рк1 (РК1 (Рл1 2018))

Ур. мат. физ. и преобразование Фурье3-й сем., РЛ1, РЛ2, 2012 г.МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К РК№1лектор: Киндеркнехт Я.А.I. Теоретические вопросы1. Вывести волновое уравнение как частный случай системы уравнений Максвелла.2. Дать определение монохроматической волны. Показать, что комплексная амплитуда монохроматической волны есть решение уравнения Гельмгольца.3.

Найти общее решение одномерного волнового уравнения. Дать геометрическую интерпретацию общего решения.4. Найти все центрально симметрические решения трёхмерного волнового уравнения. Дать определение расходящейся монохроматической сферической волны.5. Найти частные решения волнового уравнения в виде плоских волн. Дать определение монохроматической плоской волны.6. Сформулировать внутренние краевые задачи (Дирихле, Неймана, смешанную) для уравненияГельмгольца в области Ω.7. Дать определение свёртки функций, сформулировать и доказать её свойства.8. Дать определения преобразования Фурье функции из пространства L1 (R), обратного преобразования Фурье. Сформулировать теорему обращения.

Показать, как прямое преобразование Фурьевыражается через обратное.9. Сформулировать и доказать свойства преобразования Фурье о связи операций дифференцирования и умножения на аргумент.10. Сформулировать и доказать свойства преобразования Фурье о связи гладкости и скоростиубывания на бесконечности.11. Дать определение пространства Шварца. Сформулировать свойства функций из пространства Шварца.

Привести примеры функций из пространства Шварца. Сформулировать свойствопреобразования Фурье как отображения пространства Шварца.12. Сформулировать и доказать свойства преобразования Фурье о связи операций свёртки и умножения.13. Решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье.14. Дать определения скалярного произведения и гильбертова пространства. Рассмотреть в качестве примеров гильбертовых пространств пространства L2 [a, b] и L2 ([a, b], ρ); указать скалярноепроизведение и норму в этих пространствах.15. Дать определения ортогональной системы и ортогонального базиса.

Привести примеры ортогональных базисов в L2 [a, b]. Дать определения коэффициентов Фурье и ряда Фурье функции поортогональной системе.16. Дать определения линейного оператора и его области определения в гильбертовом пространстве; сопряжённого и самосопряжённого оператора. Рассмотреть оператор Штурма — Лиувилля,доказать его самосопряжённость.17.

Дать определение неотрицательной (положительной) определённости линейного оператора вгильбертовом пространстве. Рассмотреть оператор Штурма–Лиувилля, доказать, что он неотрицательно определён.18. Дать определения собственных чисел (значений) и собственных векторов (функций) линейного оператора.

Сформулировать задачу Штурма–Лиувилля. Доказать неотрицательность собственных чисел оператора Штурма–Лиувилля.19. Перечислить свойства собственных значений и собственных функций оператора ШтурмаЛиувилля. Сформулировать теорему Стеклова. Доказать ортогональность с весом ρ собственныхфункций, отвечающих различным собственным числам.II.

Задачи для подготовки к аттестации1. Найти преобразование Фурье функции, графиком которой является ломаная, соединяющаяточки A(0, 1), B(1, −1), C(2, 0), D(3, −1), E(4, 1), F (5, 2), G(7, 2), H(8, 1).2. Вычислить свёртку функций g(t) = η(t − 1) − η(t − 3) и f (t), где функция f задана графиком:3.

Найти собственные числа и собственные функции задачи Штурма —Лиувиллядля оператораL : L[u] = −4du πd2 u+ 2u на отрезке [0, π/2] с краевыми условиями u(0) = 0,2dxdx 2= 0 и весом ρ(x) ≡ 3.4. Функцию ax + b разложить в ряд Фурье по полученным собственным функциям задачиШтурма — Лиувилля (c тем же весом)..