Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И.Д. Графики элементарных функций и их преобразования (2004)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н.Э. БАУМАНАА.Т. Ильичев, В.В. Кузнецов, И.Д. ФаликоваГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХФУНКЦИЙИ ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМетодические указанияк выполнению типового расчетаПод редакцией С.К. СоболеваМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2004УДК 517.1ББК 22.151.5К19Рецензенты: И.К. Волков, И.О.

ЯновИльичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И. Д.К19Графики элементарных функций и их преобразования: Методическиеуказания к выполнению типового расчета / Под ред. С.К. Соболева. - М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 56 с: ил.ISBN 5-7038-2486-9Даны определения и перечислены важнейшие свойства элементарныхфункций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрическихи обратных тригонометрических. Описаны способы построения графикафункции у = kf(ax —b)+ 1. Изложены правила построения графиков функ­ций с модулем, графиков рациональных функций, а также графиков функ­ций, получающихся в результате алгебраических операций над элементар­ными функциями.

Приведены задачи типового расчета.Для студентов I курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.Ил. 38. Библиогр. 3 назв.ЭДК 517.1ББК 22.151.5ISBN 5-7038-2486-9(с) МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20041. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИОпределение 1. Пусть X и У - два непустых множества. За­кон, по которому каждому элементу х Е X ставится в соответствиеединственный элемент у Е У, называется функцией, заданной намножестве X со значениями в множестве У, или отображениеммножества X в множество У. Такая функция (отображение) обо­значаетсяу = /(ж), х е Xили/ : X -• УМножество X называется областью определения функции /(ж), амножество тех у Е У, каждый из которых поставлен в соответствиехотя бы одному х Е X, - множеством значений функции / и обо­значается У/. Очевидно, что У/ с У.Замечание.

Из определения функции следует, что если f(x\) ФФ /(хг), то х\ ф Х2. Если У/ = У и имеет место обратное след­ствие: из х\ ф Х2 следует f(x\) Ф /(хг), то функция называетсявзаимно однозначной.Определение 2. Если f : X -> Y и Х\ С Х,то функция fx19такая, что для Vx € X\ имеет место равенствоfxi = /»называется сужением функции f на множество Х\.3Далее будем рассматривать числовые функции (У — R) с обла­стью определения, принадлежащей действительной оси (X с R):/:IcR-)R.Определение 3.

Графиком Г/ функции у = f(x) называетсямножество на координатной плоскости R 2 , состоящее из всех точеквида (я,/(х)),ж G X С R.Определение 4. Пусть область определения X с R симметрич­на относительно нуля. Функция у = f(x) называется:• четной, если для любого х € X f{x) = f(-x);• нечетной, если для любого х € X f(x) = —f(—x);• общего вида, если она не является ни четной, ни нечетной.Определение 5. Функция у = f{x), X С R называется перио­дической, если существует вещественное Т, называемое периодом,такое, что для любого х е X выполняются условияx±fexf{x±f) = f(x).Наименьшее Т из всех положительных периодов Т называется глав­ным периодом.Определение 6.

Пусть / : X -> Y, g : Y0 -> Z, Yf С У0 С Y,тогда функция h : X -> Z называется композицией функций / и gи обозначается h = g о / , если h(x) = g(f(x)) для любого х е X.Определение 7. Две взаимно однозначные функции / : X —У Yи g : У —>* X называются взаимно обратными и обозначаются£ = / - 1 , если g(f(x)) = х, f(g(y)) = у для любых ж б Х . у е У / .Замечание. Если Х,У с R, то графики взаимно обратныхфункций симметричны относительно биссектрисы первого и тре­тьего координатных углов.Определение 8. Элементарными функциями называются:• постоянная у = const;• степенная функция у = ха, a G R;• показательная функция у = ах, а > 0;• логарифмическая функция у = logGx, а > 0, а ^ 1;• тригонометрические функции у — since, у = cos ж, у = tgx,y = ctgx;4• обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у == arccosx, у = arctgx, у = arcctgx;• функция, которая является результатом применения любого ко­нечного числа арифметических операций и композиций к перечи­сленным функциям.Далее рассмотрим основные элементарные функции.

Для удоб­ства их свойства сведены в таблицу (см. приложение).1.1. Степенная функцияПри рассмотрении степенной функции у = /(х) = х а , / : X == R, R \ {0} или R + U 0 —> Y = R ограничимся рациональнымиа.Рассмотрим сначала а = п, п € N. Для любого п областьюопределения является X = R. При п = 2fc, к е N множествозначений Yf = R + U 0. При n = 2 H l , f c € N множество значенийYf = R. На рис. 1 изображены графики степенной функции длячетного и нечетного п > 0 соответственно.УхРис.

1. Графики функций у — хп для п четного (а) и нечетного (б)При а = -п X = ~R\0,Yf = R + , если п = 2/г, к G N, а такжеYf = R \ 0, если п = 2к + 1. Степенная функция в этих случаяхявляется неограниченно возрастающей при х -»• 0 (рис. 2).5Рис. 2. Графики функций у = х(а) и у _= х_ - ( 2 f c + l )(б), к е NПри а = 1/п (2/ = ^/ж) X = Yf = R+ U 0, если n = 2fc,feeN,а также X = Yf = R, если n = 2fc + 1, к € N. В этих случаяхстепенная функция является обратной к функции у = х п , и поэто­му ее графики Г п^ получаются из Гхп отражением относительнобиссектрис первого и третьего координатных углов (рис. 3).Рис.

3. Графики функций у = tfx для п = 2к (а) и п — 2к -f 1 (б), fceNПри а = p/q x > О, р, q £ N и p/q > 1 график Г/ степеннойфункции касается оси х в начале координат. Если же 0 < p/q < 1,то, очевидно, что график ГхР/д касается оси у в начале координат,так как функция xpfq является обратной к xq/p, т. е. ее график сим­метричен относительно биссектриссы первого и третьего коорди­натного углов графику Г х ,/ Р с q/p > 1.Если p/q < 0, то при х —> 0 у —> оо иу —> 0 при х —> оо.При х € R~ U 0, функция у = xpfq определена не для всех р иq. Если же X = R, то функция может быть как четной (У/ = R"1"),так и нечетной.В качестве примера на рис.

4 приведены графики функции xp/qдляр/g = 2/3 и p/q = - 3 / 5 соответственно.\v1.5Nw-3-2l4 х-1абРис.4. Графики функций у = х 2 / 3 (а) и у = ж ~ 3 / 6 (б)1.2. Показательная и логарифмические функцииФункция у = ах, a G R + , а ф 1, называется показательнойфункцией. Для показательной функции X — R, У/ = R + .Если а > 1, то показательная функция возрастает при возраста­нии аргумента и, следовательно, при х > 0 имеет место неравен­ство ах > а0 = 1, а при х < 0 неравенство ах < а0 = 1. Прих —> —ооах —> 0, а при х —>• оо показательная функция неограни­ченно возрастает.Если а < 1, то показательная функция убывает при возрастанииаргумента и, следовательно, при х > 0 имеет место неравенствоах < а0 — 1, а при х < 0 неравенство ах > а0 = 1. При х —^ -оо7Рис. 5.

Графики функций у = ах и у = log a x, a < 1 (а) и у = а*, у = log a x,а > 1(5)показательная функция неограниченно возрастает, а при х —> ооах -» 0 (рис. 5, а).Если а Е (0, +оо), а т^ 1, то показатель степени, в которую надовозвести а, чтобы получить число х, называется логарифмом числах по основанию а и обозначается logax, т. е.alog«* = х.Если х € (0, +оо), то функция у = logax, a > 0, а ^ 1 назы­вается логарифмической функцией. Для логарифмической функцииX = R+, Yf = R.Функции у = ах и у = logax взаимно обратны, так как i/ = alogaVи logaax = х. Поэтому график функции у = logax симметриченграфику функции у = ах относительно биссектрисе первого и тре­тьего координатных углов (рис. 5).Если а > 1, то логарифм logax положителен при х > 1 и от­рицателен при 0 < х < 1, а если 0 < а < 1, то положителен приО < х < 1 и отрицателен при х > 1.

Если а > 1, то логарифми­ческая функция неограниченно возрастает при х —> оо и неограни­ченно убывает при х —> 0. Если же 0 < а < 1, то логарифмическая8функция неограниченно убывает при х —> оо и неограниченно воз­растает при х -> 0 (рис.

5, б). Для любого а > О logQl = 0.1.3. Тригонометрические функцииСинус sin ip, косинус cos <£>, тангенс tg (р и котангенс ctg кр дляугла 0 < (р < 7г/2 определяются соответственно как отношениеприлежащего и противолежащего катетов к гипотенузе, противоле­жащего катета к прилежащему и прилежащего катета к противоле­жащему в прямоугольном треугольнике.Если tp - произвольный угол, (р е R, а г - единичный вектор скоординатами х, у, образующий угол ip с осью х декартовой систе­мы координат, то синус и косинус этого угла определяются какsinip = х,cos(/? = y.(1)Из (1) следует, чтоsin(<p ± 7г) = — sin <p, cos(ip ± 7г) = — cos (р.Тангенс и котангенс произвольного угла tp определяются поформуламSin О?tg<p=7Г,cos(p^ ^ -+ 7ГП52ctg^ = - r - ^ , <^^тггг; п = 0,±1,±2,--- .(2)sm<^Функции t/ = sin x, у = cos x, у = tg x, у = ctg x называют­ся основными тригонометрическими функциями.