25 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Задача ! Найти сумму ряда 6 ~ ' ' и' — 4и-ьЗ Произведем эквивалентные преобразования ряда: 7 Так как и -4п~З = (и-3)(п-1)„то получаем, что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде: 6 6 """ 'п — 4п+3 " '(и — 1)(и — 3) (и — 1 и — 3 1 1 ~ -., 1 1 1 1 ) Хв=5 2 п — 3 и — 1) "=' 2 и — 3 и — 1 1 1 . 1 1 — — — ) =з(~ "' и — 3 п — 1 "'п — 3 "'п — 1 1 Рассмотрим ряд ~ ""и — 3 !!ронзведсм замену (п-3 --' !с), тогда суммирование будет 1 1 производиться от !с = и-3 = (п=5,'= 5 -3 =.2, н — — = — .

и — 3 !с 1 11одлавнм полученные значения в ряд э - Х;, —;=Х,.— ".п — 3 !1роизведс>а аналогичные преобргсзован>тя и с рялогя ! . Тогда для пега> заысна (и-1=(с>>; "'л — ! начальное к =-и-1 -,' и--5 ) =5-!=4, а .. ! ! я — ! 1 Подставим данные в ~~> п=> Итак, мы получили. что исходный ряд равен разности двух рядов: — 'Г', У' б з. 1 з. 1 =3(~" ',— — У' — ) = "='и' — 5п+4 ~ "-'1~ ~-'"'"к 1 1 1,.

1 5 5 = 3(( — + — + ~~> --) — ,'! — ) = 3 — =-— 2 3 "'=41с "1с 6 2 б> 5 Ответ: ~~> "=' п — 4п+ 3 2 !плача 2 Исследовать ряд на сходимостгы агсгц'п '-" п(п+ 1) агс!я~п Обозначим а„= п(п+!) 1ак как для всех п верно неравенство ( — )-' га агс!я'и > О, 2 то для всех п также верно следующее утверждение: 1 я 1 к ап ~. — — — — < —.— п(п+1) 4 п' 4 %.~ 1 к Докажем сходимость ряда 7 —, — . 1огла из его "=' и' 4 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда. так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрицательньг).

1 Обозначим Ь„= — „.! 1о признаку сравнения (говорящему, 1 что ряд вида ~ ' сходится только нри условии. что а строго больще 1, т.е. и>! и расходится в противном случае. ! т' нрп а<1);: ряд~ ~— — сходится, так как выполняется 2..ч„ условие' сходимости: 2>! . агс!ц п Цочтому и исходный ряд~ ' — — тоже сходится. " ' пСп -ь !) Ответ: ряд ~ ' — "-, сходится.

агс!ц и ~.'='' с.-!) Задача 3 Исследовать рял на сходимость Х- 1 . 2п Б!и — — -— „, ~(п 2п ~1 1 . 2л Обозначим а„= — з(п ~п 2п+1 2л 2л Прн п — э ~ яп( ) = . Из мого получаем, что 2п+1 2п+1 сходнмость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда: 1 2л — — <— " ',Я 2п+1 п~п 1 Докажем сходнмость ряда л ~ - — . Тогда из его "" пз/и сходнмостн будет следовать сходнмость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху н нулем снизу (все члены ряда неотрицательпы). Обозначим . Ь„=- По признаку сравнения (говорящему, что 1 ряд вида.' '~ --сходится только при условии, что а п.-~ а строго больше 1. т.с. а>1 и расходится в противном случае, 1 прн а<1), ряд л у — — -- сходится, так как выполняется пъп урловие сходимости: 1,5>1.

1 . 2л ! !озтому н исходный ряд э =-з!и — тоже сходится. „, ~п 2п+1 ! . 2л Отве к ряд ~~> — а(п — — сходится. „,, ~п 2п~-1 Задача 4 Исследовать ряд на сходнмость: 147 (Зп — 2) 7 9 ! 1--. (2п+ 5) Обозначим а„=— 1 4.7 "(Зп-2) 7.9.11 "(2п+5) Используем признак Даламбера: 1 4 7 "(Зп+1) 1 .~а„, 1 . 7 9 11 "(2п+7) ~ (Зп+1) 3 1пп~ --" — ' ~ = 1пп — — = — — = — > 1 :~ а„) -- 1.4 7 (Зп — 2) (2п+7) 2 7 9 11 "(2п+5) Так как по признаку Даламбера ряд сходится, если для всех а„., достаточно больтпих и выполнено неравенство — ': — ' < г1 <1 ан и расходится, когда — ""- > 1, то исходный ряд расходится.

а„ 1, 4.7 ..(Зп — 2) Ответ: ~~, — " — - — - — расходится. „, 7" 9 11". (2п + 5) Задана 5 Воспользуемся признаком Коши: Если 1пп *'-'а„с 1, то ряд г->: ' Если 1пп "Й„>1, то ряд 2п ~" ;.г,— 1;.(- — -«.(-- — 1 =О ,4п+3~ - (2 2(4п+3)) Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся. Отвст: 1~~ — — ~ сходится. „,~4п+3, П 1— ~т~,4П . 3.'' ~ а,, - сходится.

я=1 ~~~ а„ - расходится. Задача 6 1:!сследовать ряд на сходимость: 1 ~(п 3+1)1п'(и/2) Воспользуемся предельным признаком сходимости. Если два ряда ~~> а„и ~» Ь» удовлетворяют ус;ювикк »! 1пп- — '= 1., где Л. конечное число, не равное О, го ряды ~ а„и ~» Ь, сходятся нли расходятся одновременно. л» Рассмотрим следующий ряд: ! ; х- —,— — =.~х Ь„ , , 1п '2)1п (п 2) а,, 3 1пп — "- = — — ъто конечное число, не равное О !»,, 2 Значит„. ряды ~~» а„и ~Ь„сходятся или расходятся одновремсшю. Д Й,исследования сходимости второго ряда воспользуемся интегральным признаком сходнмости рядов.

1'с аи иекОто1зая функпия Г(х) удоалез В01>яет услоаин) Дл) = о„, то если ) Цх)йх сходится, то и ряд ~ Ь„ сходится, а если ~Г(х)йх расходится, то и ряд ~~» Ь„ расходится. рассмотрим следующую функпию: 1 г(х) =- — — —,— (х12)1п'(х/2) Если )Г(х)йх сходится, то и ряд ,'» Ь, сходится, если 4 д -"4 интеграл расходится, то и ряд ~~) Ь„расходится. г(х г4 1п(х! 2) 1 ~ 2 , (х Р 2) 1п '(х ~ 2), 1п" (х ~ 2) 1п(х ~' 2)',„! и 2 Интеграл сходится.

значит и ряд,'~ Ь„сходится. Из 0=4 сходцмости этого ряда следует сходнмость исходного. 1 ' С)таст: ~> — — —;- — сходится. „..(.'З.1)1 -"( 2) Исследовать ряд на сходимость< ~~» (-1)" а)п— 2" Воспользуемся признаком Лейбница: если ряд ~» ( — 1)' а,» удовлетворяет условиям: »»=» 1) а, — монотонно убывающая, начиная с некоторого и = Х 2) 1ппа„= О, то ряд ~ (-1)" а„сходится. Р о! к Рассмотрим а = яп —, »» ' 2»» и Й Так как О « — —, то последовательность 2" 2 убывает.

к а„= з1п —- 2п л 1ппяп- — = 0 Р Ответ: ряд ~» 1 — 1)' к1п — - сходится. Л.- к Таким образом, ряд " 1 — 1)' а)п — сходится по признаку П-~ 2" Лейоница. Вычис пить сумму ряда с точносгью се ~ (-1) ' — -- —, о: = 0,001 (и+ !)" Обозначим п-ный член ряда, как а„: зь а„= ( — 1)" (п +1)" Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывактг. Тогда нам требуется найти сумму ряда до Х-го члена, где й) таково, что для любых п>Х выполняется неравенство ~а„~ й. Найдем М: !а, =1> о.

~а, ~ = 0.4444 > а :а,~ = 0125 > а ~а „,' = 0,0256 > а ,а„: '= 0.00412 > и ,,'а,, ~ ж 0,00054 с и =-> Х = 6 , Наймы сумму ряда до 6-го члена: '") а,, =--0,659 2" Отвез: ~ ( — 1)" — —. -- = — !),659+ 0,001 (п 1)' 1е,га,га г) Найти область сходимости ряда: й=: ~ х Г' + ! х ~, '" Обозначим а„= — ' '--, а искомую область сходимости ряда - Х. Пусть ! ! х !> 1) — Х, тогда получим, что нри и — > х: .'й пР— — ч!х!" +у,!х! "! Ряд ~~) ,'' х ~ ' сходится, в то время как ряд ~ !х !"— расходится. следовательно, ряд расходится на данном множестве !,'х!> 1). Пусть (! х ',< Ц ~ Х.

тогда сделаем замену переменных; 1 х = —, иногда ' г !и.11, ~) . Подставим ! вместо х в ряд: г 1,, ! !' 1-.—:У 1„-1" + 1! г !)" !х! -:Ру л ':=' з . !!' "+,,г!" Ряд ~ — ' ' ' — в точности равен ряду, о рассмотренному при,' х !> 1, соответственно. он тоже расходится. Так как мы проверили все возможные х на принадлежность обласзи сходимос ги. то. в итоге, Х = !) . Ответ: область сходимости Х = ',,' пустое множество. 11 Забавил !О Найти область сходимости ряда: П 28 ! У вЂ” — (к+4) '" ~" '(и+3)! Приведем зтот ряд к степенному, т.е. к виду: ~~» а,,х~, где а, пе зависит от х и является постоянной величиной. !)оложим а„,„=б,а,,„, =- тогда исходный ряд !й+3)! можно переписать в виде: — !х+4) "' =~~~ а„~х+4)' пм ! + 3)1 х=з Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, осиоваипуго иа применении признака Коши: Ц.

3).' К = )пп — =- )пп ь ~! '( = сс а +««!, ~ р-ге ~1'. а! ! аким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть слсйуюгдим образом: Отвег; область сходимости Х =,'х ~ ! — со;ос)) Задача 11 Найти область сходимости ряда: Приведем этот ряд к степенному, т,е. к виду; ~~! а„х", где а„пе зависит от х и является постоянной величиной. 2' Положим а„= — „тогда исходный ряд можно переписать )г." в Виде: У-, 2" ! „2 ° 1 "='и' (х' — 4х+5) " ' (х' — 4х ~-5) Теперь нам требуется найти !пп ~!1а„! = 1.: и-~ .

1пп':л, .а„1= 1пп'-'1!-:-и! =!пп — =— Ъ! "'".1,и " 1„1„- 1ип Д и) И -> Воспользуемся слсдуюгпим равенством: 1пп",а)г+Ь =1, где а и Ь постоянные числа, а>0. 1огда: '7 1аким образом, но теореме Коши-Лдамара, область 1, 1 ! сходимости Х =- О, — -- — ~< - = — ) . х' — 4х>5 1 2 Решим неравенство, чтобы в явном виде записать область сходи мости: 1 1 ~~ х' — 4х+5~>2, — — )< — — > х — 4х+5 2 ~х -4х~5~0; Решим уравнение х — 4х+5 =0: 13=1б — 5 4= — 4<0 Так как дискримииант меньше нуля, то: х' — 4х+5 >О,'Фх н В.. х ' — 4х + 5 > 2 => х ' — 4х + 3 > О .=> 1х -1)(х — 3) > 0 ~ =э х е ( — х,1) ~13.+со).

Ответ: область сходимости Х = 1-.а,1) ~г (3,+зс) . Найти область сходимости рядсс 1 -= — х" " 'п(п+1) Произведем тох~дественньм преобразования ряда: 1 „,, -.! 1 ,— — х"' =х ~,( — — — — )х" = " 'п(п+1) "=' и и+1 1 „1, 1 = х ' [ ~! — х" — — ~~ — х'" ) = "-' и х ""' и+1 1 „1 1 = х'.1~~ — х" — — ~~> -х')= "=' и х "=' и 1 1 !х +(1 — — )~ — х" !. м ""и Рассмотрим ироизвопнук1 Л'(х); '(х) =() ',— ")'=) ".х"' = — "- "=-' п ' "=' 1- х (Сумма убываиипей геометрической нрогрсссии) Ряд будет сходиться при !х~<1. х х+1 — 1 А(х) = ( — дх = ~ — — йх = 1 — х 1 — х 1 = (-1дх+ 1 — — дх =-х — 1п(1-х)+ С "1 — х Чтобы найти константу С найдем значение ряда в некоторой фиксированной точкс х, возьмем х = О, тогда: Л(х) = О.= С ю 1 Таким образом.

сумма ряда ~~),--х", равная А(х), есть 11= п — х — 1п(1 — х), при условии !х!<1 и нс существует при всех остальных х. Получаем Х,, 1 — — — -х" ' = х .(х~-(1 — --)( — х — 1п(1 — х))! " ' п(п -г1) х Ответ; 1,, „. 1 — — х''' =- х (х-г(1 — — )( — х — !п(1- х))!при х!<1. ""п(п ~1) х Задача 13 Найти сумму ряла: ~~> ' (и+3)(х')" Радяожим этот ряд на сумму двух более простых рядов: ,(и+3)(х')" = ~~>,,п(х')" ~3 У „(х")' Произведем замену переменных у = х .

Найдем А(у) = ~, пу" . Заметим, что А(у) есть производная от функции В(у) = ~! у", умноженная на у: В'(у) = ~~~ пу" ~ А(у) = ч В'(у) Сумма ряда В(у) есть сумма убывакнцей гсометрической прогрессии и поэтому равна В(у) = — —, при условии. что 1-у 1У1<1. Тогда производная от В(х) такова: у(1 — у) у(1 у) 1 у+у В'(у) = (1 — у) (! — у) (! — у)" 1 у Тогда А(у) = у В'(у) = у. —.- = — — —. при 1У1<1 и ие у) (! у) существует прц ', у,'>1: ,(и+3)(х )" =) „пу" +3~~) у' =-- У, +.3 у+-3(1'- у) 3 — 2У 3 — 2х ' П-у) (1 — у) (1 — х )' >( 3 — 2х" ; „' х <! , Ответ: ~ ' (и ч-3)хя' = ~ (1" х"')' ~~,; х!>1 Задача 14 Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х; агс(я х х Чтобы решить эту задачу, следует воспользоваться табличными разложениями в степенные ряды.