Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И.Д. Графики элементарных функций и их преобразования (2004), страница 5

33.Рис 33. График функции у = х + sin xПример 28. Построить график функции у = х — 1/х.Решение. Функция нечетная, поэтому ограничимся случаемх > 0. Вспомогательными функциями являются у = хиу = —1/х.Ординаты исходного графика получаются алгебраическим сложе­нием ординат графиков вспомогательных функций. Так как орди­наты графика у = —1/х отрицательны, то они откладываются внизот графика у = х. Прямая у = х является асимптотой для иско­мого графика, причем правая ветвь графика приближается к этойасимптоте снизу. Кроме того,если х -> 0 справа, то у = х — 1/х —> —оо;36Рис.

34. График функции у = х — 1/хесли х —)- 0 слева, то у = х — 1/х -> -f со;если х = 1, то у = х — 1/х = 1 — 1 = 0.График искомой функции приведен на рис. 34.Пример 29. Построить график функции у = | sin я?| Ч- lbgj/2 x\.Решение. Вспомогательная функция у = | к ^ / 2 х\ существу­ет лишь при х > 0. Учитывая, что первая вспомогательная функ­ция у = sin х определена на R, областью определения исследуемойфункции является бесконечный интервал (0, +оо). Так как модулине могут принимать отрицательных значений, то график исследуе­мой функции будет расположен в первом квадранте.При сложении графиков вспомогательных функций необходимоиметь в виду следующее:точка исследуемого графика с абсциссой х = 1 лежит на сину­соиде, так как l o g ^ 1 = 0;точки исследуемого графика с абсциссами х = пк, к е Z лежатна графике вспомогательной функции у = llog^ я|» так как в этихточках синус обращается в ноль;в точках с абсциссами х = -тг/2 + пк точки графика искомойфункции совпадают с графиком функции у = 1 + llog^zl37Рис.

35. График функции у = | sin х\ + |logi/2 x\.График искомой функции приведен на рис. 35.5.2. Произведение и частное графиковОбластью определения исследуемой функции у = f(x)g(x)является пересечение областей определения вспомогательных функ­ций у = f{x) и у = д(х). Для построения графика функцииу = f(x)g(x) надо построить на одном чертеже графики вспомога­тельных функций и перемножить значения ординат, соответствую­щих одному и тому же значению аргумента. При этом необходимоучитывать, что там, где каждая из вспомогательных функций обра­щается в нуль, график их произведения пересекает ось абсцисс.Построение графика функции у =fix) сводится к построениюХ9К )графиков вспомогательных функций у = /(ж), у = 1/д{х) и после­дующему их перемножению.Для построения графика у = 1/д(х) следует на одном чертежепостроить график функции у = д{х) и, деля единицу на числен­ные значения ординат у = д(х), с учетом знака по точкам постро­ить график данной функции.

Необходимо использовать следующиеправила.1. Областью определения исследуемой функции у = 1/д{х)является область определения функции у = д(х) за исключениемтех значений аргумента, где последняя обращается в нуль.382. Через точки, где функция у = д(х) обращается в нуль, прохо­дят вертикальные асимптоты - прямые, к которым неограниченноприближаются ветви исследуемого графика. Поэтому в окрестно­стях таких точек 1/д(х) стремится к ±оо в зависимости от знака3. Там, где функция у = д(х) возрастает (убывает), функцияу = 1/д(х) убывает (возрастает).4. Там, где функция у = д(х) стремится к ±оо, исследуемаяфункция у = 1/д(х) стремится к нулю.Пример 30.

Построить график функции у = -{/ж cos ж.Решение. Исследуемая функция является нечетной, так какпредставляет собой произведение нечетной и четной вспомогатель­ных функций соответственно у = \[х и у = cos x. Выполняем по­строение для х > 0. Исследуемый график получаем перемножени­ем соответствующих ординат графиков вспомогательных функций,причем следует иметь в виду, что график пересекает ось ОХ в техже точках, что и график у = cos х, т. е. при х = 7г/2 + 7rfc, к е Z.График искомой функции приведен на рис.

36.Рис. 36. График функции у = у/х cos xПример 31. Построить график функции у = —=xz — 4х -Ь оРешение. Вначале строим график вспомогательной функциид(х) = х2 — 4х + 6. Этот квадратный трехчлен не имеет действи­тельных корней и принимает положительные значения. Деля еди­ницу на значения ординат этого графика, получаем график иссле­дуемой функции. Замечаем, что там, где вспомогательная функция394-у = х2 - Ах + 6Рис. 37. График функции у = —тх* — 4а: 4- оимеет минимум и возрастает, исследуемая функции имеет макси­мум и убывает.

Там, где вспомогательная функция стремится к бес­конечности, исследуемая функция стремится к нулю. График иско­мой функции приведен на рис. 37.Пример 32. Построить график функции у = —^—-.хг — 2х — 3Решение.В отличие от примера 31, вспомогательная функцияд(х) = х2 — 2х — 3 имеет вещественные корни х\ = — 1, Х2 = 3.Поэтому график исследуемой функции в этих точках имеет верти­кальные асимптоты х = —1, х = 3, причемпри х —> 3 + 0д(х) —> +0при х -> 3 — 0д(х) -» — 0 ?/ -> —оо;при х —> — 1 + 0при х —> - 1 — 040у -» +оо;#(х) —> — 0 т/ —> —оо;#(х) —>> +0 2/ -> +оо.!<-у = х2 - 2х - 3Рис. 38.

График функции у =-2х-3Там, где д{х) имеет минимум и возрастает, у = 1/д(х) имеетмаксимум и убывает. График искомой функции приведен на рис. 38.6. ЗАДАЧИ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача 1. Найти область определения функции.Задача 2. Исследовать функцию на четность (нечетность).Задача 3. Используя элементарные преобразования, построитьэскизы графиков функций а)—д).Задача 4. Построить эскиз графика рациональной функции, ис­следуя его расположение относительно оси абсцисс и асимптот.Задача 5. Используя правила построения графика суммы, про­изведения, частного или композиции двух функций, построить эс­киз графика функции.Варианты задач приведены в таблице.41СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.

Графики функций. Киев: На­ук. думка, 1974. 319 с.2. Графики функций // A.M. Дороднов, И.Н. Острецов и др. М.: Высш.шк., 1965. 103 с.3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражне­ния по математическому анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 415 с.ОГЛАВЛЕНИЕ1. Элементарные функции1.1.

Степенная функция1.2. Показательная и логарифмические функции1.3. Тригонометрические функции1.4. Обратные тригонометрические функции1.5. Примеры решения типовых задач2. Линейные преобразования графиков3. Графики функций, зависящих от |ах +b|4. Графики рациональных функций5. Алгебраические операции над графиками элементарных функций5.1. Сложение и вычитание графиков5.2. Произведение и частное графиков6. Задачи типового расчетаСписок литературы357910121425323536384155Андрей Теймуразович ИльичевВладимир Владимирович КузнецовИрина Дмитриевна ФаликоваГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙИ ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯscan by myshunyaМетодические указанияРедактор ОМ.

КоролеваКорректор М.А. ВасилевскаяКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 30.03.2004. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26, Уч.-изд. л. 3,05. _Тираж 1500 экз. Изд. № 17. Заказ95Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская, 5..