Лабораторные работы по численным методам (Задания к лабораторным работам по численным методам)

Лабораторная работа №1Метод Гаусса решения СЛАУ. Оценка числа обусловленности матрицы.Цель работы: изучение метода Гаусса численного решения квадратной СЛАУ сневырожденной матрицей; оценка числа обусловленности матрицы и исследование еговлияния на погрешность приближенного решения.Содержание работы1. Реализовать метод Гаусса решения СЛАУ (с выбором главного элемента постолбцу).2. Провести решение двух заданных систем линейных алгебраических уравненийметодом Гаусса, вычислить нормы невязок полученных приближенных решений, ихабсолютные и относительные погрешности (при расчетах пользоваться1-нормой и inf-нормой).3.

Для каждой из систем оценить порядок числа обусловленности ее матрицы и сделатьвывод о его влиянии на точность полученного приближенного решения иотвечающую ему невязку.Лабораторная работа №2Метод прогонки решения трехдиагональной СЛАУ.Цель работы: изучение метода прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.Содержание работы1. Реализовать метод прогонки; проверить выполнение достаточных условийприменимости метода.2. Провести решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонкиивычислитьнормуегоневязки(прирасчетахпользоваться1-нормой и inf-нормой).3.

Экспериментально исследовать устойчивость найденного решения к малымвозмущениям исходных данных, для чего изменить несколько коэффициентов вправой части на ±0.01, найти решение возмущенной системы и сравнить его срешением невозмущенной системы.Лабораторная работа №3Итерационные методы решения СЛАУ.Цель работы: изучение методов Якоби и Зейделя решения СЛАУ с невырожденнойматрицей; сравнение точности и скорости их работы.Содержание работы1. Реализовать методы Якоби и Зейделя (в программе предусмотреть проверкудостаточного условия сходимости).2.

Провести решение заданных систем линейных алгебраических уравнений методамиГаусса, Якоби и Зейделя. Результаты представить в виде таблицы:МетодПриближенноерешениеОтносительнаяпогрешностьЯкобиЗейделяГауссаПри расчетах пользоваться 1-нормой и inf-нормой.Числоитераций──ВремяработыЛабораторная работа №4Итерационные методы решения нелинейного уравнения f  x   0 .Цель работы: изучение методов решения нелинейного уравнения f  x   0 ; сравнениеточности и скорости их работы.Содержание работы4. Реализовать методы Ньютона, секущих, половинного деления в виде программ.5. Отладить алгоритмы на тестовых примерах, решив уравнения (для всех вариантов):x 0.11) 2 1  0, x 0,1 ;2)  x  0.2   0 , x   0 ,1 .6. Результаты представить в виде таблицы:3МетодПриближенноерешениеАбсолютнаяпогрешностьЧислоитерацийВремяработыНьютонаНьютона(упрощенный)секущихполовинногоделенияПримечание.

При реализации метода Ньютона производную следует вычислять поприближенной формуле (центральная разностная производная):f   xk  f  xk  h   f  xk  h ,2hесли точки xk  h не выходят за пределы отрезка локализации ( h выбирается23достаточно малой константой, например, h  10 или h  10 ).Для граничных точек, производную следует вычислять по следующим формулам:а) f   xk  f  xk   f  xk  h для левой границы;hб) f   xk  f  xk  h   f  xk для правой границы.hЛабораторная работа №5Интерполяция кубическими сплайнами.Цель работы: изучение метода интерполяции кубическими сплайнами.Содержание работы7.

Реализовать алгоритм построения системы кубических сплайнов в виде программы.8. Отладить алгоритмы на тестовых примерах, построив интерполянты наравномерной сетке для различного числа узлов для следующих функций:3) f ( x )  x, x   1, 2 ;f ( x )  2 x , x   0 , 4 ;15) f ( x ) , x   2, 2 .1  25x2 4)9. В программе предусмотреть возможность вывода на печать коэффициентов сплайна.Расчеты провести для случаев n=5, n=10, n=50.10. Построить графики функции f ( x ) и интерполирующих функций в одних осяхразными цветами.Лабораторная работа №6Численное интегрирование.Цель работы: изучение методов численного интегрирования и сравнение различныхквадратурных формул интерполяционного характера.Содержание работы1.

Реализовать процедуры вычисления определенного интегралов с использованиемследующих квадратурных формул: центральных прямоугольников, трапеций,Симпсона. В программе предусмотреть задание точности вычисленияопределенного интеграла.2. Отладить алгоритмы на тестовых примерах, вычислив интегралы по отрезку  0 ,1от функций f  x   x , k 0,1,3 .3. Вычислить значение определенного интеграла (См. задание к ЛР№5). Результатыпредставить в виде таблицы:kКвадратурнаяформулацентральныхпрямоугольниковтрапецийСимпсонаПриближенноезначение интегралаШагинтегрированияЧисло разбиенийотрезкаинтегрированияВремя работы.