Иродов. Ядерная физика (задачник) 1984, страница 6

Воспользоиаип~ись формулой„прйаеденйой Во ВВедеййй к даййой Глайе„йайтй для периык трек уройней Осцйллятора с массоЙ~~ й ЧВСТОТОЙ й): а) собстйенные функции и йх нормироиочные кОзффнцйенты; б) йайболее Веройтнь~е значейий колебательйоЙ коордййаты Изобразйть прймерйые Графйкй распределеййя плотйостй Вероятйостй различнык зйачейий х В зтйк состояниях. 3.56. Частица йаходнтсЯ В ОснОВЛОм сОстойнин В ОдномернОм потенцйальйом поле У (х) ~ х~. Какоиа Веройтйость пребыианий ее Вйе классических Границ поля? 3.57.

Зйая собстйенные фуйкцйй й собстйейные зйачеййя зйергйй Гармоййческого Осцйллйтора, йайтй собстиеййые значениЯ зйергйй частйцы с ~ас~ой «н„даижу~цейся В одйомерйом потейцйальйом поле У(х).=их~/2прих,- 0 и У= ооприх О, 3.58. Частица массой т диижетсй в трехмерном потейциальном поле У (х, у, 8) = '/, Б (х' + ф + Р)„где Б — козффйцйейт кйазиупру- ГОЙ силы. Определить: а) сОбстйенные значения знерГии частицы; б) кратйость Вырождения и-ГО зйергетйческо~ О уроййя. Укоацнпе: Воспользонатьсй формулами для Одйомерйого осцйллятора. 3.59. Частйца массоЙ ат и знергйей Е падает Слейа йа прймоугольный ИОтенцйальный барьер (рис, 3.5).

Найти: и) козффйцйейт отраженйя Я й козффйцйейт прозрачйости .0 зтого барьера длй С~уча~ Е:: У,. Убедйтьсй, что зйачеййй зтйк козффици- еитОВ не заиисят От иапраилення падающих частиц, б) козффйциент отражения Р, если Е:.. У,. Оаределйть для этого случай зффектйии~~о Глубину проййкйоиейнй частиц под барьер х„ф— рассй>Инне от Граййцы барьера до точкй, и котороЙ плотйость ВеройтнОсти нахождения частицы уменьшается В е раз. Вычислить х 1, ДлЯ злектроиа, если У, — Е =- 1„0 ВВ. 24 ответствующими формулами пф.'.дыдущей задачи„если в них изменить знак у 0 . Найти В при Š— 6"~; б) первые трн значения Е, при которьа электрон будет беспрепятственно проходнть черезтакой барьер, если У, == 10,0эВ и 1 = 0,50нм; а) коэффнпнент прозрачности 0 для с~у~~я Е ': У,.

Упростить полученное выра~кение„если В К 1; с) вероятность прокоасдения электрона н протона с Е = 5,0 эБ сквозь этот барьер, если У„=- 10,0 эВ и 1 =- 0„10 ии. 3.62. Найти с по~ощьаз форыулы (3.5) вероятность прохо~кдення частицы мас~оЙ ~п н энерсией Е скво~~ потенннальный барьер, по~азанный на рнс. 5.8. 3.63. То же, что в предыдущей задаче, но потенциальный барьер имеет внд (рис. ЗЗ): У 1х) =-- Ц„11 — х®,'Р). ФФ $ 4.4. Найти собственные функции ф и сОбственные значении следую- -':. щих Операторов: .1 а) — 1 —, еслн "ф (х) ==- ~() (х + й), й — постонннаЯ„' б) — —,, если ~ф =- О прн х =- О н 1, 4.5.

Показать, что если операторы А и В линейные„то операторы А + В и АВ такжелинейные. 4.8. Доказать СлеДуЮЩие кОммутационные сойтноГпенни: а) 1А, „'~ В») = ~ (А, В;); б) (А,ВЯ= 1А,В)С вЂ”; ЙА,Й 4.7. Доказать, чтО если Операторы А и В коммутируют, то: а) (А + В)- =- А' + 2АВ + В', (А »»- В) (А — В) == А'- — В2„. б) ((А + В), (А — 'В) = О.

4.8. Оператор А' =- УА„'. Доказать, что если операторы А; комму- тнруют с Оператором В, то с ним коммутирует н Оператор А"'. 4.9. Доказать, что если коммутатор 1А„В1 =- 1, то: а) (А„ВЧ =- 2В; б) (А„ВЧ вЂ” ЗВ', в) ЬР, Вй) = — 2 (АВ + ВА). 4.1О. ПрОВерить слеДуюЩие равенстВа ДЛЯ коммутаторов; а) (х, р„1 =- И, Ь„р,»1 =- О, 1р, р,1 =- О; ф ~ ф «дфоп б) (~(х), р ) — -= Й вЂ”, (~(х) р") =-=2Й вЂ” р., +Й' —, в) (х~, (х, р,',Ц= — 4Юх.

Здесь ~ (х) — пронзвОльная функцня координаты. 4.11. Проверить следующне правила коммутации длЯ ГамильтОниа- на Н В потенциальном поле У (х): 1Л а) (Н, х)== = — р,„; »И б) (Н, Р„1=-Й вЂ”. д»» дф 1» в) 1Н, РД=- 2й — Р,+ Ь' —, дх дх" 4.12. Оператор А коммутирует с операторами В н С. Можно лн от- сюда заключнть„чтО Операторы В и С коммутативны»' 4.13.

Доказать следующие теоремы7 а) если Операторы А н В имеют собственные функции, ТО Гакне опе- ратОры кОммутирукуГ„ 6) если Операторы А и В коммутируют, то они имеют ОбЩие соб- ственные Функции (доказательство прОВестн для случая, коГда Вырож- дение отсутствует). 28 4Л4. Найти Общую собственную функцию Операторов: а) х н ~р,; б) рх, р,, и р„в) р и р'. 4.15. В некотОРОм состОЯННН фл система имеет Определенное Значение механической Величины А. Имеет ли В этОм состоинии Определенное значение также и Велнчина В, если соответствую1цне им Операторы А и В коммутативны? 4.16.

Докаэать„что если Оператор А эрмитов, то е1О собственные значения Вещественны. 4.17. ДОказать эрмитовость следуккцих ОператОРОВ: а) р,.; б) х р;, в) р„', г) Н. Укаэайие: иметь В Вид~„что иа бесконечиос*и ВолнОВЫе функции и их проиэвоцные ~бр~Щ~ЮТС~ Б нуль. 4.18. Найти Оператор, соприженный с Оператором: а) хр„; б) 1р„. 4.19.' Доказать„что если ОператОры А н В эрмитОВы и коммути Р~ ющие, то Оператор А — эрм11тов.

4.20 Доказать, что если оператор А эрмитов, то и Оператор А так- ЖЕ ЭРМИТОБ (П вЂ” ЦЕЛОЕ, ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ). 4.21. Доказать, чтО если Операторы А и В эрмитОБы, тО и Операторы А + В и АВ + ВА также эрмитовы. 4.22. ДокаЗать, что если Операторы А и В эрмитовы и некоммУтиРующие, то ОператОР: а) 1А, В1 неэрмитов; б) 1~А, В) — эрмитов. 4.23. Нанти собственные эначении и нормированные С~б~~~е~~~е функции Операторов: а) 1.,; б) Е,',, 4.24. Найти собственное аначение Опер~тора 1"., соответствующее еГО собстВеннОЙ функции У' (6, ч) = А (сорб+ 2 $1ПФ сова. 4.25. Докаэать, что оператор ~., эрмитов.

Докаэательство провести а) в полирнь1х н б) Б Декартовых К~~рдината~. 4.26. Докаэать эрмитовость О~ератора Е', имеи Б Виду, что Опер~- ТОРЫ Ед.„ Еу И 1'., ЭРМИТОВЫ. 4.27* Проверить следукмцие правила коммутации. а) 1х, Е„-1 = О; б) 1у„~„1 = — Иг; в) 1г, Е.„) = йу. 4.28. ДокаЗать следующие правила коммутации: а) Е„, р„) = О; б) Е„рр) = Вр.; в) 1Г,, р,) == — 1йр,.

4.29* С пОмОЩью правил коммутаЦНН, прнвеДенных В преДыДУЩей задаче, пОказать, чтО: а) Е,„, р'1 =-- О; б) У.„, рЧ =- О; в) 11,,', рЧ =- О. 4.41. Вычислить средние значения ((Лф~> и ((ЬГ.,)'> и их произведение для системы, находящейся В состоянии ф (ф) = А з(п ф. 4.42. И~~а~ать, что в состоянии ф„~де Оператор ~., имеет Опреде- ленное собственное значение, средние значения (Е, „~~ и Г. ~ ~ рав- ны нулю. Укпзпнпе; вос~~льзо~аться коммутационными соотноц~еиня- ми из заДачн 4.31.

4.43. Вычислить средне~ значение Квадрата Момен~а импульса В состоянии ф (д, ч') = А Яп 6 соз ф. 4.44. Возмо~кные значения проекции Момента импульса на про- извольнуюось равны~НА, ~де~п =- 1, 1 — 1, ..., — 1. Имея ввиду, что зти проекции равновероятни и Оси равноправии, пОказать: В состОя- нии с Определенным значением 1 среднее значение квадрата мОмента им- пульса (ГЛ = ЖЧ (1-'-, 1), 4.55. Д~~~~~т~, что собс~~ен~~е функции ф, и ф,, зрмитова Опера- тора А, принадлежащие различным собствеинь$м значениям А, н А~ дис кретнО ГО спектра „Ортотон альны 4.46. Непосредственным вычислением ~, бедиться В Ортосональностн сОбстВенных функции: а) Оператора Н для ча~тицы В ОдномерноЙ прямоутольной потен- циальноЙ яме с абсолютно непроницаемыми Стеннами; б) оператора Е., 4.47.

Система находится В состоянии, Описы~аемом нормированиоЙ волновой функцией ф (х), которую можно разложить по собственным функцнЯм зрмитОВа ОператОра А„т. е. ф (х) =-' ~~~,~~~ (х). Считая функции фц ИОрмирОВанными на единицу: а) пОлучнть Выра)кение, Определяющее кОзффнпиенты сх', 6) показать, что среднее значение механической Величины А )— 2 = БА„~с„~ „~де А„— собстве~н~е значения Оператора А. Каков фн- ЗИЧЕСКИИ СМЫСЛ ~ЕЬ~ ~ 4.48. Б одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно иепроннцаемыми стенками (О -"- 'х <.

"1) нахОДитсЯ частиЦа В сОстОЯнии ф (х). Определить Вероятность ее пребьпиния; а) В Основном состоянии, если ф (х) — - А з1п' (пх::(); б) на и-м уровне, если ф (х) = Ах (1 — х). Вычислить значения ве- роятности для первых трех уровней. 4.49. Определить Возмо~кные собственные значения Оператора Г., н их Вероятно~ти для системм, иаходящеЙся в состоянии. а) $й):: Аз1п'Ч; б)ФФ= — 4(1+сов М'. 4,50. Имея в виду, что собственные функции Оператора Волиовйто числа Й (я — р: Ь) есть ф„(х) == (2н)-'~- е"", найти распределение Вер~ятностей различных значениЙ Волновосо числа Й: а) для частицы на и-и урОВне В ОднОмернОЙ прямо~чольной потен- циальнОЙ Яме шнринОЙ 1 с абсолютно непроницаемыми стенками; б) для осциллятора в состоянии $ (х) — — А ехр ( — а'"л.'-').

31 4.51. Выяснить, яаляется ли ВОлнОВая функция, предстааляющая ". СОбОИ суперпОзнцию стациОнарных СОСТО~ний, Ч' (х, 1) =- Х ф~ (х) е "~::, Ре~нением ВреМеннОГО и стацнОИЗРИОГО ураанений ШрединГерз. 4.52. Частица нахОдится В ОднОмериОЙ прямОуГОльиОЙ пОтенциаль- ', ИОЙ яме и~нринОЙ 1 с збсОлютнО непрО~~Цае~~~и стенками. НЗЙ~~ ВОЛ- > ИОВую функцию частнць$ В мОмент Времени 1, если В начзльныи мОмент Она имела Вид: Ч' (х, О) = Ах (1 — х). 4.53. ПЛОС~им РОТЗТОРОм нззыаают Систе~у нз Даух «кесткО сая-:-', заиннх частиц, Вращающуюся В плОскОсти ВОкруГ сВОеГО центра инер- ';':, ции.

ОперзтОР энерГНН тзкОГО РОТЗТОРЗ имеет Вид: Н =-= (Й'- 27)д'-/дф-, '; Где 7 — мОмент инерции системы. ПОлаГЗЯ, чтО В начальный мОмент:: ВОлн~а~я функция РОТВТОРЗ имела ВНД Ф (ф, О) =- А сОз' ф, ИЗЙ~Н ЭТУ фУИКЦИЮ В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ 1. 4.54. Вычислиа с Н~МОЩ~Ю ВреМеннОГО ураанения Е1реДНИГера прО- изВОдную НО Вре~ени От СреДнеГО значения неКОТОРОЙ механическОЙ Ф изОбражаемОН ОперзтОРО.~ АФ и ~каззтьФ А4 дл, ( д, 'дЛ ' 3 а) — -:-- — + — (НА — АН); б) — (А~ —-- ~Й д1 а ~Й; ~Й 4.55.