Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И.Д. Графики элементарных функций и их преобразования (2004), страница 2

Из (1) и (2) легкоследует (проверьте!), что основные тригонометрические функцииявляются периодическими функциями и главный период Т равен27г радиан (или 360°) у синуса и косинуса и 7г радиан (или 180°) утангенса и котангенса.Областью определения функций у = sin x, у = cos x являет­ся ось вещественных чисел X = R, для функции у = tg x обла­стью определения служит X = К\{7г/2 + 7гп|п € Z},a функцииу = ctgx - X = R \ {7гп | n € Z}.9Множество значений функций у = sin х, у = cos x - отрезокYf = [-1,1], а функций у = tgx, ctgx - вся вещественная ось:Yf = K.У*-Рис. 6. Графики функций у = sinx (а) и у = cos х (б)Рис.7. Графики функций у = tgx (а)иу = ctgx (б)Графики функций у = cos x,y — sin x представлены на рис.

6,а функций у = tg х, у = ctg x - на рис. 7 соответственно.1.4. Обратные тригонометрические функцииЭлементарные тригонометрические функции не являются вза­имно однозначными. Для того чтобы определить обратные им, не­обходимо из области определения X каждой из этих функций выде­лить подмножества Х\ с X, где они являются взаимно однознач­ными, как функции из Х\ в R.10Такими подмножествами определено считать следующие отрез­ки или интервалы:• Х\ = [—7г/2; 7г/2] для функции у = sinx;• Х\ = [0; 7г] для функции у = cos x;• Xi = (—7г/2,7г/2) для функции 2/ = tg x;• Х\ = (0,7г) для функции у = ctg х.На этих отрезках (или интервалах) для перечисленных функ­ций определены обратные им.

Эти функции обозначаются соответ­ственно arcsinx, arccosх, arctgx и arcctgx. Функции arcsinx иarccos х определены на отрезке [—1,1], a arctg x и arcctg x на всейчисловой прямой. Графики этих функций представлены на рис. 8,9.У 7Г2;-i/I/l1хГ—7ГРис. 8. Графики функций у = axcsin х (а) и у = arccos x (б)ГРис. 9. Графики функций у = arctgx (а) и у — arcctga; (б)111.5.

Примеры решения типовых задачПример 1. Найти область определения функцииу = arcsin v х2 •2.Решение. Область определения X рассматриваемой функцииопределяется как область сложной функции у = arcsin w, w = y/zyz = x1 — x — 2, которая является композицией степенной и обрат­ной тригонометрической функции. Область определения функцииw = л/z дается неравенством z > О илих2 - х - 2 > 0.(3)Область определения функции у = arcsin w задается неравен­ством — 1 < w < 1 или\Лс2 - х - 2 < 1.(4)Совместное решение (3) и (4) даетX = [ i ( l - л/13), - l l U k i ( l + У/ЩПример 2. Найти область определения функцииy = log x _ 3 / 2 (-z 2 + 7 x - 1 0 ) .Р е ш е н и е.

Из свойств логарифмической функции следует, чтообласть определения X рассматриваемой функции находится из со­вместного решения неравенств{х - 3/2 > 0;-х2 4- 7х - 10 > 0;х - 3/2 ф 1,которое имеет видхе (3/2,2) U (2, 5).12Пример 3. Исследовать следующие функции на четность:,2l.2/ = / 1 (x)=t g [log 3 ( ; J TT )2.у = /2 (х) = arcsinx 2 (5 x — 5~х).3. У = /з(я) = sin у х 5 — х 2 + х.4. у = / 4 (я) = л / - х 2 + 2х + 15.Решение. Область определения первых трех функций являет­ся симметричной относительно начала координат (покажите это!).1. Имеем(-х)28=Л(я)т)г*М^тт)]'v F^FTh(-x) = tg !обз(- /откуда следует, что функция у = fi (х) является четной.2.

По определению арксинуса (см. разд. 1.4) получим/ 2 ( - х ) = arcsin(-x) 2 (5- x - 5х) = arcsin[-x 2 (5 x - 5"х)]= -arcsinx 2 (5 x - 5 _х ) = - / 2 ( х ) ,откуда следует, что функция у = /г (я) является нечетной.3. Имеем/ з ( - х ) = sin \ / ( - х ) 5 - (-х) 2 + (-х) = sin[- у/хБ + х2 + х] == - sin у х5 + х2 + х Ф ±/з(х),т. е. функция у = /з(я) является функцией общего вида.4. Областью определения функции у = /4(2;) служит отрезокX = [—5,3]. Таким образом, область определения искомой функ­ции несимметрична относительно нуля и искомая функция не удо­влетворяет определению 4.132. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВК линейным преобразованиям относятся параллельный пере­нос, растяжение (сжатие), а также отражение графиков относитель­но координатных осей.Пусть известен график функции у = f(x).

Требуется построитьграфик функции вида у = kf{ax — b)+l, где к, а, Ь, I - произвольныепостоянные из R. Опишем это построение последовательно в виденабора правил 1-6.Правило 1 (растяжение - сжатие в направлении оси абсцисс).Для построения графика функции у = /(ах), a > 0 необходимоабсциссы всех точек графика функции у = /(ж) увеличить по абсо­лютной величине в \/а раз, если а < 1, и уменьшить в а раз, еслиа > 1.

При этом точка, расположенная на оси ординат, остается не­подвижной.Пример 4. Построить график функции у = arccos Ьх.Решение. При построении графика искомой функции исполь­зуем график вспомогательной функции у = arccos х, которая име­ет область определения Х\ = [-1,1] (см. таблицу приложения).В соответствии с правилом 1 гракфик вспомогательной функции сжи­маем вдоль оси абсцисс в пятьраз. При этом область определенияХ\ переходит в область определе­ния Х2 = [—1/5,1/5] функции2У = arccos Ьх.

График искомой^чфункции изображен на рис. 10 (жир\ N.ная кривая).\\Пример 5. Построить график\\х\\функции у = t g - .|—jLРешение. При построенииs" графика искомой функции испольРис. 10. Графики функций зуем график вспомогательной функу = arccos х и у — arccos Ьхции у = tg х, которая имеет область14определения Х\ = R \ {7г/2 + 7гп}, п G N и главный периодTi = 7г (см.

таблицу приложения). Для того, чтобы получить гра­фик искомой функции, в соответствии с правилом 1 график вспо­могательной функции растягиваем вдоль оси абсцисс в два раза.При этом область определения Х\ переходит в область определе­ния X<i = R \ {7г + 2тгп}, а период Т\ = ж - в главный периодхТъ = 2п функции у = tg —. График искомой функции изображенна рис.

11 (жирные кривые).Рис. 11. Графики функций j/ = t g x H y = t g fПравило 2 (отражение относительно оси ординат). Графикфункции у = f{—x) получается отражением графика функцииу = f(x) симметрично относительно оси у.Пример 6. Построить график функции у = log6(—x).Решение. При построении графика функции у = logs(—x)используем график вспомогательной функции у = logs z> котораяимеет область определения Х\ — R + (см. таблицу приложения).Для построения графика искомой функции в соответствии с пра­вилом 2 произведем отражение этой функции относительно осиординат.

При этом область определения Х\ переходит в областьопределения Хч = R - функции у = logs(—x). График функцииу = log5(-x) приведен на рис. 12 (жирная кривая).153 XРис. 12. Графики функций у = log5 х и у = log5(—ас)Правило 3 (сдвиг вдоль оси абсцисс). График функции у == f(x — b) получается параллельным переносом вдоль оси х нарасстояние \Ь\ вправо, если Ь > О, и влево, если 6 < 0.Пример 7. Построить график функции у = arctg(x — 2).Решение. При построении графика функции у = arctg(x — 2)используем график вспомогательной функции у = arctgx, кото­рая имеет область определения Х\ = R (см.

таблицу приложе­ния). Для того чтобы получить график искомой функции, в соот­ветствии с правилом 3 произведем параллельный перенос графикавспомогательной функции вдоль оси абсцисс на две единицы впра­во. Область определения Хч функции у = arctg(z - 2) при этом неизменяется. График искомой функции изображен на рис. 13 (жир­ная кривая).Рис. 13.

Графики функций у = axctgx и у = arctg(z — 2)Пример 8. Построить график функции у = log1/2(x 4- 3).Решение. При построении графика функции у = l o g ^ (х+3)используем график вспомогательной функции у = l o g ^ ж, которая16имеет область определения Х\ = R + (см. таблицу приложения).Для того чтобы получить график искомой функции, в соответствиис правилом 3 произведем параллельный перенос графика вспомога­тельной функции вдоль оси абсцисс на три единицы влево. Областьопределения вспомогательной функции Х\ при этом переходит вобласть определения Х^ — R + U (-3,0] функции у = log^C^ + 3).График искомой функции изображен на рис.

14 (жирная кривая).Рис. 14. Графики функций у = l o g ^ х и у = log 1 / 2 (^ + 3)Правило 4 (растяжение - сжатие в направлении оси ординат).Для построения графика функции у = kf(x), к > 0, необходи­мо ординаты всех точек графика у = f(x) увеличить по абсолют­ной величине в к раз, если к > 1, и уменьшить в 1/к раз, еслик < 1. Точки графика, расположенные на оси абсцисс, остаютсянеподвижными.Пример 9.

Построить график функции у = 0,25 cos x.Решение. При построении графика искомой функции исполь­зуем график вспомогательной функции у = cosx, которая имеетмножество значений Y\f = [—1,1] (см. таблицу приложения). Длятого чтобы получить график функции у = 0,25 cos ж, в соответ­ствии с правилом 4 произведем сжатие графика вспомогательнойфункции в 4 раза в направлении оси ординат.