Типовой расчет для студентов вечернего и заочного отделений, страница 3

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫЗадача 4.1.Цепь Маркова управляется матрицей перехода Р и начальнымраспределением Р0:3P4N1N5NNNN1445p0(N 1;N 32N3)22Найти распределение вероятностей по состояниям через одиншаг и стационарное распределение. Построить граф состояний.Задача 4.2. Система имеет три состояния. Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найти стационарное распределение. λij – плотности перехода.№ вариантаλ12λ13λ21λ23λ31λ32111230022301013310220410201350012236013021723130082103029110230103010211100223112012013133121001421020315320210Задача 4.3.

Дана корреляционная функция и математическоеожидание случайного процесса ξ(t). Найти корреляционную23функцию, математическое ожидание и дисперсию случайногопроцесса η(t).№ вариантаKξ(t1,t2)Мξ(t)η(t)1sin3t1 sin3t2e2ttd(ξ(t)+cost)/dt2cos2t1 cos2t2sin3ttt5( )dt032t13 t23tcostdξ/dt+ e2t4t1 t 2cos5tt3 sin3t ξ(t)+ cost5sin5t1 sin5t2t3tcos t ( ( )2)d063cos5t1 cos5t27t1 t 2 +sint1 sint2t 14 t 248e3tt5tddtsin tt2 cos4t ξ(t)+ e3tsin2tt( )de 5t095t 5t2 e 1e 2cos3t10t13 t23+ cos3t1 cos3t2et112cos3t1 cos3t2e5t12sin6t1 sin6t2tsint (ξ(t)+t)tddtsin 5ttd(ξ(t)+cost)/dttt2( )dt30sin4tcostdξ/dt+ e2tt1 t 2cos4tt2 sin3t ξ(t)+t5sin5t1 sin5t2+ t1 t2t3135t13 t23 +14315t1 t 2tt ( ( ) cos )d024Задача 4.4.

Найти корреляционную функцию и дисперсиюслучайного процесса ξ(t), если он задан каноническим разложением. Дисперсии случайных величин Dξi = Di.№ вариантаξ(t)D1D2D31ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+i ξ3t33312ξ1 e3it + ξ2 e-3it + ξ3t22243iξ1 sin2t+ ξ2 + ξ3t421543ξ1 t+ ξ2 cos5t+i ξ3t21235ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+2i ξ3t52256ξ1 e4it + ξ2 e-4it + ξ3 cosωt3327ξ1 e3t +5i ξ2 t + ξ32158ξ1 sin2t+ iξ2 cos3t+ ξ3t21239ξ1 e5it + ξ2 t3+ ξ3 sinωt24510ξ1 + ξ2 te2t + 3iξ3cost31211ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+2i ξ3t422312ξ1 e5it + ξ2 e-5it + ξ3t433513iξ1 cos2t+ ξ2 + ξ3t5123144ξ1 t2+ ξ2 sin5t+i ξ3t32115ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+2i ξ3t633725Задача 4.5. Найти одностороннюю S(ω) и двустороннююS (ω) спектральную плотность стационарного случайного про*цесса с корреляционной функцией K ( )tAecos t№ вариантаΑΒA№ вариантаαΒA111116122261117211351418245431119241513220214641221252714222222812123242962124232101622523111424262241242127221131522832114322293121552230311ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ261.

Пространство элементарных событий. Алгебра событий,свойства, геометрическая интерпретация. Аксиоматическое построение вероятностей.2. Классическая схема: вероятность, свойства. Теорема сложения вероятностей. Задача о выборке.3. Геометрическая схема: вероятность. Задача о встрече.4. Условная вероятность. Независимость событий. Формулаумножения.5. Формула полной вероятности.

Формула Байеса.6. Схема Бернулли повторных независимых испытаний.Формула Бернулли.7. Случайная величина. Функция распределения. Свойства.8. Дискретные случайные величины, их распределения.Производящие функции, их свойства. Примеры.9. Сумма и произведение дискретных случайных величин,их распределения.10. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Его свойства. Связь с производящей функцией.11. Дисперсия дискретной случайной величины. Ее свойства. Связь с производящей функцией.12. Биномиальное распределение, его производящая функция,математическое ожидание, дисперсия. Задачи, к нему приводящие.13. Геометрическое распределение, его производящая функция, математическое ожидание, дисперсия. Задачи, к нему приводящие.14. Распределение Пуассона, его производящая функция, математическое ожидание, дисперсия. Задачи, к нему приводящие.15. Функция дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия функции дискретной случайной величины.16. Дискретные случайные векторы. Таблица распределения. Свойства совместного распределения.17. Функция дискретного случайного вектора. Примеры.

Математическое ожидание функции дискретного случайного вектора.18. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, ее свойства.2719. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства.20. Дисперсия, свойства. Дисперсия непрерывной случайнойвеличины.21. Равномерное распределение, его математическое ожидание, дисперсия.22. Показательное распределение, его математическое ожидание, дисперсия.23. Нормальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия.24.

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины, ее выражение через функцию Лапласа в случаенормального распределенной непрерывной случайной величины.25. Двумерные распределения. Функция совместного распределения. Ее свойства.26. Плотность двумерного распределения. Ее свойства.Связь с одномерными распределениями. Вероятность попаданияв область непрерывного случайного вектора.27. Равномерное и нормальное двумерные распределения.Их свойства.28. Функция непрерывной случайной величины.

Ее плотность распределения. Квадрат стандартной нормальной случайной величины.29. Математическое ожидание и дисперсия функции непрерывной случайной величины. Примеры.30. Сумма непрерывных случайных величин. Свертка плотностей.31. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, ихсвойства.32. Неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности. Закон больших чисел.33.

Теорема Чебышева. Устойчивость средних.34. Теорема Бернулли. Устойчивость частот событий.35. Теорема Ляпунова. Асимптотическая устойчивость.36. Теорема Муавра-Лапласа и ее следствия.28МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА1. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.Теорема Гливенко.2. Точечные оценки параметров распределения: несмещенность, состоятельность, эффективность. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Проверка несмещенности.3. Метод максимального правдоподобия. Нахождение эффективных оценок.

Примеры.4. Проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий, уровень значимости и критическая область. Примеры.5. Проверка статистических гипотез с помощью критерия .6. Интервальные оценки математического ожидания распределения с известной дисперсией.7. Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.

РаспределениеСтьюдента.8. Интервальные оценки дисперсии нормального распределения. Распределение .СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ1. Случайный процесс, сечения, реализации, конечномерные распределения.2. Цепи Маркова. Переходные вероятности. Матрица переходных вероятностей, ее свойства.3. Цепи Маркова. Матрица переходных вероятностей за Nшагов, связь с матрицей переходных вероятностей.4. Цепи Маркова. Эргодические теоремы.

Отыскание предельных и стационарных распределений с помощью линейных систем.5. Цепи Маркова. Классификация состояний. Граф состояний.6. Марковский процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова.297. Распределение момента выхода марковского процесса изсостояния.

Марковское свойство показательного распределения.8. Марковский процесс с двумя состояниями. Нестационарные и стационарные решения. Эргодичность.9. Простейший поток событий. Пуассоновский процесс. Составление и решение уравнений Колмогорова для Пуассоновского процесса.10. Процессы гибели и размножения. Примеры. Составление дифференциальных уравнений. Стационарные решения.11. Система массового обслуживания (СМО) с отказами.Задача Эрланга. Составление дифференциальных уравнений.

Стационарные решения. Характеристики СМО.12. СМО с ожиданием. Составление дифференциальныхуравнений, стационарные решения. ХарактеристикиСМО.13. Марковский процесс с непрерывным множеством состояний и непрерывным временем. Винеровский процесс.14. Числовые характеристики случайного процесса. Ихсвойства.15. Числовые характеристики комплекснозначного случайного процесса. Их свойства.16. Производная и интеграл случайного процесса и их характеристики.17. Каноническое разложение случайного процесса, характеристики канонического разложения.18. Линейный оператор от случайного процесса, его характеристики.19. Стационарные процессы. Корреляционная функциястационарного процесса, ее свойства.20.

Стационарный гауссовский процесс.21. Стационарные процессы с дискретным спектром.Спектральное разложение корреляционной функции наотрезке.22. Стационарные процессы с непрерывным спектром.30Спектральное разложение корреляционной функции наоси. Спектральная плотность.23. Спектральная плотность стационарного процесса, еесвойства. Дисперсия процесса.

Процесс «белый шум».24. Стационарная линейная система. Передаточная функция и частотная характеристика.25. Преобразование стационарного процесса стационарнойлинейной системой. Дисперсия процесса на выходе.26. Преобразование случайных сигналов электрическими сетями..