kr-integraly-variant-10 (Кратные интегралы (Кузнецов Л.А.))

7 _ 01 _ 10Изменить порядок интегрирования− 3∫0∫dx−20fdy +∫0dx− 3− 4− x 2∫fdy4− x 2 − 2Решение:Построим области интегрирования первого и второго интегралов.Сумма повторных интегралов равна двойному интегралу по области D = D1 + D2 .Изменяем прядок интегрирования. Т.к внешнй интеграл теперь берем по y, топроектируем область D = D1 + D2 на ось Oy . При этом получим отрезок [-1;0],концы которого дают пределы интегрирования по y : -1 и 0. Из уравнений линийвыражаем x через y. Для y = − 4 − x 2 : x = ± 4 − y 2 , для y =4 − x 2 − 2 : x = ± 4 − ( y + 2)2 .Т.к. рассматриваемые области находятся выше оси Ox, то в полученных зависимостяхвыбираем перед корнем знак "+".− 3∫−20dx∫− 4− x 20fdy +∫− 30dx∫4− x 2 − 20fdy = ∫ dy−14−( y + 2)2∫4− x 2fdx7 _ 02 _10Вычислить:∫∫ (12 xy + 9 x2y 2 ) dxdy;DD : x = 1, y = x , y = − x 2 .Решение:Построим область интегрирования.

Подынтегральная функция - многочлен по x,y,поэтому ее легко интегрировать в любом порядке. Если в повторном интегралевнешний нтеграл взять по y, а внутренний по x, то область интегрирования придетсяразбивать на части, т.к. левая граница области интегрирования состоит из кусков двухлиний. Если же проинтегрировать сначала по y, затем по x, то область не нужно разбиватьна части. В этом случае проецируем эту область на ось Ox, получаем отрезок [0;1],значит, пределы по x равны 0 и 1. Пределы интегрирования по y:y = − x 2 . y = x .11x∫∫ (12 xy + 9 x y ) dxdy = ∫ dx ∫ (12 xy + 9 x y ) dy = ∫ dx( 6 xy222− x20D1= ∫ (6 x + 3 x207/220(− 6 x + 3 x )dx = 2 x + 2 x3582392− x + 1 x936)+ 3x 2 y 3 )1=20x− x2=7 _ 03 _10Вычислить:∫∫ y e2 − xy / 8dxdy;DxD : x = 0, y = 2, y = .2Решение:Если при сведении двойного интеграла повторный интеграл взять по y,то для его вычисления придется дважды интегрировать по частям.

Чтобыизбежать этого, сначала проинтегрируем по x, затем по y.22y2⎛ 8⎞− xy / 82 − xy / 822∫∫D y e dxdy = ∫0 y dy ∫0 e dx = ∫0 y dy⎜ − y e− xy / 8 ⎟⎝⎠2= ∫ 8 y (1 − e − y02/42()dy = ( 4 y 2 ) − −16e − y02/4)202y2= ∫ y20= 16 − 16 +016 16=ee28(1 − e − y / 4 )dy =y7 _ 04 _10Вычислить:∫∫∫ 2 y2z e xyz dx dy dz;V⎧ x = 1, y = 1, z = 1,V ⎨⎩ x = 0, y = 0, z = 0.Решение:Пределы интегрирования по z равны 0 и 1, по y - 0 и 1, по x - 0 и 1.∫∫∫ 2 y12zexyzV1111111⎛ e xyz ⎞dx dy dz = 2∫ y dy ∫ zdz ∫ e dx = 2 ∫ y dy ∫ zdz ⎜⎟ =yz00000⎝⎠02xyz112111⎛ e yz⎞= 2 ∫ y 2 dy ∫ z (e yz − 1)dz = 2 ∫ ydy ∫ (e yz − 1)dz = 2∫ ydy⎜− z⎟ =yz00000⎝ y⎠01111⎛⎞y2= −2 ∫ y 2 2 (1 + y − e y )dy = 2∫ ( e y − y − 1) dy = 2⎜ e y −− y ⎟ = 2e − 5y200⎝⎠07 _ 05 _10Вычислить:∫∫∫ (15x + 30 z ) dx dy dz;VV : z = x 2 + 3 y 2 , z = 0,y = x, y = 0, x = 1Решение:Область интегрирования представляет собой вертикальный цилиндр,ограниченный снизу плоскостью z = 0, сверху - поверхностью z = x 2 + 3 y 2 .Построим проекцию области интегрирования на плоскость Oxy.

Пределыинтегрирования расставляем по рисунку.1x∫∫∫ (15x + 30 z ) dx dy dz = ∫ dx ∫ dy0V1x2 +3 y 2∫001x(15 x + 30 z ) dz = 15∫ dx ∫ dy( xz + z 2 )01x(0x2 +3 y 2=0= 15∫ dx ∫ ( x + x + 9 y + 3 xy + 6 x y ) dy = 15∫ dx ( x + x ) y + 9 y 5 + xy 3 + 2 x 2 y 3500041342212= ∫ ( 30 x 4 + 72 x 5 ) dx = ( 6 x 5 + 12 x 6 ) = 6 + 12 = 180043)x0=7 _ 06 _10Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:33y=x, y =, x = 9.22xРешение:Найдем точки пересечения графиков функций:33x=22xx x =1x =19S = ∫∫ dxdy = ∫ dxD3 x219∫32x9dy = ∫ dx( y )13 x/232x9⎛ 3 3 x⎞= ∫ ⎜⎜ −+⎟⎟ dx =2x21⎝⎠3= ⎛⎜ x 3 − ln x ⎞⎟ = 33 − 3ln 3 − 1 = 26 − 3ln 32⎝⎠17 _ 07 _10Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:x 2 − 2 x + y 2 = 0,x 2 − 4 x + y 2 = 0,y=x3 , y = 3 x.Решение:Два первых уравнения легко преобразовать к виду:( x − 1) + y 2 = 12( x − 2) + y2 = 42Эти уравнения определяют окружности.Введем полярную систему координат:⎧ x = r cos ϕ⎨⎩ y = r sin ϕОкружность x 2 − 2 x + y 2 = 0 имеет полярное уравнениеr 2 sin 2 ϕ − 4r cos ϕ + r 2 cos 2 ϕ = 0.

Откуда r = 4 cos ϕ . Аналогичноx 2 − 8 x + y 2 = 0 ⇒ r 2 sin 2 ϕ − 8r cos ϕ + r 2 cos 2 ϕ = 0 ⇒ r = 8cos ϕ .Прямая y = x3Откуда tgϕ = 1имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cos ϕ⇒ ϕ = π . Аналогично63y = x 3 ⇒ r sin ϕ = 3r cos ϕ ⇒ tgϕ = 3 ⇒ ϕ = π3Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:4 cos ϕπ /3π /3⎛ r2 ⎞S = ∫∫ dxdy = ∫ dϕ ∫ rdr = ∫ dϕ ⎜ ⎟π /62 cos ϕπ /6D⎝ 2⎠π3= ⎛⎜ 3ϕ + sin 2ϕ ⎞⎟2⎝⎠3=π6π24 cos ϕπ /3=2 cos ϕ∫ 6 cosπ/62ϕ dϕ =3.7 _ 08 _10Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - поверхностнаяплотность.

Найти массу пластинки.D : x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 9,x = 0, y = 0 ( x ≥ 0, y ≤ 0 ) ;μ = ( x − y ) ( x2 + y 2 ) .Решение:В двойном интеграле перейдем к полярным координатам:⎧ x = r cos ϕ⎨⎩ y = r sin ϕПолучим:M D = ∫∫ μ ( x, y ) dxdy =D0=20∫−π / 23dϕ ∫1r ( cos ϕ − sin ϕ )r2∫π ( cos ϕ − sin ϕ ) dϕ = 2 ( sin ϕ + cos ϕ )− /20rdr =−π / 20−π=423∫ ( cos ϕ − sin ϕ ) dϕ ( r ) 1 =7 _ 09 _10Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность.Найти массу пластинки.D : x 2 4 + y 2 9 ≤ 1;x ≥ 0, y ≥ 0;μ = x3 y.Решение:Обобщенная полярная сиситема координат:⎧ x = 2r cos ϕ(1) ⎨⎩ y = 3r sin ϕЯкобиан перехода равен∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂x2 cos ϕ − 2r sin ϕ∂r== 6r3sin ϕ 3r cos ϕ∂y∂r(1) π / 2m = ∫∫ m( x, y ) dx dy =D∫01d ϕ ∫ 6r ⋅ 8r 3 ⋅ cos3 ϕ ⋅ 3r sin ϕ dr =0ππ /2⎛r6 1 ⎞= ∫ cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ dϕ ⋅ ∫ 144 ⋅ r dr = − ∫ cos ϕ ⋅ d (cos ϕ ) ⋅ ⎜ 144 ⋅ | ⎟ =6 0⎠⎝000π⎛⎞42osϕ1c⎜| ⎟ ⋅ 24 = ⋅ 24 = 6= −⎜⎜4 0 ⎟⎟4⎝⎠135237 _10 _10 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:y = 5 x 3, y = 5 x 9,(z = 0, z = 5 3 + x)9.Решение:9V = ∫∫∫ dx dy dz = ∫ dx0G(∫5x / 9)5 3+ x / 95 x /3dy∫9dz =05⋅ dx ⋅9 ∫05 x3∫ (3 +5x9)x dy =5 x⎞9⎛93⎛ 5 x 5x ⎞5 ⎜5⎟= ⋅ ∫ ⎜ 3 + 3 x ⋅ y | ⎟ dx = ⋅ ∫ 3 + x ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟ dx =5x9 0⎜9 039 ⎠⎟⎝9 ⎠⎝()()992525 ⎛x⎞x x⎞⎛=⋅ ∫ 3 + x ⋅ ⎜ x − ⎟ dx =⋅ ∫ ⎜⎜ 3 x −⎟ dx =27 03⎠27 0 ⎝3 ⎟⎠⎝(=)25 ⎛2 x 2 x ⎞ 9 50x ⎞9⎛⋅ ⎜⎜ 2 x x −⋅ x x ⎜1 − ⎟ | = 20⎟⎟ | =27 ⎝15 ⎠ 0 27⎝ 15 ⎠ 07_10_10_27 _11_10 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:x 2 + y 2 = 4 x,z = 10 − y 2 , z = 0.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩π /2V =∫πdϕ− /2=10 − r 2 sin 2 ϕ4 cos ϕ∫π /2∫r dr0dz =∫πdϕ∫ r (10 − r− /20π⎛⎛ 2 r4⎞ 4 cos ϕ ⎞2ϕ5r−⋅sin⎜⎟ | ⎟ ⋅ dϕ =∫ ⎜4−π ⎝ ⎝⎠ 0 ⎠2222sin 2 ϕ ) dr =0ππ4 cos ϕ∫π (80 ⋅ cos−22ϕ − 64 ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sin 2 ϕ ) ⋅ dϕππ1 21 ⎛sin 2ϕ ⎞ 2 π2ϕϕdcos⋅=⋅ ∫ (1 + cos 2ϕ ) ⋅ d ϕ = ⋅ ⎜ ϕ +⎟ | =∫−π2 −π2 ⎝2 ⎠ −π 22222ππ⎛ 1 + cos 2ϕ ⎞∫π cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ dϕ = ⋅ ∫π ⎜⎝ 2 ⎟⎠−−242222⎛ 1 − cos 2ϕ ⎞⋅⎜⎟ ⋅ dϕ =2⎝⎠2π=1⋅82∫π (1 + 2 ⋅ cos 2ϕ + cos−2ϕ ) ⋅ (1 − cos 2ϕ ) ⋅ d ϕ =22π=1⋅82∫π (1 + cos 2ϕ − cos−1− ⋅1622ϕ − cos3 2ϕ ) ⋅ d ϕ =1 ⎛sin 2ϕ ⎞⋅ ⎜ϕ +⎟−8 ⎝2 ⎠2ππ221∫π (1 + cos 4ϕ ) ⋅ dϕ − 16−2∫π (1 − sin−22ϕ ) ⋅ d ( sin 2ϕ ) =2π⎛1 ⎛sin 2ϕ ⎞ 1 ⎛sin 4ϕ ⎞ 1 ⎛sin 3 2ϕ ⎞ ⎞ 2= ⎜ ⋅ ⎜ϕ +⎟⎟ | =⎟ − ⋅ ⎜ϕ +⎟ − ⋅ ⎜ sin 2ϕ −4 ⎠ 16 ⎝3 ⎠ ⎠ −π2 ⎠ 16 ⎝⎝8 ⎝2π⎛ ϕ sin 3 2ϕ sin 4ϕ ⎞ 2 π=⎜ +−⎟ | =4864 ⎠ − π 16⎝ 162V = 80 ⋅π2− 64 ⋅π16= 36π7_11_10_27 _13 _10Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:z = 16 − x 2 − y 2 ,6 z = x2 + y 2 .Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩Найдем линию пересечения графиков функций:22222⎧⎧z = 2⎪⎧ z = 16 − x − y⎪ z = 16 − ( x + y )⎪⎧ z + 6 z − 16 = 0⇔⇔⇔⎨⎨⎨⎨222222⎪⎩6 z = x + y⎩ x + y = 12⎪⎩6 z = z 2 + y 2⎩⎪6 z = x + y2πV =∫ dϕ0⎛= ∫ dϕ ⋅ ⎜⎜0⎝2π2π=∫016 − r 22 3∫012∫r dr∫dz =r262π2 300∫ dϕ16 − r ⋅ d (16 − r203876⋅ dϕ =⋅ π = 79,5933∫⎛r2 ⎞r ⋅ ⎜ 16 − r 2 − ⎟ dr =6⎠⎝122)− ∫02π3⎛ 1r3 ⎞r 4 ⎞ 122 2dr ⎟ = d ϕ ⋅ ⎜ − ⋅ (16 − r ) − ⎟ | =24 ⎠ 06 ⎟⎠ ∫o⎝ 37 _14 _10 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:2z = 22 ⎡( x − 1) + y 2 ⎤ + 3,⎣⎦z = 47 − 44 x.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩Найдем линию пересечения поверхностей:222 ⎡( x − 1) + y 2 ⎤ + 3 = 47 − 44 x⎣⎦( x − 1)2πV ==+ y 2 = −2 x + 247 − 44 r cos ϕ1∫ ϕ ∫ r dr02π20(∫)22 r 2 − 2 r cos ϕ +1 + 3∫ 5,5π ⋅ dϕ = 11π0dz =2π12π0002∫ dϕ ∫ r ⋅ ( 22 − 22r ) dr =∫d ϕ ⋅ (11r 2 − 5,5r 4 ) | =107_14_10_27 _16 _10 _1Тело V задано ограничивающими его поверхностями, μ - плотность.Найти массу тела.x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = z 2 ,x = 0, y = 0,( x ≥ 0,y ≥ 0, z ≥ 0 ) ;μ = 6 z.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩π /2M =∫0π /2=∫02d ϕ ⋅ ∫ r dr04−r 2∫π /26 z dz =r /20⎛5r ⎞d ϕ ⋅ ∫ 3 ⋅ ⎜ 4r −⎟ dr =4 ⎠⎝02∫3π /2∫024−r 2d ϕ ⋅ ∫ r dr⋅ 3z 2 |0r /2π /2=∫0dϕ ⋅2⎛r ⎞234rr⋅−−⎟ dr =∫0 ⎜⎝4 ⎠2⎛ 2 5r ⎞ 2 π / 2 3333πd ϕ ⋅ 3 ⋅ ⎜ 2r −⋅ dϕ =⎟| = ∫16 ⎠ 048⎝047_16_10_2.