2-292-1399882347-11 (Критерий Коши сходимости)
Описание файла
PDF-файл из архива "Критерий Коши сходимости", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когдаона фундаментальна.Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условиенеобходимости и достаточности (<=>).1) Необходимость: (=>). lim a n a . Возьмем произвольный 0. Тогда N 0 : n N 0 a n a .n222 m N 0 a m a .
Обозначим N N 0 , тогда m, n N ( )222Пустьan am an a a am an a am a an фундаментальна.22 .2) Достаточность: (<=).1.an фундаментальна => an ограниченнаяВозьмем 0 N ( ) : m, n N ( ) an am . 1 , m N (1) 1 N (1) , тогда n N (1) a N (1)1 1 an a N (1)1 1 .ОбозначимS max a1 , a2 ,..., a N (1)1 . S min a1 , a2 ,..., a N (1) , a N (1)11 .n s S a n ограничена.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.an ограниченная => am - сходящаяся. Обозначим3.
Докажем, чтоa lim a nn a lim a nn Возьмем произвольный 0 . a n фундаментальная => N 0 : n, m N 0 22 an am .2 lim a nK a K : k K a nk a 222k Обозначим N N 0 и выберем K :21) k>K nk N 0 N 2Тогда n N .2)a n a a n a nk a nk a a n a nk ank a 22 .
То есть a lim a nn .