Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике

Московский Государственный Университетимени М. В. ЛомоносоваФакультет Вычислительной Математики и КибернетикиКафедра Математической КибернетикиДискретная математика(II семестр)лектор — профессор В. Б. Алексеевсоставитель — А. Д. ПоспеловМосква 2002СодержаниеГлава I. Функции алгебры логики§1.

Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций§2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершеннойдизъюнктивной нормальной форме§3. Полные системы. Примеры полных систем§4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом§5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов T0, T1 и L§6. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость§7. Класс монотонных функций, его замкнутость§8. Лемма о несамодвойственной функции§9. Лемма о немонотонной функции§10. Лемма о нелинейной функции§11. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики§12. Теорема о максимальном числе функций в базисе алгебры логики§13.

Теорема о предполных классах§14. k-значные функции. Теорема о существовании конечной полной системы в множествеk-значных функций3566891010111112121313Глава II. Основы теории графов§15. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность§16. Деревья. Свойства деревьев§17. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа§18. Геометрическая реализация графов.Теорема о реализации графов в трёхмерном пространстве§19. Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера§20.

Доказательство непланарности графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского§21. Теорема о раскраске планарных графов в пять цветов15161718192021Глава III. Основы теории управляющих систем§22. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами§23. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора.

Вычитатель§24. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка её сложности§25. Дешифратор. Асимптотика сложности дешифратора. Верхняя оценка сложностиреализации произвольной функции алгебры логики§26. Мультиплексор. Верхняя оценка сложности мультиплексора. Метод Шеннона§27. Шифратор. Верхняя оценка сложности шифратора232526282931Глава IV. Основы теории кодирования§28. Алфавитное кодирование.Теорема Маркова о взаимной однозначности алфавитного кодирования§29. Неравенство Макмиллана§30.

Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов§31. Оптимальные коды, их свойства§32. Теорема редукции§33. Коды с исправлением r ошибок. Оценка функции Mr (n).§34. Коды Хэмминга. Оценка функции M1 (n)32333334353637Глава V. Основы теории конечных автоматов§35. Понятие ограниченно детерминированных (автоматных) функций, их представлениедиаграммой Мура. Единичная задержка§36. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматностьосуществляемых ими отображений§37.

Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементовзадержки§38. Теорема Мура. Теорема об отличимости состояний двух автоматов239404142Глава I. Функции алгебры логики.§1. Функции алгебры логики. Равенство функций.Тождества для элементарных функций.1°. Функции алгебры логики.Определение 1. Пусть E2 = {0, 1} — основное множество (исходный алфавит значенийпеременных), тогда E2n = {(α1, …, αn) | ∀i αi∈E2}. Тогда всюду определённой булевой функцией назовём отображение f (x1, …, xn): E2n → E2. Такую функцию можно задать таблично, аможно как суперпозицию других, более простых функций. Например, для n = 1:x 0 1 x x0 0 1 0 11 0 1 1 0При этом функция 0 называется константой нулём, функция 1 — константой единицей, функция x — тождественной, а функция x — отрицанием x.

При этом для последнейфункции допускается также иное обозначение: x ≡ ¬x .Для n = 2:x0011y0101f10111f20001f30110f41101f51001f61110f71000При заполнении таблицы столбцы переменных заполняются в лексикографическом порядке (по возрастанию двоичных чисел).f1 — дизъюнкция, функция «или», логическое сложение: f1 = x ∨ y.f2 — конъюнкция: f2 = x · y = x & y = xy.f3 — сложение по модулю 2 (исключающее «или»): f3 = x ⊕ y = x + y.f4 — импликация: f4 = x → y.f5 — эквивалентность: f5 = x ~ y = x ⊕ y .f6 — штрих Шеффера: f6 = x | y = xy .f7 — стрелка Пирса: f7 = x ↓ y = x ∨ y .Лемма (о числе слов). В алфавите A = {a1, …, ar} из r букв можно построить ровно rmразличных слов длины m.Доказательство. Проведём индукцию по m. Для m = 1 утверждение очевидно.

Пустьутверждение леммы верно для m – 1, то есть существует ровно rm – 1 различных слов длиныm – 1. Для каждого такого слова длины m – 1 существует ровно r возможностей добавить одну букву в конец. Так как всего слов длины m – 1 — rm – 1, то различных слов длины m получится r · rm – 1 = rm. Лемма доказана.Рассмотрим таблицу некоторой функции алгебры логики от n переменных.x1 x2 ! xnfα0 0 0 ! 00 0 ! 1α1  2nn2 2!! ! ! ! 1 1 ! 1 α 2n −1 3Для её задания необходимо и достаточно определить её значения на 2n наборах. Таким образом, получаем, что всего различных функций от n переменных столько, сколько существуетnразличных наборов из нулей и единиц длины 2n, т.е.

2 2 .Используя последний факт можно, например, получить оценку числа функций от 10 пе-( )ременных. Всего таких функций будет 22 = 21024 > 21000 = 210> (1000 ) = 10300 . Таким образом, при росте числа переменных число функций возрастает очень быстро, и их табличноезадание становится неудобным.2°. Равенство функций. В обычной алгебре справедливо равенство x + y – y = x, несмотря на то, что в левой части записана функция от двух переменных, а в правой — от одной.

Таким образом, функции от разного числа переменных могут быть одинаковыми, чтодаёт повод ввести понятие существенных и фиктивных переменных.Определение 2. Переменная xi называется существенной переменной функции алгебрылогики f (x1, …, xn), если существуют такие α1, …, αi – 1, αi + 1, …, αn∈E2, что10010100f (α1, …,αi – 1, 0, αi + 1,…, αn) ≠ f (α1, …, αi – 1, 1, αi + 1, …, αn).Такие наборы, отличающиеся лишь одной переменной xi, называются соседними по xi. В противном случае переменная xi называется фиктивной.Если xi — фиктивная переменная функции f, то функция f однозначно определяется некоторой функцией g (x1, …, xi – 1, xi + 1, …, xn). Таблицу любой функции можно расширитьвведением любого числа фиктивных переменных.Определение 3.

Две функции алгебры логики называются равными, если одну изних можно получить из другой путём добавления и изъятия любого числа фиктивныхпеременных.3°. Формулы.Определение 4. Пусть имеется некоторое множество функцийA = {f1 (…), f2 (…), …, fn (…), …}.Введем понятие формулы над A:1) Любая функция из A называется формулой над A.2) Если f (x1, …, xn) ∈ A и для любого i Hi — либо переменная, либо формула над A, товыражение вида f (H1, H2, …, Hn) является также формулой над A.3) Только те объекты называются формулами над A, которые можно построить с помощью пунктов 1 и 2 данного определения.Замечание. Среди H1, H2, …, Hn вполне могут быть одинаковые.4°.

Основные эквивалентности.1. Коммутативность:2. Ассоциативность:x∨y=y∨x;(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) = x ∨ y ∨ z ;xy = yx ;(xy) z=x (yz)=xyz ;x⊕y=y⊕x;(x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ y ⊕ z.x~y=y~x.3. Дистрибутивность:4. x = x ,(x ⊕ y) z = (xz) ⊕ (yz) ;правила де Моргана:(x ∨ y) z = (xz) ∨ (yz) ;x∨ y = x⋅y ,(xy) ∨ z = (x ∨ z)·(y ∨ z).x⋅ y = x ∨ y .45.

Законы поглощения.x∨x=xx·x=xx ∨ x =1x⋅x = 0x∨1=1x·1=xx∨0=xx · 0 = 0.6. x y = x ⋅ yx ↓ y = x∨ yx→ y=x∨ yx ⊕ y = (x ⋅ y ) ∨ (x ⋅ y )x ~ y = x ⊕ y = (xy ) ∨ (x y )Приоритет конъюнкции выше, чем приоритеты дизъюнкции и суммы по модулю 2. Благодаря этому, часто удаётся опустить ряд ненужных скобок. Имеют место следующие очевидныеутверждения:x1 · x2 · … · xn = 1 ⇔ ∀i xi = 1,x1 ∨ x2 ∨ … ∨ xn = 1 ⇔ ∃i: xi = 1. x, σ = 1 σОпределение 5.

x в степени сигма называется функция xσ = ; x = 1 ⇔ x = σ. x ,σ = 0§2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным.Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.Теорема 1 (о разложении функции алгебры логики по переменным). Для любойфункции алгебры логики f (x1, …, xn) и для любого k (1 ≤ k ≤ n) справедливо следующееравенство:f (x1 ,!, xn ) =∨(σ1 ,σ 2 ,!,σ k )∈E2kx1σ1 ⋅ x2σ 2 ⋅ ! ⋅ xkσ k ⋅ f (σ 1 , σ 2 ,!, σ k , xk +1 ,!, xn ) .Доказательство.

Для любого набора α~ = (α1 ,α 2 ,!,α n ) вычислим значение правой части на этом наборе. Как только хотя бы один из сомножителей будет равен нулю, вся конъюнкция обратится в нуль. Таким образом, из ненулевых конъюнкций останется лишь одна —та, в которой αi = σi и∨(σ 1 ,σ 2 ,!,σ k )∈E2kα1σ 1 ⋅ α 2σ 2 ⋅ ! ⋅ α kσ k f (σ 1 , σ 2 ,!, σ k ,α k +1 ,!,α n ) = 0 ∨ ! ∨ 0 ∨ α1α1 ⋅ α 2α 2 "α kα k f (α1 ,!,α n ),а в силу того, что xx = 1, указанное выражение равно f (α1, α2, …, αn). Теорема доказана.Следствие 1.

Разложение произвольной функции алгебры логики по одной переменнойимеет вид f (x1 , x2 ,!, x n ) = x1 f (0, x2 ,!, x n ) ∨ x1 f (1, x2 ,!, xn ).Следствие 2 (теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме). Для любой функции алгебры логики f (x1, x2, …, xn), отличной от тождественного нуля, справедливоследующее представление:f (x1 ,!, xn ) =∨(σ1 ,!,σ n ): f (σ1 ,!,σ n )=1x1σ1 x2σ 2 " xnσ n .Доказательство. Пусть функция f (x1, x2,…, xn) отлична от тождественного нуля.

Напишем разложение этой функции по k = n переменным:f (x1 ,!, xn ) =∨(σ 1 ,σ 2 ,!,σ n )∈E2nx1σ1 x2σ 2 ! xnσ n f (σ 1 , σ 2 ,!, σ n ),что можно переписать в эквивалентном виде∨(σ1 ,!,σ n ): f (σ1 ,!,σ n )=1x1σ1 x2σ 2 ! xnσ n f (σ 1 ,!, σ n ) ∨5∨(σ1 ,!,σ n ): f (σ1 ,!,σ n )=0x1σ1 x2σ 2 ! xnσ n f (σ 1 ,!, σ n ) .Учитывая, что в первой дизъюнкции все значения функции равны единице, а вторая обнуляется из-за того, что все значения функции в ней равны нулю, получаем утверждениеследствия. Следствие доказано.Теорема 2 (о совершенной конъюнктивной нормальной форме).

Для любой функцииалгебры логики f (x1, x2, …, xn), отличной от тождественной единицы, справедливопредставлениеf (x1 ,!, xn ) =&(σ 1 ,σ 2 ,!,σ n )(xσ11)∨ x2σ 2 ∨ ! ∨ xnσ n .f (σ 1 ,σ 2 ,!,σ n )= 0§3. Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).Определение. Множество функций алгебры логики A называется полной системой(в P2), если любую функцию алгебры логики можно выразить формулой над A.Теорема 3. Система A = {∨, &, ¬} является полной.Доказательство. Если функция алгебры логики f отлична от тождественного нуля, то fвыражается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, в которую входят лишьдизъюнкция, конъюнкция и отрицание.

Если же f ≡ 0, то f = x ⋅ x . Теорема доказана.Лемма 2. Если система A — полная, и любая функция системы A может быть выраженаформулой над некоторой другой системой B, то B — также полная система.Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию алгебры логики f (x1, …, xn) и двесистемы функций: A = {g1, g2, …} и B = {h1, h2, …}. В силу того, что система A полна, функция f может быть выражена в виде формулы над ней: f (x1 ,!, xn ) = ℑ[g1 , g 2 ,!], гдеg i = ℜ i [h1 , h2 ,!], то есть функция f представляется в виде f (x1 ,!, xn ) = ℑ[ℜ1 , ℜ 2 ,!], иначеговоря, может быть представлена формулой над B.