Лекции Глотова А.Н.

11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ.В различные исторические периоды развития человечества дляподсчетов и вычислений использовались различные способы представлениячисел.Совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел,спомощью которых можно установить взаимно однозначное соответствиемежду любым числом и его представлением в виде конечного числасимволов называют СИСТЕМОЙ СЧИСЛЕНИЯ.Существуют различные системы счисления. Примеры:Счет предметов с помощью палочек:│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ = 12 = XIIДВЕНАДЦАТЕРИЧНАЯ система: английская система мер:1 фут = 12 дюймов1 шиллинг = 12 пенсовШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ система: Вавилон1 час = 60 минут; 1' = 60"1°= 60' ;1' = 60"ДЕСЯТИЧНАЯ система - возникла в Индии, перенесена в Европу арабами,получила название арабской.Возьмем для примера десятичное число 12 и посмотрим,какимобразом оно получается в десятичной системе счисления:"Две - на - дцать"12 = 1 * 101+ 2 * 100= 12где положение чисел 1 и 2 определяется степенью числа 10.Аналогично: 342 = 3 * 102 + 4 * 101 + 2 * 100 = 300 + 40 + 2Истинное значение каждой цифры определяется ее местом в числе, т.е.степенью числа 10 - основанием системы счисления.Система счисления, в которой значение цифры в числе определяется ее местоположением (позицией), называется ПОЗИЦИОННОЙ.2В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ основанием является число 2.

В этомслучае для записи чисел используют всего две цифры: 0 и 1. Возьмем,например, число 12 и разложим его по степеням 2.Получим: 12 = 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 0 * 20Число 12 в двоичной системе запишется как: 11002 = 121042 │ 2├───42 │ 21 │ 2── ├───020 │ 10 │ 2│── ├───│110 │ 5 │ 2││── - ├───││04 │ 2 │ 2│││ ── - ├───│││12 │ 1││││ ──│││││0│VVVVVV010101 ┐┌──────────────────────────┘└> 101010 = 42Дробная часть представляетсяПереводчисладвоичнуюиздесятичнойпроизводитсявметодомпоследовательного делениячислана 2 до тех пор, пока частное отделения не станет равным 1.Числовдвоичнойсистемезаписывается в виде остатков отделения,начинаяспоследнегочастного, справа налево:суммой отрицательных степеней числа2.

Например, 0.25 = 2-2.0.8125 = 0.5+0.25+0.0625 = 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 1*2-4 = 0.1101Прирезультатпереводедробейполучаетсявдвоичныйприблизительный,кодвбольшинствепоэтомунеобходимослучаевзадаватьточность преобразования с нужным количеством знаков после запятой.При написании программ на языках низкого уровня или в кодах МП ипри обработке данных широко используются еще две системы счисления.ВОСЬМИРИЧНАЯ система в качестве основания использует число 8 и,соответственно, 8 цифр от 0 до 7. Перевод из десятичной системы ввосьмиричную осуществляется по тому-жеправилу, что и в случае сдвоичной системой. Перевести число из двоичной в восьмеричную системуеще проще.

Надо число, представленное в двоичном виде, сгруппироватьсправа налево по три цифры и каждую группу отдельно перевести поправилупереводаиздвоичнойсистемывпреобразование - в обратном порядке. Например:число 45310= 111.000.1012= 7058десятичную.Обратное3ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ система в качестве основания использует число16 и, соответственно, цифры от 0 до 9 и первые 6алфавита A,B,C,D,E,F.

При переводе числа из двоичнойсистемы в шестнадцатиричную надо число,виде,букв латинскогопредставленноевдвоичномсгруппировать справа налево по четыре цифры и каждую группуотдельноперевестипоправилупереводаиздвоичнойсистемывдесятичную. Например:число 45310= 1.1100.01012ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ= 1C516система= 1C5h = 0x1C5применяетсявтехслучаях,когдарезультат необходимо представить в удобном для восприятия человекомвиде (на цифровом индикаторе, ЦПУ и др.). При этом каждая цифрадесятичногорезультатотдельнопредставляетсядополняетсяполучаетсячисланужнымпривпереводитсячетырехколичествомзаписиполученныхвдвоичныйразрядахнулей.идвоичныхчисел.причемнеобходимостиОкончательныйпорядке, какой был в десятичном числе.

Например:453число 45310 = 0100.0101.00112-10прикод,результатподряд,втом42. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.СЛОЖЕНИЕ чисел,представленных в двоичном коде, выполняетсяпоразрядно, начиная с младшего разряда. В результате сложения двухпервых кодов слагаемыхX0,Y0получаетсяпервый разряд суммы S 0 икод переноса P0 в следующий разряд. В следующих разрядах код Si будетопределяться с учетом75+ ──12припереносаиз соседнего младшего разряда:01110101+ ─────1100ОПЕРАЦИЯ ВЫЧИТАНИЯв ЭВМ выполняется так же как и сложение, ноэтомчислаобратномотрицательныекоде.дополнительныйСмыслипредставляютсяпереводаобратныйкодывотрицательныхпояснимнадополнительномчиселпримереизсилипрямоговдесятичнымичислами.Допустим,требуетсякод отрицательногосложитьчислаX1=76иX2=-58.Заменимслагаемого X2 его дополнением до 100, так чтобы[X2]доп=100+X2=42.

Сложив числа X1+[X2]доп получим:Y=X1+[X2]доп=76+42=118Отбрасывая 1 старшего разряда получим искомый результат 18. Равенствополученногорезультатаистинномуформировании дополнительного кода к X2объясняетсямытем,чтоприприбавляли 100, аизрезультата вычитали 100 отбрасыванием старшего разряда.Y=X1+[X2]доп-100=X1+[X2+100]-100=76+[-58+100]-100=18При записи двоичного числа в прямом коде в знаковомразрядеставится его знак (0 - плюс, 1 - минус), а само число записывается вестественной форме:X=1310[X]пр=011012X=-1310[X]пр=111012ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙКОДотрицательныхдвоичныхчиселполучаетсязаменой двоичных кодов во всех разрядах на взаимно обратные (0 на 1,1 на 0).

После этого к младшему разряду числа добавляется 1. Взнаковом разряде отрицательного числа записывается 1.[-14]доп=[-01110]доп=[10001+1]=10010Кромедополнительногокодадляпредставленияотрицательных5чисел используется ОБРАТНЫЙ КОД.записывается1,В этом случае в знаковом разрядеа в остальных разрядах цифры заменяются на взаимнообратные[-14]обр=[-01110]обр=10001При выполнении арифметических операций с отрицательными числамипроизводится поразрядное сложение слагаемых, начиная с младшего икончая знаковым разрядом.Если используется дополнительный код, товозможная единица переноса из знакового разряда отбрасывается,использовании обратного кодасуммируетсясмладшимединица переноса знаковогоразрядомвтомполученнойвычисленияполучаетсякоде,вслагаемые.Положительные числа в прямом,приразрядасуммы.Результатбылипредставленыкакомобратном и дополнительномкодах имеют одну и ту же форму записи.

Например:125- ───7X1пр=0.1100X2пр=0.0101- ───────────Sпр= 0.0111Y=5-12=-7X1обр=0.1100X2обр=1.1010+ ────────────10.0110└──>──┘Sобр= 0.0111X1доп=0.1100X2доп=1.1011+ ────────────10.0111<──┘Sдоп= 0.0111X1обр=0.0101X2обр=1.0011+ ────────────Sобр= 1.1000Sпр= -0.0111X1доп=0.0101X2доп=1.0100+ ────────────Sдоп= 1.1001Sпр= -0.0111УМНОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ, представленных в форме с фиксированнойточкой,включает в себя определение знака и абсолютного значенияпроизведения.Знаковыйсуммированиемзнаковыхразрядпроизведенияразрядовможетсомножителейпереноса (так называемое суммированиепобытьбезформированиямодулю 2). Действительно,при совпадении цифр знаковых разрядов сомножителей (0 и 0,1) их сумма по модулю 2 равна 0, т.е. соответствуетразрядупроизведениядвухсомножителей,полученимеющихлибо 1 изнаковомуодинаковыезнаки;при несовпадении цифр знаковых разрядов эта сумма будет равна 1, чтотакже соответ-ствует знаковому разряду произведения двух сомножителейсразными знаками.

Абсолютное значение произведения получается путемперемножения чисел без учета их знаков (так называемого кодовогоумножения).6Пусть производится умножение чисел 1310 =1101213и 1110 =101121101XX11────13+13────1431011─────1101+110100001101────────10001111Как видно из примера, в процессе выполнения операции умноженияформируются частичные произведения (произведения множимого на цифрыразрядов множителя), которые суммируются с соответствующими сдвигамидруготносительносуммированияхарактер:друга.частичныхформируетсясоответствующимпроизведение,одноизсдвигомкполученнойпросуммированнымивсеможноцифровыхпроизведенийсдвигом очередное частичноесуммированияВпридаютчастичныхсуммепроцессупоследовательныйпроизведений,прибавляетсякследующееприбавляетсяснемусчастичноесоответствующемпроизведение и т.д., пока не окажутсячастичныеначинатьустройствахспроизведения.младшеголибоЭтотстаршегопроцессчастичногопроизведения.При умножении целых чисел для фиксации произведения в разряднойсетке должно предусматриваться число разрядов, равное сумме числаразрядов множимого и множителя.ДЕЛЕНИЕДВОИЧНЫХЧИСЕЛ.Будемрассматриватьоперациюалгебраического деления чисел, представленных в форме с фиксированнойточкой.

при этом выполнение операции содержит действия, связанные сопределения модуля частного. Знак частногоприемом,чтоизнакпроизведениявможет быть найден тем жерассмотреннойвышеоперацииумножения с отделением знаковых разрядов.Нарисунке1показанаположительных чисел a и b.схемаалгоритманахождениячастного7.┌─────────────┐│ S T A R T │└──────┬──────┘│┌1─────────┴──────────┐│c = a - b│└──────────┬──────────┘│<─────────────────────────────────────┐2──────/ \──────\ Нет│<c>=0>────────────────┐│\────────────/││\ / Да││┌3─────────┴──────────┐┌4─────────┴──────────┐ ││Запись 1 в очередной ││Запись 0 в очередной │ ││из старших разрядов ││из старших разрядов │ ││частного││частного│ │└──────────┬──────────┘└──────────┬──────────┘ ││││┌5─────────┴──────────┐┌6─────────┴──────────┐ ││сдвиг влево c││сдвиг влево c│ │└──────────┬──────────┘└──────────┬──────────┘ ││││┌7─────────┴──────────┐┌8─────────┴──────────┐ ││c = c - b││c = c + b│ │└──────────┬──────────┘└──────────┬──────────┘ ││<────────────────────────┘│9────────/ \────────│/ Сформированы все \ Нет│< разряды частного ?>───────────────────────────┘\─────────────────/\ / Да┌─────────┴──────────┐│S T O P│└────────────────────┘Рисунок 1.8Покажем выполнение операции на примере.

Пусть после отделениязнаковыхразрядовмодулиделимогоиделителяпредставляютсясоответственно числами a=0.10010 и b=0.10110.Встречающуюсяприбавлениемвчислаалгоритме-b,операциювычитаниячислапредставленного в дополнительном коде: (-b)доп=1.01010.a(-b)допcСдвиг влевоbcСдвиг влево(-b)допcСдвиг влево(-b)допcСдвиг влевоbcСдвиг влево(-b)допc.0.100101.01010+ ───────1.11100c < 01.110000.10110+ ───────0.01110c > 00.111001.01010+ ───────0.00110c > 00.011001.01010+ ───────1.10110c < 01.011000.10110+ ───────0.00010c > 00.001001.01010+ ───────1.01110c < 0Проверка: a=0,100102b=0,101102a/b=0,110102заменим0.

1 0 1 1 0────────────0. 1 1 0 1 0───┘ │ │ │ │ ││ │ │ │ ││ │ │ │ ││ │ │ │ ││ │ │ │ │──────┘ │ │ │ ││ │ │ ││ │ │ ││ │ │ ││ │ │ │────────┘ │ │ ││ │ ││ │ ││ │ ││ │ │──────────┘ │ ││ ││ ││ ││ │────────────┘ │││││──────────────┘= 0,562510= 0,687510= 0,812510Частное93. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.ВсеРаботаустройстваэтихкотораясхемМПсостоятоснованаоперируетдвумянаизэлементарныхзаконахпонятиями:илогическихправилахИстинностииалгебрысхем.логики,ложностивыска-зывания. В соответствии с такой двоичной природой высказываний ихусловились называть ЛОГИЧЕСКИМИ ДВОИЧНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ и обозначать 1вслучаеистинностипеременных являютсяи0вслучаеложности.Примерамилогическихвысказывания:А="Земля плоская", В="Парта черная". На основании этих высказыванийможно записать А=0; В=1, т.к. высказывание А ложно, а высказывание Вистинно.Высказывания могут быть простыми и сложными: простые содержатодно законченное утверждение, сложные образуются издвух илибольшего числа простых высказываний, связанных между собой некоторымилогическими связями.Формализацияипреобразованиепеременными осуществляетсясвязеймеждулогическимив соответствии с правилами АЛГЕБРЫ ЛОГИКИназываемой АЛГЕБРОЙ БУЛЯ.Две логические переменные А и В принимающие значения 0 или 1,могутобразовыватьфункцииколонкахлогическиеиспользуют,которойтакфункции.называемую,отображаютвсеДлятаблицувозможныеописаниялогическойистинности,значениявлевыхлогическихпеременных, а справа соответствующие значения функции.