2-297-1399883975-16 (Второй замечательный)
Описание файла
PDF-файл из архива "Второй замечательный", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.e lim (1 x)1 / x .x 0(1 x)1 / x при x 0 имеет пределом единицу (так как 1+ x приx 0 имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень 1 / xвозводится 1+ x , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки x предел не равен1/ xединице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции (1 x) при малых xНа первый взгляд кажется, чтоприведем таблицу значений этой функции:x(1 x)1 / x1/22.251/32.37…1/42.44…0.012.7047…0.0012.7169…Из этой таблицы видно, что с уменьшением x функция увеличивается.
Оказывается, что этоимеет место для всех x >0, а из этого следует, что функция имеет предел.Доказательство:Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:По определению Гейне: nk Nlim nk = k lim (1 n 1 nK) =enkВычислим11lim (1 x)1 / x . Рассмотрим lim (1 x)1 / x = y = lim (1 ) y .x 0x 0yyxПо определению Гейне рассмотримnk N : nkk y k nk 1 lim nk k nk1 1 1 1 y k nk 1 eТо естьТакжеy k : lim y k .yK1 1 nknK 11 1 nkenk 1 * 1 nke11lim (1 ) y = e = x = lim (1 x)1 / x .y y x 0yy y1 y 1111lim (1 x)1 / x = y = lim (1 ) y = lim () = lim (1 ) (1 )ex 0y y 1y y 1y 1yx y e1.