Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И.Д. Графики элементарных функций и их преобразования (2004), страница 3

При этом множествозначений Y\f переходит в множество значений Y^j = [—1/4,1/4]17функции у = 0,25 cos x. Главный период искомой функции оста­ется без изменения. График функции у = 0,25 cosx изображен нарис. 15 (жирная кривая).Рис. 15. Графики функций у = cos х и у = 0,25 cos хПример 10. Построить график функции у = 2arcctg x.Решение.

При построении графика искомой функции исполь­зуем график вспомогательной функции у = arcctgz, которая имеетмножество значений Y\f = (0,7г) (см. таблицу приложения) и урав­нение асимптот у = 0 и у = 7Г. Чтобы получить график функцииу = 2arcctg х, в соответствии с правилом 4 произведем растяже­ние графика вспомогательной функции в 2 раза в направлении осиординат.

При этом множество значений Y\f переходит в множествозначений Уг/ = (0,2-к) функции у = 2arcctg x. Асимптоты графикавспомогательной функции также подвергаются рассматриваемомупреобразованию растяжения и для функции у = 2arcctg x имеютуравнения у = 0 и у = 27г. Главный период искомой функции оста­ется без изменения. График функции у = 2arcctg x изображен нарис. 16 (жирная кривая).у\7Г2тг2^_Рис. 16. Графики функций у = axcctg х и у = 2arcctg x18Правило 5 (отражение относительно оси абсцисс). Графикфункции у = —f(x) получается зеркальным отражением графи­ка функции у = f(x) относительно оси х.Правило 6 (сдвиг вдоль оси ординат). График функции у == f(x) + l получается параллельным переносом вдоль оси у на от­резок длины \1\ вверх, если I > О, и вниз, если / < 0.Пример 11. Построить график функцииу = arccosx + 1,5.Решение.

При построении графикафункции у = arccos x 4-1,5 используем графиквспомогательной функции у = arccos x, кото­рая имеет множество значений Y\f = [0,7г](см. таблицу приложения). Для того чтобы по­лучить график искомой функции, в соответ­ствии с правилом 6 произведем параллельныйперенос графика вспомогательной функции нарасстояние 1,5 вверх по оси ординат.

При этоммножество значений Y\f переходит в множе­ство значений Уг/ = [1,5; 7г + 1,5] функции Рис. 17. Графикиу = arccosx + 1,5. График искомой функции функций у = arccos xиу = arccos ж-hi, 5изображен на рис. 17 (жирная кривая).Пример 12. Построить график функции у = tgx — 1.Решение. При построении графика функции у = ctgx — 1используем график вспомогательной функции у = ctgx, котораяимеет множество значений Y\f = R и главный период Т\ = 7г (см.таблицу приложения).

Для того чтобы получить график искомойфункции, в соответствии с правилом 6 произведем параллельныйперенос графика вспомогательной функции вниз на одну единицупо оси ординат. При этом множество значений Y^f и главный пе­риод Тч функции у = ctg х - 1 остаются без изменения. Графикфункции у = ctg х - 1 изображен на рис. 18 (жирные кривые).19Рис. 18. Графики функций у == ctg х и у = ctg х — 1Последовательно применяя операции, обозначенные в правилах1-6, из графика функции у = f(x) получают график функцииу = kf(ax — Ь) + 1 = kfа(Н))-И,а^О.Построение можно провести в соответствии с правилами 1-6 сле­дующим образом:y = f(ax)\y=у = kf(ax — 6);flalx--jj=f(ax-b)]у = kf(ax — b) + l.Другой способ построения:у = f(x-6), у = f(ax -Ъ),у= kf(ax - Ь),у = kf{ax -b) + l.(5a)Пример 13. Построить график функции у = 3 cosf 2х + § j 4-1.Решение.

При построении графика искомой функции исполь­зуем график вспомогательной функции у = cos x (жирная кривая 1на рис. 19).20Рис. 19. Изображение последовательности построения графика функции2/ = 3cos(2x + f ) + 1Построение проведем в четыре этапа.1. В соответствии с правилом 1 строим график функции у == cos 2х, сжимая график вспомогательной функции в два раза пооси абсцисс (кривая 2 на рис.

19).2. В соответствии с правилом 3 и вторым равенством в (5), осу­ществляя параллельный перенос графика функции у = cos 2х нарасстояние 7г/3 : 2 = 7г/6 влево по оси абсцисс, строим графикфункции у = cos(2x + 7г/3) (кривая 3 на рис. 19).3. В соответствии с правилом 4, увеличивая абсолютные вели­чины ординат графика функции у = cos(2(x -f тг/6)) = cos(2x ++ 7г/3) в три раза, строим график функции у = 3 cos(2x + 7г/3)(кривая 4 на рис. 19).214. В соответствии с правилом 6, осуществляя параллельный пе­ренос графика функции у = 3 cos(2z + 7г/3) на расстояние 1 вверхпо оси ординат, строим искомый график функции у = 3 cos(2x •+4- тг/3) 4- 1 (жирная кривая 5 на рис. 19).В результате проведенных построений множества значений ме­няются следующим образом:У/:[-1,1] -> [-1,1] -> [-3,3] -> [-2,4];а главный период Т 7Г —>• 7Г —> 7Г —» 7Г.Область определения в процессе построения остается неизмен­ной.Пример 14.

Построить график функции у = - \/2х + 3 + 4.Р е ш е н и е . При построении графика искомой функции исполь­зуем график вспомогательной функции у = tfx (жирная кривая 1на рис. 20).Построение проведем в четыре этапа.1. В соответствии с правилом 1 строим график функции у =сжимая график вспомогательной функции в два раза по осиабсцисс (кривая 2 на рис. 20).2. В соответствии с правилом 3 и вторым равенством в (5), осу­ществляя параллельный перенос графика функции у = \р2х на рас­стояние 3 : 2 = 1,5 влево по оси абсцисс, строим график функцииу = ^ 2 ( х + 1,5) = ^2ж + 3 (кривая 3 на рис. 20).3. В соответствии с правилом 4, уменьшая абсолютные вели­чины ординат графика функции у = \/2х + 3 в два раза, строимграфик функции у = - Ц2х + 3 (кривая 4 на рис.

20).4. В соответствии с правилом 6, осуществляя параллельный пе­ренос графика функции у — \ \/2х + 3 на расстояние 4 вверх пооси ординат, строим искомый график функции у = 0 , 5 ^ 2 х 4-3 + 4(жирная кривая 5 на рис. 20).В результате проведенных построений получаем соответствен­но для области определениия XR + U {0} -> R + U [-1,5; 0] -> R + U [-1,5; 0] -> R + U [-1,5; 0];22Рис. 20. Изображение последовательности построения графика функ­ции у = - #2ж + 3 + 4а для множества значений YfR + U {0} -> R + U {0} -> R + U {0} -> R+ \ (0,4).Пример 15. Построить график функции у = -arcsin(2 - х/2) —-тг/2.Решение. При построении графика искомой функции исполь­зуем график вспомогательной функции у = arcsin x (жирная кривая1 на рис.

21).Построение проведем в пять этапов.1. В соответствии с правилом 2, отражая график вспомогатель­ной функции относительно оси ординат, строим график функцииу = arcsin (—х).2. В соответствии с правилом 1, осуществляя удвоение аб­сцисс графика функции у = arcsin(—я), строим график функцииу = arcsin(-x/2) (кривая 2 на рис. 21).3.

В соответствии с правилом 3 и вторым равенством в (5), сдви­гая график функции у = arcsin(-x/2) на 2 : 1/2 = 4 единицы впра­во, строим график функции у = arcsin(—0,5 (х—4)) = arcsin(—x/2++ 2) (кривая 3 на рис. 21).23Рис. 21. Изображение последовательности построения графика функцииу = - arcsin(2 — х/2) — тг/24. В соответствии с правилом 4, увеличивая ординаты точек гра­фика функции у = arcsin(—х/2 4- 2) в полтора раза, строим график3функции у = -arcsin(-x/2 -f 2) (кривая 4 на рис. 21).5. В соответствии с правилом 6, сдвигая график функции у =3= -arcsin(—х/2 + 2) вдоль оси ординат вниз на расстояние 7г/2,3строим искомый график функции у = -arcsin(2 - х/2) — 7г/2 (жирная кривая 5 на рис. 21).В результате проведенных построений получаем соответствен­но для области определения X[-1,1] -> [-2,2] -• [2,6] -• [2,6] -• [2,6];для множества значений У)[-тг/2,7г/2] -> [-7г/2,тг/2] -> [-тг/2,7г/2] ->-> [-Зтг/4,Зтг/4] -> [-5тг/4,тг/4].243. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХОТ \ах + Ь\Построение графиков функций, зависящих от \ах + Ь\ осуще­ствляется при помощи раскрытия модуля и построения графиковискомой функции у = f(x) с областью определения X С R: гра­фик Ti/ - в области х > -Ь/а П X и график Г 2 / - в областих < —Ь/а Г) X.

Искомый график имеет вид Г/ = Г ^ U Г 2 /.Пример 16. Построитьграфик Tf функции у = (х ++ 1)|х-2|.Решение. Раскроем мо­дуль в выражении для искомойфункции, рассмотрев две обла­сти значений аргумента х.В области х > 2 име­ем график T\fфункцииу — х2 - х - 2.В области х < 2 имеем гра­фик Г 2 / функции у = — х2 +Рис. 22. График функции у = (х +0+ Х+ А+1)|*-2|Искомый график имеет видГ / = Г 1 / иГ 2 / (рис.22).Пример 17. Построить график Г/ функции у = log3/2(|x — 2| ++ 2я).Решение. Раскроем модуль в выражений для искомой функ­ции, рассмотрев две области значений аргумента х.В области х — 2 > 0, т. е. х > 2, имеем график Ti/ функцииУ = log3/2(3z - 2).В области х - 2 < 0, т.