13. Экстремум функции нескольких переменных. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Напомним, что дифференциал второго порядка функции нескольких переменныхпредставляет собой квадратичную форму относительно приращений (дифференциалов) независимых переменных.ÔÍ-12ÌÃÒÓ13.2. Достаточное условие экстремумаÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ59ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 13.3 (достаточное условие экстермума для функции двух переменных).Пусть функция f (x, y) определена в окрестности U (a, b) точки P (a, b), дважды непрерывнодифференцируема в U (a, b) и df (a, b) = 0.
Тогда:1) если A > 0 и AC − B 2 > 0, то в точке P (a, b) функция f (x, y) имеет строгий локальныйминимум;2) если A < 0 и AC − B 2 > 0, то в точке P функция f (x, y) имеет строгий локальныймаксимум;3) если AC − B 2 < 0, то функция f (x, y) не имеет в точке P экстремума.ÌÃÒÓJ Согласно критерию Сильвестра, второй дифференциал d2 f (a, b) является положительно определенной квадратичной формой, если A > 0 и det f 00 (a, b) = AC − B 2 > 0. Второй дифференциалявляется отрицательно определенной квадратичной формой, если A < 0 и AC − B 2 > 0. Онявляется знакопеременной квадратичной формой, если AC − B 2 < 0.
Наконец, квадратичнаяформа d2 f (a, b) вырождена, если AC − B 2 = 0. С учетом этих фактов из теоремы 13.2 получаемдоказываемое утверждение. IÔÍ-12d2 f (a, b) = A dx2 + 2B dx dy + C dy 2по переменному dx (при A 6= 0) или переменному dy (при C 6= 0) имеет нулевой дискриминанти потому представляет собой полный квадрат. Например, при A 6= 0 имеемB 2A dx2 + 2B dx dy + C dy 2 = A dx + dy .AПри AC = B 2 функция может иметь в точке (a, b) локальный экстремум, а может и не иметьего (см. пример 13.4).ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 13.3 не охватывает случай AC = B 2 . В этом случае квадратичная форма d2 f (a, b)вырождена, но сохраняет знак, так как квадратный трехчленÌÃÒÓÌÃÒÓС помощью этих обозначений дифференциал второго порядка функции f (x, y) в точке P иматрицу Гессе можно записать следующим образом:A B22200d f (a, b) = A dx + 2B dx dy + C dy , f (a, b) =.B CÌÃÒÓÌÃÒÓ60ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13.
ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12Такие задачи решают в два этапа. На первом этапе с помощью необходимых условий экстремума отбирают точки, подозрительные на экстремум (критические точки). На втором этапекаждую отобранную точку исследуют на наличие в ней экстремума функции. Это исследованиеможет выполняться либо с помощью различных достаточных условий экстремума (см. 13.2),либо с помощью непосредственного анализа поведения функции в окрестности исследуемойточки.x3 + 2xy + y 2 → extr .ÌÃÒÓПример 13.5.
Рассмотрим задачуÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Задачу исследования функции нескольких переменных f : Rn → R на экстремум часто записывают в видеf (x) → extr .ÌÃÒÓÌÃÒÓ13.3. Исследование функций на экстремумÌÃÒÓÌÃÒÓfy0 (x, y) = 0.В нашем случае fx0 (x, y) = 3x2 +2y, fy0 (x, y) = 2x+2y, и мы получаем систему двух уравненийс двумя неизвестными:(3x2 + 2y = 0,(13.1)2x + 2y = 0.Из второго уравнения находим, что x = −y, и после подстановки в первое уравнение получаем3y 2 + 2y = 0. Следовательно, система (13.1) имеет два решения22y2 = − , x2 = .33Значит, функция f (x, y) имеет две стационарных точки P1 (0, 0), P2 (2/3, −2/3).Воспользуемся достаточным условием экстремума для функции двух переменных.
Для этогонайдем частные производные второго порядка функции f (x, y):00fxy(x, y) = 2,fy002 (x, y) = 2.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Подставляя в эти производные координаты точки P1 , находим A = 0, B = 2, C = 2. ОтсюдаAC − B 2 < 0, и, согласно достаточным условиям экстремума функции двух переменных, вточке P1 (0, 0) функция f (x, y) экстремума не имеет. Аналогичные вычисления для точки P2дают следующее: A = 4 > 0, B = 2, C = 2, AC −B 2 > 0. Значит, в точке P2 (2/3, −2/3) функцияf (x, y) имеет строгий локальный минимум. Значение функции в точке P2 равно fmin = −4/27.Обратим внимание на то, что у функции f (x, y) есть значения, меньшие fmin .
Например,f (−10, 0) = −1000. Это говорит о том, что минимум в точке P2 носит локальный характер,а не абсолютный: значение f (2/3, −2/3) является наименьшим лишь в некоторой окрестноститочки P2 , но не во всей плоскости.ÌÃÒÓÌÃÒÓиÔÍ-12y1 = 0, x1 = 0ÌÃÒÓÔÍ-12Функция f (x, y) = x3 + 2xy + y 2 является бесконечно дифференцируемой, т.е. f ∈ C ∞ (R2 ).Поэтому ее точки экстремума — это стационарные точки, которые можно найти, приравнявнулю частные производные функции первого порядка:( 0fx (x, y) = 0,fx002 (x, y) = 6x,ÔÍ-12ÌÃÒÓ61ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.........
. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ....... .. .. .57575960ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓпеременных . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 13. Экстремум функции нескольких13.1. Необходимое условие экстремума . . .13.2. Достаточное условие экстремума . . .13.3. Исследование функций на экстремум .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.