Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И.Д. Графики элементарных функций и их преобразования (2004), страница 4

е. х < 2, имеем график Г 2 / функцииy = log3/2(a: + 2).25|7.51-10^Рис.23. График функции у = log3/2(|z — 2| + 2х)Искомый график имеет вид Г/ = Tif U Г 2 / (рис. 23).Пример 18. Построить график Г/ функции у = 2cos(|2x —-тг/3| + х).Решение. Раскроем модуль в выражении для искомой функ­ции, рассмотрев две области значений аргумента х.В области 2х — тг/З > 0, т. е. х > тг/6, имеем график Гх/ функ­ции у = 2 cos(3x - тг/З).В области 2х — тг/З < 0, т. е. х < тг/6, имеем график Г 2 / функ­ции у = 2 cos (тг/З - х).Искомый график имеет вид Г^ = I?!/ U Г 2 / (рис.

24).Рис. 24. График функции у = 2 cos(|2x — 7г/3| + х)26Пример 19. Построить график Г/ функции у = |arctg(x — 2) —- 7 Г / 3 | + 7Г/3.Решение. Раскроем модуль в выражении для искомой функ­ции, рассмотрев две области значений аргумента х.Вобластиаг^(я-2)-7г/3 > 0, т. е. х—2 > \/Зилиж >имеем график Гх/ функции у = arctg(x — 2).В области arctg(x - 2) - 7г/3 < 0, т.

е. х < 24- >/3, имеем графикГг/ функции у = —arctg(x — 2) 4- 27г/3.Искомый график имеет вид Г/ = Гх/ U Гг/ (рис. 25).У(7тг•к27Г3. ._1.1 ._..2 + ч/3Рис. 25. График функции у = |arctg(x — 2) — 7г/3| + 7г/3Далее рассматриваются важные частные случаи построенияграфиков функций /(|х|) и у = |/(х)|.Правило 7. Для построения графика Г/ функции у = f(\x\)строится график Tif функции у = f(x) для х > 0 и осуществляетсязеркальное отражение T\f относительно оси ординат, в результатечего получается график Гг/, симметричный Гх/ относительно осиординат.

Искомый график имеет вид Г/ = Ti/ U Г2/.Пример 20. Построить график функции у = arccos |a?|.Решение.Строим график Гх/ функции у = arccos х для х > 0.График Гг/ получаем зеркальным отражением графика Гх/ от­носительно оси ординат.График искомой функции есть объединение Гх/ U Гг/ (рис. 26).27Рис.

26. График функции у — arccos \x\Пример 21. Построить график функции у = ctg(?r/4 — \х\).Решение.Строим график Гх/ функции у = ctg(7r/4 - х) для х > 0.График Гг/ получаем зеркальным отражением графика Гх/ от­носительно оси ординат.График искомой функции есть объединение Гх/ U Гг/ (рис. 27).Рис. 27. График функции у — ctg(7r/4 — |ж|).28Построение графика Г^ функции у = f(\ax + Ъ\) осуществляет­ся при помощи последовательного построения функции графиков(см., например, (5а))у = f(x) ^y= f(\x\) ^y= f(\x + b\)^y= f(\ax + Ь|) (6)в соответствии с правилами 1-6, подробно описанными в разделе 2.Пример 22.

Построить график функции у = 1,4'2ж_31.Решение. В соответствии с (6) построение выполним в такойпоследовательности.Строим график функции у = 1,4х.При помощи правила 7 строим график функции у = 1,4^.Для построения графика функции у = 1,41х-3' осуществляемпараллельный перенос графика у = l,4lxl вправо вдоль оси х натри единицы по правилу 3.График искомой функции получаем из графика функции у =_ ;ц41х~31 уменьшением всех абсцисс последнего в два раза (см.правило 1).График функции у = 1,4'2l_3l изображен на рис.

28.Рис. 28. График функции у = 1,4 | 2 х ~ 3 129Пример 23. Построить график функции у = 7г/8—arctg(l — |х++ ii).Решение.Строим график функции у = 7г/8 - arctg(l — х) = 7г/8 ++ arctg(x — 1).По правилу 7 строим график функции у = 7г/8 — arctg(l — |х|).Для построения графика функции у = тг/8 — arctg(l — |х ++ 1|) осуществляем сдвиг графика у = 7г/8 - arctg(l — |x|) влевовдоль оси х на единицу по правилу 3. Искомый график изображенна рис. 29.2/.~ ^ ^ \Зт18\^__-1Рис. 29. График функции у = 7г/8 — axctg(l — |z + 1|)Правило 8. Для построения графика Tf функции у = |/(х)|строится график Гх/ функции у = /(х) для /(х) > 0.

Строитсяграфик Гг/ функции у = /(х) для /(х) < 0 и осуществляется зер­кальное отражение его относительно оси абсцисс, в результате чегополучается график Гз/, симметричный Гг/ относительно прямойоси абсцисс. Искомый график имеет вид Г/ = Гх/ U Гз/.Пример 24.

Построить график функции у = |х2 - Зх + 2|.Решение.Строим график Гх/ функции у = х2 - Зх + 2 для х2 - Зх + 2 > 0,т. е. для х < 1 U х > 2.Строим график Г2/ функции у = х2 — Зх + 2 для х2 — Зх + 2 < 0,т.е. для х € (1,2).График Гз/ получаем зеркальным отражением графика Г2/ от­носительно оси абсцисс.30Vl\\32Д52*1.510.5-1\-S1l234XРис. 30. График функции у = \х2 — Зх + 2|График искомой функции есть объединение Гх/ U Гз/ (рис. 30).Пример 25. Построить график функции у = | cos(тг/6—х) —1/21.Решение.Строим график Гх/ функции у = cos(7r/6 - х) — 1/2 дляcos(7r/6 - х) > 1/2, т. е.

для х е / n , In = [-тг/6 + 27гп,7г/2 ++ 27гп],гс€ Z.Строим график Гг/ функции у = — cos(7r/6 — ж) + 1/2 дляcos(7r/6-x)-l/2 < 0, т. е. для х £ /п,или7г/2+27гп < х < 117г/6++ 27Г71.График Гз/ получаем зеркальным отражением графика Гг/ от­носительно оси абсцисс.График искомой функции есть объединение Гх/ U Гз/ (рис. 31).Рис. 31. График функции у = | cos(7r/6 — ж) — 1/2|.314. Г Р А Ф И К И Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х Ф У Н К Ц И ЙВ начале настоящего раздела рассмотрим дробно-линейныефункции видаах + ЪУ(7)= ^Т5'где о, 6, с, d- постоянные.

Выражение (7) можно представить сле­дующим образом:У = 2/0 +,X — XQгдеа,а (Ьd\d2/0 = ~, А; = - I, хо = — .сс \асJсПостроение графика функции (7), таким образом, сводится к ра­стяжению — сжатию по оси ординат и сдвигам вдоль оси абсцисси ординат графика функции у = 1/х в последовательностиy =Z>Xy =Z—Г"»2/ = 2/о + ———.X — XQX — XQРассмотрим далее рациональные функции видагде Р(х) и Q(x) - многочлены с действительными коэффициента­ми:Р(х) = апхп + ап-\хп~1mQ(x) = bmxm l+ bm-\x ~+Ь а\х + ao,+ • • • + Ъгх + 60,п, ш € N,а а*, 6j, г = 0, • • • , n, j = 0, • • • , m - вещественные постоянные.Не нарушая общности рассуждений, предположим, что полиномыР(х) и Q(x) не имеют общих действительных корней: если бы су­ществовал такой корень х = хо, то дробь (8) можно бы было со­кратить на х — хо.

Дробно-рациональная функция (8) обращаетсяв нуль в точках, где обращается в нуль многочлен Р(х). При этом32если кратность нуля Р(х) четная, то функция (8) не меняет знака вокрестности этого нуля, а если нечетная, то меняет. Если кратностькорня многочлена Р(х) больше или равна 2, то график касается осиабсцисс в точке хо.

В окрестности точек, где многочлен Q(x) обра­щается в нуль, значения дробно-рациональной функции (8) неогра­ниченно возрастают (убывают) при приближении к этим точкам играфик имеет вертикальные асимптоты.Если степень Р(х) больше или равна степени Q(x) (n > га, та­кая дробь называется неправильной дробью), то при неограничен­ном возрастании |х| функция (8) также неограниченно возрастаетпо абсолютной величине.

Если степень Q{x) превосходит степеньР(х) (га > п, такая дробь называется правильной дробью), то функ­ция (8) неограниченно убывает по абсолютной величине. Если жега = п, то (8) стремится к отношению ап/Ът при |х| —> оо.Если рациональная функция (8) представляет собой неправиль­ную дробь, тоШ= Л{х) +о(х)'где А(х) - многочлен, R/Q - правильная дробь и график А(х) явля­ется асимптотой графика (8) при больших по модулю значениях х:при х —> ±оо график приближается к линии у = А(х). Знак дро­би R(x)/Q(x) определяет расположение графика (8) относительнойасимптоты у = А(х), а именно при R(x) = О график пересекаетасимптоту, если R/Q > 0 (< 0) - график расположен выше (ниже)асимптоты.Для построения графиков рациональных функций вида (8) по­лезно использовать приведенные выше соображения, а также опре­делить интервалы, на которых рассматриваемая функция сохраняетпостоянный знак.Пример 26.

Построить график функциих(х-1)2n E N22 /^(х + 0,5) (х - 2)У = 1—,,=1~х2-^х-0,5(х + 0,5)2(х - 2)'Решение. Искомая функция обращается в нуль в точках х = 0,х = 1, причем в окрестности нуля она меняет знак, а в окрестности33единицы не меняет. В окрестности точек х = — 0,5 и ж = 2 онанеограниченно возрастает по абсолютной величине, причем в точкех = 2 меняет знак, а в точке х = —0,5 не меняет.При |ж| —>• оо искомая функция стремится к единице. Интерва­лы, на которых она положительна или отрицательна, приведены вследующей таблице:X-00У 1+0 +-0,5+оо0+ 0 -10 -2-0—оо2+0+00оо1-0График пересекает горизонтальную асимптоту у = 1 в корнях(9)квадратного трехчлена R(x) = —х2 + 1 1 ж / 4 + 0 , 5 (xi соответствуетзнаку «+» в (9), а Х2 - знаку «-»). При х > х \ график функции лежитниже асимптоты у = 1, а при х < х^ выше.-4~-2 ~~i1р"X'iРис.

32. График функции у ="4~~б" *Хх(х - I)2(х + 0,5) 2 (х-2)Проведенный анализ позволяет установить вид графика иско­мой функции (рис. 32).345. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАДГРАФИКАМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙВ определении 8 элементарных функций было указано, что ониполучаются при помощи конечного числа арифметических опера­ций из основных элементарных функций. Поэтому графики эле­ментарных функций могут быть построены при помощи алгебра­ических операций над соответствующими координатами графиковосновных функций.С этой точки зрения, например, построение графика у = f[x) +4- Ь можно рассматривать как сложение графиков функций у = f(x)и у ~ 6, а построение графика у = mf(x) как умножение графиковфункций у = f(x)ny = т.

Конечно, подобные построения выпол­няются тривиально. Однако имеются классы функций, для которыхприменение алгебраических методов целесообразно, например, ко­гда функция образована из основных элементарных функций раз­ных типов.5.1. Сложение и вычитание графиковПри сложении функций складываются ординаты их графиковпри одних и тех же значениях аргумента.

Поэтому если известныграфики вспомогательных функций f(x) и д(х),х € X, то для по­строения графика их суммы у = f(x) + g(x) нужно сложить отрез­ки (с учетом их знаков), изображающие ординаты точек графиков содинаковыми значениями аргумента.При построении графика у = f(x) — g(x) обычно не прибегаютк вычитанию, а строят вначале график у = -д{х), который склады­вают с графиком у = f(x).

При этих построениях следует иметь ввиду, что область определения искомых графиков функций являетсяпересечением областей определения вспомогательных функций.Пример 27. Построить график функции у = х -f sin x.Решение. Так как исследуемая функция нечетная (она явля­ется суммой двух нечетных вспомогательных функций у = х,у = sin x), график симметричен относительно начала координат иего достаточно построить только для х > 0.35При алгебраическом сложении ординат графиков вспомогатель­ных функций, соответствующих одному и тому же значению аргу­мента, необходимо иметь в виду следующее:так как | sin х| < 1, то исследуемый график будет располагатьсямежду прямыми у = х + 1иу = х — 1;точки исследуемого графика с абсциссами х = /с7г, к Е Z, лежатна прямой у = я;точки исследуемого графика с абсциссами х = 7г/2 4- 2кп (там,где sin х = 1) лежат на прямой у = х + 1;точки исследуемого графика с абсциссами х = — 7г/2+2/с7г (там,где sin х = — 1) лежат на прямой у = х — 1.График искомой функции приведен на рис.