Ответы задачи и доп вопросы (Для подготовки к экзамену РЛ1 2018)

УМФ. Задачи идополнительные вопросы1. ЗадачиВ первом комплекте есть два вида задач:1.Решение задачи Коши методом введения начальных условий в мгновеннодействующие источники;2. Решение задачи Коши при помощи формулы Дюамеля.Во втором комплекте есть 5 видов заданий:1. Найти фундаментальное решение оператора;2. Проверить, является ли функция гармоническою, определить область, накоторой функция является гармоническою;3.

Вычислить обобщённую производную функции по её графику;4. Доказать равенство двух обобщённых функций;5. Найти преобразование Фурье ломанной (по её графику).В третьем Комплекте три вида задач1. Решение уравнения Лапласа в круге;2. Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике;3. Решение уравнения Лапласа в кольце (всего два листочка).Наиболее вероятные дополнительные вопросы:1. Гармонические функции и их свойства;2. ЗШЛ (определение), свойства собственных функций и значенийоператора Штурма-Лиувилля;3.

Свойства оператора Штурма-Лиувилля;4. Определение δ-функции Дирака, математическое и физическое;5. Простенькая задачка на равенство обобщённых функций;6. Формула и Теорема Дюамеля;7. Уравнения Бесселя (обыкновенное, с дополнительным параметром),функции Бесселя (в виде ряда);8. Волновое уравнение;9. Уравнение Гельмгольца;10. Какому уравнению удовлетворяет амплитуда монохроматической волны;11. Функции и Полиномы Лежандра.Пример решения задач из первого комплекта1.Решение задачи Коши методом введения начальных условий в мгновеннодействующие источники:′′′ − 2′′ + ′ = 1, (0) = 2, ′ (0) = 4, ′′ (0) = 2, = (), ≥ 0Рассмотрим решение задачи Коши в обобщённом смысле: продолжив всефункции, входящие в уравнение, нулём в отрицательной области = ()()′об = ′кл + 2()′′об = ′′кл + 2′ () + 4()′′′об = ′′′кл + 2′′ () + 4′ () + 2()′′′ об − 2′′ об + ′ об = ′′′ кл + 2′′ () + 4′ () + 2() −−2( ′′ кл + 2 ′ () + 4()) + ′ кл + 2() = ⏟ ′′′ кл − 2 ′′ кл + ′ кл −=()−4() + 2 ′′ () = () − 4() + 2 ′′ ().′′′ об − 2′′ об + ′ об = () − 4() + 2′′ ().ℒ=32−2+32Найдём Фундаментальное решение : ℒ = ′′′ − 2′′ + ′ = () ≒ ()′ () ≒ ()′′() ≒ 2 ()() ≒ 1() =311АБВ== ++22− 2 + ( − 1) − 1 ( − 1)2СТР.

1А( − 1)2 + Б( − 1) + В = 1 = 0, = 1| = 1, = 1 = 2, 1 + 2Б + 2 = 1, Б = −11−1−1+1( − 1)2≒ (1 − + )() = ()Применяем формулу Дюамеля() = () ∗ (()− 4() + 2 ′′ ()) = ⏟∗ () − 4⏟ ∗ () +⏟=2=1=+ ⏟∗ 2′′()=3+∞1 = ∫ (1 − + ) ()( − )−∞ < 0 ⟹ 1 = 0 > 0 ⟹ 1 = ∫ 1 − + = ( − + ⅇ − 0)−| =0= − 2 + + 21 = ( − 2 + + 2)()2 = , тк ∗ = 3 = ′′ , тк ∗ () = ∗ ()′ ′ () = ((1 − + )()) = − + + + (⏟1 − + )() = =0 ′′ = ( + )() + ⏟ ()=0СТР.

2Складывая I1, I2, I3 имеем () = ( + 4 − − 2)()2. Решение задачи Коши при помощи формулы Дюамеля{ ′′ − ′ = 22 + (0) = ′ (0) = 0′′об − ′ об = 2()2 + ′′ − ′ = ()() ≒ ()′ () ≒ ()′′() ≒ 2 ()() ≒ 1() =2() = ∗111=− ≒ ( − 1)() = − −1 2 2(()=−1)()∗() =2 + 2 + +∞= ∫ ( − − 1)( − )−∞ 2() = 2 + <0⟹=0 > 0 ⟹ = ∫(0− 2 2− 1)( − )()=∫−∫2 + 2 + 2 + 00Подводя под знак дифференциала имеем() = (( + 2)(ln( + 2) − − 1))()СТР.

3Пример решения задач из второго комплекта1.Найти фундаментальное решения оператораℒ=2+2 −3(ℒ, ) = (, ), − фундаментальное решение оператора ′′ + 2′ − 3 = Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:() ≒ () ′ () ≒ p()′′() ≒ 2 ()() ≒ 12 () + 2() − () = 1() =2111111== (−) ≓ ( − −3 )()+ 2 + 3 ( − 1)( + 3) 4 − 1 + 341() = ( − −3 )() − Фундаментальное решение оператора ℒ42.

Проверить, является ли функция гармоническою, определить область, накоторой функция является гармоническою;(, , ) = 2 + 2 = 2 + 2Находим область определения:(): > 0Находим производные второго порядка= 2,= 2,2=0 22=2 2СТР. 4 2=,Δ =22=− 222 2 22+ 2+ 2 =− 2 +22Находим область, где оператор Лапласа равен нулю:Щ: −2+2=02Щ: = ±√ − параболический цилиндрПриравниваем к уравнение к нулю и определяем область, где функциягармоническая как пересечение области определения с областью, где Δuравно нулю.Щ ∩ (): = √это часть параболического цилиндра, лежащая в верхнем полупространстве3.

Вычислить обобщённую производную функции по её графику;() = (1 − ) + ( − 2)( − 1)( − 2)(1 − ) = 1 − 2(1 − ) ’() = ⏟(1 − ) + ( − 1) − ⏟(1 − ) + ⏟=1=(−1) см 〈1〉=−(−1) см 〈2〉〈1〉((1 − ), ) = ((1 − ), ) = 1 ∗ (1) = ((1 − ), )|〈2〉(( − 2)(1 − ), ) = ((1 − ), ( − 2)) = −(1) = (−(1 − ), )Ответ: ’() = 1 − 2(1 − )4. Доказать равенство двух обобщённых функций;Доказать, что ((1 − )() = ()((1 − )(), ) = ((), (1 − )) = (1 − 0)(0) = (0) = ((), ) ⟹⟹ ((1 − )() = ()СТР. 5Доказать, что ( () = ()( (), ) = ((), ) = 0 (0) = (0) = ((), ) ⟹⟹ ( () = ()5.

Найти преобразование Фурье ломанной (по её графику).В этом задании требуется представить исходную ломанную как суммутреугольных и прямоугольных импульсов, затем провести ихпреобразование Фурье.̂ = 1 ()̂( )Теорема смещения: ()()̂̂ ()Теорема запаздывания (+ )() = ()С учётом этих теорем имеем:СТР. 6̂−Λ ( ) () = − 2 ( 2 ),̂− ( ) () = − ( 2 )СТР. 7СТР. 8СТР. 9СТР.

10Пример решения задач из третьего комплектаСТР. 111.Лаплас в КольцеСТР. 12СТР. 13СТР. 14СТР. 15СТР. 16СТР. 17СТР. 18СТР. 19СТР. 20СТР. 21СТР. 22СТР. 23СТР. 242. Лаплас в прямоугольникеСТР. 25СТР. 26СТР. 27СТР. 28СТР. 29СТР. 30СТР. 31СТР. 32СТР. 33СТР. 343. Лаплас в КругеСТР. 35СТР. 36СТР. 37СТР. 38СТР. 39СТР. 40СТР. 41СТР.

42СТР. 43Ответы на дополнительные вопросы1.Гармонические функции и их свойства;Опр: Функция ∈ 2 (Ω) называется гармоническою в Ω, если Δ = 0.Свойства Гармонических функций:•∬ΣПоток через границу области равен 0. = 0•Теорема о среднем для гармонических функций:Среднее значение гармонической функции на сфере Σ0 = {: (, 0 ) = }равно значению функции в центре этой сферы, т.е.(0 )1∯ 4 2Σ 0 •Принцип максимумаГармонические функции достигают своего экстремума лишь на границе области 2. ЗШЛ (определение), свойства собственных функций и значений оператораШтурма-Лиувилля;Задача Штурма-Лиувилля заключается в нахождении всех нетривиальныхрешений уравнения ℒ = ; ∈ ℝ, удовлетворяющих граничным условиям:− ′ () + 1 () = 0,{ 1 ′−2 () + 2 () = 0;При ≡ 1, ∀ ∈ (, ) ℒ = поиск собственных функций и собственныхзначений оператора Штурма − Лиувилля;При ≡ 1, ∀ ∈ (, ) при помощи замены () =()()Уравнение ℒ = преходит в ℒ̃ = , где ℒ̃ − оператор Ш − Л с другими граничными условиями.Таким образом ЗШЛ – задача поиска собственных функций и значений оператораШ-ЛСвойства собственных функций и собственных значений оператора Ш-Л:••Каждому собственному значению соответствует с точностью домножителя лишь одна собственная функцияВсе собственные значения неотрицательныСТР.

44•Собственные функции, отвечающие различным собственным значениямортогональны с весом ()Все собственные функции образуют ортогональный базис { }∞=1 в2 [,2 [, ( ], ()), т.е. любая функция ∈ ( ], ())раскладывается в ряд•∞∑ , где =1•(, , )2‖, ‖Справедлива Теорема Стеклова∀ ∈ 2 [, ] разлагается в абсолютно и равномерно схрдящийся рядФурье по системе собсвенных функций { }∞=1 оператора Ш − Л3. Свойства оператора Штурма-Лиувилля;1.

Оператор Ш-Л самосопряжённый2. Оператор Ш-Л неотрицательно определён4. Определение δ-функции Дирака, математическое и физическое;((), ()) = (0)∞, = 0() = {0, ≠ 05. Простенькая задачка на равенство обобщённых функций;6. Формула и Теорема Дюамеля;Теорема Дюамеля: Решение уравнения ℒ = единственно в ′(ℝ) ипредставляется в виде = ∗ – формула Дюамеля, −Фундаментальное решение оператора, − входной сигнал7. Уравнения Бесселя (обыкновенное, с дополнительным параметром),функции Бесселя (в виде ряда);12)= 0 – уравнение Бесселя12)= 0 – уравнение Бесселя ′′ + ′ + (1 − ′′ + ′ + ( −Функция Бесселя (Цилиндрическая второго рода) порядка :∞ () = ∑=0(−1) 2+( )Γ( + 1)Γ( + + 1) 2Функция Бесселя отрицательного порядка:∞− () = ∑=0(−1) 2−( )Γ( + 1)Γ( − + 1) 2Функция Неймана (Цилиндрическая второго рода).

Для нецелых СТР. 45 = () cos() − − ()sin()Для целых берётся предел ⟶ по правилу Лопиталя8. Волновое уравнение;2− 2 Δ = (, )9. Уравнение Гельмгольца;Δ + 2 = ()10. Какому уравнению удовлетворяет комплексная амплитудамонохроматической волны;Уравнению Гельмгольца11. Функции и Полиномы Лежандра.Вроде не будет.СТР. 46.