîîòâåòñòâèÿ íà ñëó÷àé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ñ ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì ñóïåðñèììåòðèé. D-èíñòàíòîíû îòâåòñòâåííû çà ðàçëè÷íûå íåïåðòóðáàòèâíûå ýôôåêòû â òåîðèè ñóïåðñòðóí.Îäíîé èç âîçìîæíûõ íåïåðòóðáàòèâíûõ ôîðìóëèðîâîê òåîðèè ñòðóíÿâëÿåòñÿ ñòðóííàÿ òåîðèÿ ïîëÿ.

Îíà îñíîâàíà íà ïðåäñòàâëåíèè ñîñòîÿíèé ñòðóíû â âèäå ôóíêöèîíàëîâ íà îòðåçêå, äëÿ êîòîðûõ ââîäèòñÿ äåé8ñòâèå ×åðíà-Ñàéìîíñà. Ñóùåñòâóþùàÿ ôîðìóëèðîâêà ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ ïðèñïîñîáëåíà ê ñòðóíàì ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Íåéìàíà.  ñâÿçè ñîòêðûòèåì D-áðàí ñòàëî ÿñíî, ÷òî â òåîðèþ íà ðàâíûõ îñíîâàíèÿõ äîëæíàáûòü âêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü âûáîðà ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ Äèðèõëå. Ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ, ñëåäóåò ïîñòðîèòü ôîðìàëèçì ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ, âêîòîðîì áûë áû çàëîæåí ïðîèçâîë â âûáîðå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ïðèñóòñòâóþùèé â òåîðèè ñòðóí èçíà÷àëüíî. Ïåðâûì øàãîì â ýòîì íàïðàâëåíèèÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ â ïðèñóòñòâèè D-áðàíè èçâëå÷åíèÿ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîé òåîðèè íà ñòîïêå èç N D-èíñòàíòîíîâ(òåîðèè ßíãà-Ìèëëñà ñ ãðóïïîé U (N )) ñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äèëàòîíà îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû,íåêîòîðûå ãèïåðáðàíû (íàïðèìåð NS5 áðàíà) èìåþò îïèñàíèå â òåðìèíàõêîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ ñ ëèíåéíûì äèëàòîíîì íà ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè(÷àñòî ýòà òåîðèÿ òàêæå íàçûâàåòñÿ äâóìåðíûì êóëîíîâñêèì ãàçîì èëèêîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ ñ ôîíîâûì çàðÿäîì).

Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñàäàííîé òåîðèè ñîäåðæèò ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïîëÿ. Ýòà ìîäåëü êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ âàæíà äëÿ ïîëåâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìèíèìàëüíûõ ìîäåëåé êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ, èñïîëüçóåòñÿ âäâóìåðíîé êâàíòîâîé ãðàâèòàöèè (òåîðèè Ëèóâèëëÿ), à òàêæå â âåðòåêñîïåðàòîðíûõ êîíñòðóêöèÿõ àëãåáð Êàöà-Ìóäè è êâàíòîâûõ ãðóïï. Ñâÿçüâåðøèííûõ îïåðàòîðîâ â òåîðèè ñ ôîíîâûì çàðÿäîì ñ òåîðèåé ïðåäñòàâëåíèé êâàíòîâî-äåôîðìèðîâàííûõ àëãåáð áûëà îáíàðóæåíà â íà÷àëå 90-õè èçó÷åíà â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ.  îáùåì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðèÿn ñâîáîäíûõ ïîëåé, êîìïàêòèôèöèðîâàííûõ íà òîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ðåøåòêå êîðíåé àëãåáðû Ëè. Àôèííûå àëãåáðû ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà îäíî èçíàïðàâëåíèé â ïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ ñâåòîïîäîáíî. Äàëåå â òåîðèè èçó÷àþòñÿ ïîëÿ ðàçìåðíîñòè îäèí, ïðåäñòàâëÿåìûå â âèäå âåðøèííûõ îïåðàòîðîâ îïðåäåëåííîãî âèäà - êàæäûé îïåðàòîð ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîìóêîðíþ àëãåáðû Ëè.

Èç-çà íàëè÷èÿ íåòðèâèàëüíîãî ôîíîâîãî çàðÿäà êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äåôîðìèðóþòñÿ (íåçàâèñèìî äëÿ âåðõíå - è íèæíåòðåóãîëüíûõ áîðåëåâñêèõ ïîäàëãåáð) è àëãåáðà âåðøèííûõ îïåðàòîðîâñòàíîâèòñÿ êâàíòîâîé ãðóïïîé. Ïðè ýòîì íåòðèâèàëüíûì ôàêòîì, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîãî îòñóòñòâîâàëî äàæå â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð,9ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå êâàíòîâûõ ñîîòíîøåíèé Ñåððà. Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿâ äàííîé ðàáîòå.Âî âòîðîé ãëàâå "Èññëåäîâàíèå ïîëíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ÷åðíîép-áðàíû ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðèÿ ãðàâèòàöèè, âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ ïîëåìq -ôîðìû è äèëàòîíîì ñ äåéñòâèåìZS=µ¶11 aφ 2µd x −g R − ∂µ φ∂ φ −e F[q] ,22 q!d√(1)è ñòðîÿòñÿ ðåøåíèÿ äëÿ ÷åðíûõ p-áðàí ñ ìåòðèêîé âèäàds2 = − e2B dt2 + e2D (dx21 + .

. . + dx2p ) + e2A dr2 + e2C dΣ2k,σ +2+ e2E (dy12 + . . . + dyq−k),(2)ãäå A(r), B(r), C(r), D(r) è E(r) - íåèçâåñòíûå ôóíêöèè ðàäèàëüíîé ïåðåìåííîé. Òðàíñâåðñàëüíîå ê ìèðîâîìó îáúåìó áðàíû q -ìåðíîå ïðîñòðàíñòâîòàêèì îáðàçîì èìååò âèä Σk,σ × Rq−k (p + q = d − 2). Ïðîñòðàíñòâî Σk,σïðè σ = 0, +1, −1 ÿâëÿåòñÿ k -ìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì ïîñòîÿííîé êðèâèçíû ïëîñêèì ïðîñòðàíñòâîì, ñôåðîé è ãèïåðáîëè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîìñîîòâåòñòâåííî ÷àñòè 2.1 óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó, óäîáíîìó äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.  ÷àñòè 2.2 ñòðîèòñÿ îáùåå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿäëÿ äàííîãî àíçàöà. Îíî ñîäåðæèò ñåìü íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ.

Ïðè ýòîì àñèìïòîòè÷åñêè ïëîñêèå ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò ëèøü âñëó÷àå ñôåðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Σk,σ .  ÷àñòè 2.3 èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðàîñîáûõ òî÷åê ðåøåíèÿ (âîçìîæíûõ ñèíãóëÿðíîñòåé, ãîðèçîíòîâ è àñèìïòîòè÷åñêè ïëîñêèõ îáëàñòåé), â ðåçóëüòàòå ÷åãî âûäåëÿþòñÿ äâå âåòâè ïðîñòðàíñòâà àñèìïòîòè÷åñêè íåñèíãóëÿðíûõ ðåøåíèé, îáëàäàþùèõ ðåãóëÿðíûì ãîðèçîíòîì ñîáûòèé.  ÷àñòè 2.4 ðàññìîòðåíà ïåðâàÿ âåòâü ðåøåíèÿ,ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷åðíîé p-áðàíå. Âòîðàÿ âåòâü, èçó÷åííàÿ â ÷àñòè 2.5, ñîîòâåòñòâóåò ÷åðíîé p-áðàíå íà ôîíå ëèíåéíîãî äèëàòîíà.  îáîèõ ñëó÷àÿõðåøåíèå çàâèñèò îò òðåõ ïàðàìåòðîâ - ìàññû, çàðÿäà, è çíà÷åíèÿ äèëàòîíàíà áåñêîíå÷íîñòè. Äëÿ ðåøåíèé ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ÀÄÌ-ìàññû èïðîâåðåíî âûïîëíåíèå ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ p-áðàí. ÷àñòè 2.6 ïîñòðîåíî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ñëó÷àå äîìåííîé ñòåíêè.