Теория (Для подготовки к экзамену РЛ1 2018)

Теоретические вопросы1. Вывести волновое уравнение как частный случай системы уравнений Максвелла.2.Описать частные решения волнового уравнения в виде плоских и сферических волн.Показать, что комплексная амплитуда монохроматической полны удовлетворяетуравнению Гельмгольца.3.Дать определение прямого и обратного преобразования Фурье. Показать, как прямоепреобразование Фурье выражается через обратное.

Сформулировать и доказать свойствапреобразования Фурье о связи операций свёртки и умножения.4.Сформулировать и доказать свойства преобразования Фурье о связи операцийдифференцирования и умножения на аргумент. Сформулировать и доказать свойствапреобразования Фурье о связи гладкости и скорости убывания на бесконечности.5.Решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности с помощьюпреобразования Фурье.6.Дать определение пространства Шварца. Сформулировать свойства функций изпространства Шварца, привести примеры.

Сформулировать свойство преобразованияФурье как отображения пространства Шварца. Определить преобразование Фурьеобобщённых функций. Проверить корректность определения для функций из L1(R).Привести примеры обобщённых функций и их преобразований Фурье.7.Дать определения скалярного произведения и гильбертова пространства.

Рассмотреть вкачестве примеров гильбертовых пространств пространства L2[a, b] и (L2[a, b], p); указатьскалярное произведение и норму в этих пространствах.8.Дать определения ортогональной системы и ортогонального базиса. Привести примерыортогональных базисов в L2[a, b]. Дать определения коэффициентов Фурье и ряда Фурьефункции по ортогональной системе.9.Дать определения линейного оператора и его области определения в гильбертовомпространстве; сопряжённого и самосопряжённого оператора. Рассмотреть операторШтурма- Лиувилля, доказать его самосопряжённость.10.Перечислить свойства собственных значений и собственных функций оператораШтурма - Лиувилля. Сформулировать теорему Стеклова.

Доказать ортогональность свесом р собственных функций, отвечающих различным собственным числам.11.Дать определение неотрицательной (положительной) определённости линейногооператора в гильбертовом пространстве. Рассмотреть оператор Штурма Лиувилля,доказать, что он неотрицательно определён.12.Дать определения собственных чисел (значений) и собственных векторов (функций)линейного оператора. Сформулировать задачу Штурма Лиувилля. Доказатьнеотрицательность собственных чисел оператора Штурма Лиувилля.13.Написать уравнение Бесселя, получить в качестве его частных решений функцииБесселя.14.Показать ортогональность функций Бесселя с помощью свойств собственных функцийзадачи Штурма Лиувилля.

Сформулировать теорему Стеклова для функций Бесселя.15. Дать определение цилиндрических функций Бесселя, Неймана, Ханкеля. Написатьуравнение Бесселя с дополнительным параметром, найти его общее решение.16. Написать уравнение типа Бесселя с двойным коэффициентом перед первойпроизводной. Цвести его к уравнению Бесселя, и получить общее решение. Поставитьзадачу Штурма Лиувилля с краевыми условиями Дирихле для этой, уравнения исформулировать теорему Стеклова для соответствующих собственных функций.17. Вывести формулу квадрата нормы функций Бесселя для граничных условий Дирихле иНеймана.18.Написать уравнение Лежандра, определить полиномы Лежандра.

Показатьортогональность полиномов Лежандра с помощью свойств собственных функций задачиШтурма -Лиувилля.19.Написать уравнение Лежандра, определить функции Лежандра. Показатьортогональность функций Лежандра с помощью свойств собственных функций задачиШтурма-Лиувилля.20. Написать присоединённое уравнение Лежандра, определить присоединённые«полиномы» и функции Лежандра. Поставить задачу Штурма Лиувилля дляприсоединённого уравнения Лежандра, с сё помощью показать ортогональностьприсоединённых «полиномов» и функций Лежандра.21.Показать ход решения краевых задач для уравнения Лапласа в цилиндрическихобластях.22.Показать ход решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в сферическихобластях.23.Дать определение пространства основных функций D(R). Привести примеры иперечислить свойства основных функций.

Дать определения пространства обобщённыхфункций D'(R), регулярных и сингулярных обобщённых функций, привестисоответствующие примеры.24.Определить следующие операции над обобщёнными функциями: линейнаякомбинация, умножение на гладкую функцию. Определить операцию свёртки надобобщёнными функциями. Проиллюстрировать на примерах.25.Дать определение (слабой) сходимости в пространстве обобщённых функций D'(R).Привести пример какой-либо последовательности обобщённых функций, слабосходящейся к дельта-функции Дирака.26.Определить операцию дифференцирования обобщённых функций.

Проверитькорректность определения (т.е. совпадение обобщённой и классической производных,если обе существуют). Дать определение дельта-функции Дирака. Показать связь междудельта- функцией Дирака и единичной функцией Хевисайда. Найти производные дельтафункции Дирака.27.Дать определения оригинала, изображения, преобразования Лапласа. Перечислитьосновные свойства преобразования Лапласа. Написать формулу преобразования Лапласаобобщённых функций, найти изображение дельта-функции и её производных.28.Дать определение фундаментального решения линейного дифференциальногооператора.

Сформулировать и доказать теорему Дюамеля о связи фундаментальногорешения линейного дифференциального оператора L с решением уравнения Lu = f.Написать уравнение Лапласа и его фундаментальное решение в пространстве, наплоскости.29.Дать определение гармонической функции. Сформулировать и доказать свойствоинтеграла от нормальной производной по замкнутой поверхности.30.Дать определение гармонической функции.

Сформулировать и доказать теорему осреднем значении гармонической функции.31.Дать определение гармонической функции. Сформулировать и доказать принципмаксимума.32.Сформулировать внутреннюю краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа вобласти ῼ. Сформулировать и доказать теорему о единственности решения такой задачи.33.Сформулировать внутреннюю краевую задачу Неймана для уравнения Лапласа вобласти ῼ. Перечислить свойства решения такой задачи.

Доказать необходимое условиеразрешимости такой задачи.34.Написать интегральное представление функции, гармонической в некоторой области,выражающее значения функции через функцию Грина и краевые условия. Описатьсвойства функции Грина для задачи Дирихле.35.Написать интегральное представление функции, гармонической в некоторой области,выражающее значения функции через функцию Грина и краевые условия.

Описатьсвойства функции Грина для задачи Неймана.36.Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в верхней полуплоскости методомфункции Грина.Вопрос №1Вопрос №2Вопрос №3Вопрос №4Вопрос №5Вопрос №6Вопрос №7Вопрос №8Вопрос №9Вопрос №10Вопрос №11Вопрос №12Вопрос №13Вопрос №14Вопрос №15Вопрос №16Вопрос №17Вопрос №18Вопрос №19Вопрос №20Вопрос №21Вопрос №22Вопрос №23Вопрос №24Вопрос №25Вопрос №26Вопрос №27Вопрос №28Вопрос №29Вопрос №30Вопрос №31Вопрос №32Вопрос №33Вопрос №34 35Вопрос №36.