Иродов. Ядерная физика (задачник) 1984, страница 7

ДОказать ОператОриые РЗВенстаа: д А дВ. д — д-4 —, — дв а) — (А+В)= — + —; б) — (АВ) = — 8+А —. М ~й ~й Ю Й дГ 4.56. ДОказать сп(~ааеДлнВОСТЬ слеДуюЩНК урзаненнй Дан~кения В ОПераТОРНОЙ фОРМе: а) Йх М ==- Р 'ш; 6) ЙР .''й =- — д~31дх. 4*57, СОГЛЗСИО теОреМе Зренфеста, СреДние значения меязнических Величин ИОдчиияются ВЗКОизм ~ла~си~е~кОЙ механики. ДОказать, чтО при даижении частицы В пОтенциальнОм НОле У (х): а) (Йхг4ф '— ' ~„Р| ~ ж б) ~ф)р ~ Й ~ (дУ*'"дх~ 4.58. ДОкззать, чтО для частицы, Даи~кущейся В НОтенциальнОм пОле У (х), ВыпОлияются ОператОрные Рааенстаа: а) — (х-) -=- — (х Рх+ Рж х); ~й б) .

(Х Рж) -::: — '- — Х вЂ”, в дх д~', дГ В) — (Р ) =- — — Рж — Г Рх~* 4.59. ПОказать, чтО прОНВВОдная НО Вре~ени От ОперзтОРЗ 1.'~ РВИ~а ОператОру прОекции мОмента Вне1пних сил„т. е. д д0' дГ ~ — Е„.-М =-=-- у — — г — ~, ~Й де да 4.66. Час~ица находится В состоянии, описываемом соб~твенной фун~циеЙ ф оператора А, которьй неаависнт От Вр~~ени Явно.

По~~зать, что соответствующее собственное значение А этого оператора будет ~охраняться Во времени, если Оператор А коммутирует с Гамнльтонианом и. 4,61. Какие нз механических величин (энергия Е, проекиии импульса, проекции и квадрат момента импульса) сохраняк«тся прн дВН2кенни частиць«* и) В Отсутствие поля (свободное дани«еине); б) В ОДнороДном пОтенциальном поле Ь (1) — ие, й — - пОстояниая; в) В центрально-симметричном потенциальном поле «' (Г); Г) В однородном переменном поле У (ю, 1) =-- п(1) у? 4.62. Частица нахОДитсЯ и некоторОм сОстОЯиин Ч' (х, 1), прнчем Ч'(х, «) не является собственной функцией Оператора А. Зная, что Оператор А не зависит от Вре~ени явно и коммутирует с Гамильтонианом Н, пОказать: и) среднее значение Механической Величины А сохраняется; б) вер~ятности Определенных значений механичес~~Й величины А такэке не зависят От времени.

4.63. Преобразовать Оператор полной энергии Для частицы В центрально-симметричном п~тенци~~~н~м поле 0 (Г) к Виду Н == Т„+ — + У (Г), 2ж««« Какой Вид имеет оператОр Т«? 4.64. Частица массоЙ )«двии«ется В центрально-симметричном потенциальном поле У (Г). Найти: и) уравнения ШрединГера для УГЛОВОЙ и радиальнОЙ частей ВОлновой функции ф (Г, д, «р) = К (Г)- У (д, «а). Считая собственные значения оператора 1." изВестными, приВести уравнение для функции Я (Г) к Виду (4.1О); б) зависимость ВОЛНОВОЙ функции От азимутального угла «(:. 4.65.

Частица находится В центрально-симметричном потенциальном поле в состоянии «(«(г., д„«Й) — )Г «(Г) У'«(д, «() Каков физический смисл функции ~У'« ~~? Воспользовави~нсь табл. 4А, Вычислить нормировочиь~е коэффицненть« фун~циЙ: а) У;,««, .6) У2,. 4.66. Частица массой т находится в сферически-симметричной по- ГенцнальнОЙ яме, Где У (Г) — - О прн Г <: Р'««, У вЂ” ОО при Г Р'««, Го— радиус ямы.

Най*и: а) возможиие значениЯ энерГнн и нормированные собстВенные функцин частицы В ж-состояниях (1 = О), Где'ф-функция завнсит только За««. «896 33 От Г. Прн рещеннн уравнения Щ)единГера Воспольэоваться подстаиов- КОЙ ф =-«(/Г; б) наиболее Вероятное значение Гц н Вероятность ц» нахо»кдения частицы В Области» <.. »'ц„р для ОснОВИОГО состОЯниЯ. ИЗобраЭнть при- мерные Г«эафики функциЙ 'ф (Г) и»"" ф (») В этом состоянии. 4.67. Воспольэовавщись рециением предыдущей эадачи, най*и средние Зиачеи и я, »',', (»,» и среднеГО кВадратическОГО ОтклОнения ((à — (г~)') для частицы, находященся на»»-м а-уровне (1 = О). 4.68. Частица массОЙ»п нахОДитсЯ В сферически-симметрнчнОЙ НО- теициальной яме, Где (» (»") = 0 при Г'~: Р»», (» = ОО при»' = »о, »»»вЂ” радиус ямы. Воспольэовавц»ись ре~пеннем эадачн 4.66, наЙТН: а) радиальнук» часть 'ф-функции, Я» (» )„Описывающей р-сОстОяние частицы (1 = «).

Для Э~ОГО продифференцнровать уравнение (4.«0), ОПРЕДЕЛЯКХЦЕЕ фуНКЦИИ Я»» (Г) Ю-СОСТОЯНИЙ, И ПОЛУЧЕННОЕ ВЫРа2КЕНИЕ сравнить с уравнением, Определяк»щим функпии Р» (»). б) энерГик» перВОГ~ р-уровня, Сравни~Ь ее с Э~ерГ~~Й ОСИ~~И~Г~ СО- СТОЯНИЯ.

4.69. Частица массОН»е нахОдитсЯ В сферически-симметричнОЙ пО- тенциальнОЙ яме„Где У (») = О прн Г с»"о, (.» (»") (.»о прн»" э»'о, а. Нанти с пОЖОщью пОдстанОВки ф (») 7„(Г)»» уравнение, Опреде" ляк»щее ~~бственнЫе эначения энерГНН частицы в э-состояниях (1 =-О) в области Е:: У»»,' привести это уравнение к Виду мпйг, = ~Й~,У. М!2щ4»»,, Й=Р йтЕ/Й. б. УбеДНТЬСЯ, что Данная яма не ВсеГДа имеет дискре*ные уровни (связанные состояния). 0пределнть интервал эначений 4(.»о, при кото- рых яма сОДЕР»кнт тОЛЬко ОДИН 5-УРОБеиь. В. ПО~ВГая»~~Ц, = 8л'6':"27»п„вычислить наиболее Вероятное эиа- чение Гц для частицы В з-состоянии, а такме ВерОятность нахо»кдения ее В Области Г»ъ.

4.7О. Привести уравнение, Определяй»щее радиальнук» часть ВОлнОВОЙ функции электрона В кулоновском поле ЯДра Я,'к беэраэмер- нОму Инду- В качестве единиц измерения Взять атомную единицу длины (первый боровский радиус) и атомную единицу энерГин (энерГик» СВЯЗИ электрона В атОме Водорода). 4.7$. Испольэуя подстановку Р (Г) =- т (Г) Г, наЙти аснмптоти- ческий Вид раднальнОЙ части ВОлнОВОЙ функции, Я (»), длЯ сВЯЗанных сОстОяиий электрона В кулонОВскОм поле ядра: а) на больц»их и б) на малых расстояниях От Ядра. 4.72. Электрон В аТОМе водорода находится В стационарном Состоя- нии, Описываемом сферйческн-симметрнчнОЙ ВолнОВОЙ функцией 4~ (Г) =- == А («+ ОГ) е»~, ГДе А, й и»х — постоянные.

Найти: а) посГОянные и, я и энерГию электрОна (с пОИОщью уравнения $Предин Гера); 6) нормироВОчный коэффициент А, 4.73. Найти для Ь-электрона В атоме Водорода: а) наиболее вероятное расстояние от Ядра Г„, и Вероятность нахол- денця электрона в области г:- Г„,„; б) ВероитнОсть нахОждеиия еГО Вне классических Границ поля 34 4.74. Определптв Для $а-алектропа и атолле водорода средипе апаче- ИИЯ ° а) РасстОЯИия От ЯдРа (Г», (у ~ И ((à — (Гф"~; 6) ~~ду~~ силь~ вааимодепстппя и потепппальпОЙ аперГИП; В) кипетйческОЙ аперГИИ и средпей квадратйческОЙ скОрОсти. 4.75. Воспольаовав~апсь формуламп па табл, 4,2, вычислить Для 2о-и Зц-алектропоа атома водорода: а) наиболее вероятное расстояйие от ядра; б) средиее квадратпческОе ОтклОнепйе ((à — (Г)) ~.

4,76. Найти средппп алектростатическпя потепцпал, соадаваемып 1~-алектроиом Б ЦЕИтрЕ атопа ВОДОРОДа. 4.77. Определить средпип алектростатпческий потеиппал па расстОянии Г От ядра аточа водорода, паходящеГОся в Осповиом сОстояияи. Укйайпйа. "для пахождеиия потеппиала ф„, соадаяаемото калектроииым Облакомв, Дваясды пропптеГрировать ураппеипе Пуассопа — — 4лр. Ф Сцвктрзльйыс обоэйзчвййй тсрмОВ: х ~Ц ~, тае к — мультййлйтцость (и .-"- 25+ 1); Ь, 5 й,7 — кцзцтоцмв чйслз Орбйтзльцос, сцццОВОе й НОлйОГО мамЕКТЗ); Х.

==- О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... символ: 3, Р,В,Р,6,Н,К,... Ф ПРВВИЛЗ ОТборЗ КВЗВТОВЫХ ЧКССЛ Б, А ц Ф В ззлзчзк этой Глзцы сцйэь мбалу момсйтзмц црвдцолзтзвтсй йормзльиоб ~. — Я (Сццй-ОрбцТЗЛ~ ццц СВЯЗЬ) Ф ПРЗВЦЛЗ Л.УВЛЗ: цвцмццьцхбй эцВРГВОВ ОблзлзФт твом с мзксцмзльйим эйзчсййюм спййз Я в Рк лзццоц элвцтРОВНОК коцфйГУРВВ йй ц мзксцмзльйо ВОэмОжцмм ВРК этОм Ямвкс оцвчеицсм Х; Ллй ОСИОВВОГО (ВОРМЗЛЬКОГО) тВРМЗ,~ -:=- ~К.

— 8), ЕСЛИ ВОЛОбОЛОЧКЗ ЭЗНОЛ- ввцз мвцсв чем цзполОБйку, ц 1 -"' Х + Я ц Остзльйих случзцж. ОФ % Где фт и ит — етатиетияееиий Ве~: (иратиоетн Вйрои~дении) уровней е ВиерГиями ЕТ И Еф Ф Вероятности радиациоиимх переходов между уровнями 1 и 2 (Ет ~ Ет), т, е. число перехОдОВ за ) с В расчете из Одий атом (Я)М), для спонтаинОГО и инду цировзинОГО нзлучекия и иОГлОВТения: М~ЛТ='' ~М' 7 т~ДТ=ВИИ» ~Те Л~ ВТТ~ (6.6) И Состаамме зпеиуижае в аъвме 5.1. ОпреДелить потенЦиал НОиизаЦии и перВый потенЦиал Возбужде)1ЯЯ атома ~1а, у котОрОГО квантОВые дефекты ОснОВИОГО терма 33 ,1 герма ЗР равны соответственно 1,37 и О,88.

5.2. Вычислить КВантовые Дефекты 5-, Р- и В-термов атома 11, 1С„1И изВестно, чтО энерГия связи ВалентнОГО электрона В ОсновнОм .Остаянии равна 5,39 эВ, первый потенциал возбуждения 1,85 эВ и дли- 1)а во~~ы головиоЙ линии диффузноЙ Серии 0,61О мкм. Какой из перечпсленнь1х термов н~иболее близок к водородоподобным и чем это обуе.т»)вленог 5.3. Найти энергик) связи ВалентнОГО ЭлектрОна В ОснОВном СОстО- ))нии атома 11, если известно, что длины волн головной линии резкой с~рии и ее коротковолновой границы равны соответственно О,813 и 0,349 мкм, 5.4. Сколько СпектральныХ линий, разреп)енных правила~и Отбора, возпикает при перехОде атомОВ лития В ОснОвнОе состояние нз сОстОя- 11ИЯ: а) 45; а) 4Р? 5.5.

Вычислить для иона Ве+ квантовые дефекты 5- и Р-термов, а ~а~же Длину волны ГОЛОВИОЙ Линии резкоЙ серии„если известно, что длины волн головной линии главной серии и ее коротковолновой границы равны 321,О и 68,8 нм, 5.6. Термы атомов и НОиОВ с ОДним Валеитным электрОИОм- мО)кно 1)1)едставнть В Виде 7 =- Д (Я вЂ” й)' и', Где Л вЂ” заряд ядра (в единицах е); и — поправка экранирОвания„' и — ГлаВное кВантОвое числО валептпого Электрона.

Вычислить с помо)цыо этой формулы поправку а и квантовое число и валентного электрона В основном состоянии атома 1 1, если известно„ что ионизационные потенпиалы 1 1 и Ве+ равны соответственно 5,39 и 17,О В и поправка и Для них Одинакова. 5.7. НВЙТН рас)цепление, эВ, уровня 4Р ато~а К„ если известно„ что длинь) ВОлн кОмпонент дублета резонанснОЙ лниии равны 769, 898 )1 766, 491 нм. Сравнить пОлучениое значение с энергией 1) зонанснОГО 11~'1)еХОда. 5.'8.

Головная липиЯ резкоЙ серии атОмарнОГО цезиЯ преДставляет с )1)»)пдублет с длинами волн 1469,5 и 1358,8нм. Найти интервалы, с'1' „между кОмпонентами следук)щих линий этОЙ серии. 5.9. Выписать спектральные ОбозначениЯ термОВ электрона в этОме а)»дороДа длЯ») = 3, СкОлькО кОмпОнент тонкОЙ структЛ)ы имеет .) 1)Г)вень атома ВОДОрОДа с Главным кВантовь)м чнслОм и? 5.10. Вычислить Для нона Не+ интервалы, см, межДу: а) крайними компонентами ТОИКОЙ структуры уровней с и — 2, ~3 11 4; б) соседними компонентами тонкой структуры уровня с а == 3.

~ 11. Вычнслнть разность Длин ВОлн компонент Дублета линни 2Р -- 15 атомов Водорода и ионов Не+. 5 12. Каком~ водородоподобному иону пр))надлежит дублет головн»)Й линии серии Лаймана, разность волновых чисел которого состаВ- ляет 29,6 см-'? 5.

$3- Онределнть для и~и~~ Не+ число компонент тонкой структУ- ~ ры и интервал (В см-' н длинах волн) между крайннмн компонентами 1 Гс~лоииой линни серий: а) Ба аьмера; 6) Па$пена. 5.14. Прн какой разрнпаищей способности спектрального прибора,', москно ОбнаРУтякить тонкУкт стРуктуру ГолОВНОЙ линии сеРИН БальмеРВ ': атОмарнОГО Водщюда? 5.15.