12. Геометрические приложения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
12.2ÌÃÒÓÌÃÒÓxÔÍ-12ÔÍ-12(dx,dy)ÌÃÒÓÌÃÒÓMÌÃÒÓÌÃÒÓмы можем записать уравнение касательной к кривой Q в точке M в виде (12.9). Учитываявыражение (11.2) для производной неявной функции ϕ(x) и равенство ϕ(a) = b, находимy−b=−откуда получаемfx0 (a, b)(x − a),fy0 (a, b)fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b) = 0.(12.10)Поскольку нормаль к кривой в точке M проходит через эту точку и перпендикулярна касательной, то ее уравнение имеет видy−bx−a= 0.(12.11)0fx (a, b)fy (a, b)Если fy0 (a, b) = 0, но fx0 (a, b) 6= 0, то, поменяв местами переменные x и y и повторив рассуждения, получим те же уравнения касательной и нормали.Итак, условия 1◦ –4◦ являются достаточными для того, чтобы в точке (a, b) существоваликасательная и нормаль к кривой Q, которые в этом случае задаются уравнениями (12.10) и(12.11). Можно показать, что это утверждение остается верным и тогда, когда условие 3◦заменено более слабым условием дифференцируемости функции в точке (a, b).2fx0 (1, 2) = ,32fy0 (1, 2) = .3ÌÃÒÓПример 12.4.
Найдем уравнения касательной и нормали к эллипсу x2 /3 + y 2 /6 = 1 в точкеM (1; 2).Легко убедиться, что в данной задаче при выборе функции f (x, y) = x2 /3 + y 2 /6 − 1 достаточные условия 1◦ –4◦ существования касательной и нормали выполнены. Для построенияуравнений касательной и нормали вычислим частные производные первого порядка функцииf (x, y): fx0 (x, y) = 2x/3, fy0 (x, y) = y/3. Их значения в точке M (1; 2) равныÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ55ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕx + y − 3 = 0,и нормалиy−2x−1=,2/32/3илиx − y + 1 = 0.−3y + 3x23y 2 − 3x=,10которое равносильно уравнению 3y 2 − 3x = 0. Таким образом, координаты точки кривой,в которой касательная параллельна оси Oy, подчиняются уравнению x − y 2 = 0. Так какÔÍ-12Пример 12.5. Найдем точки, в которых касательная к кривой y 3 −3xy +x3 = 3 параллельнаоси Oy.Нормальным вектором касательной рассматриваемой кривой в произвольной точке (x, y)является вектор fx0 , fy0 = (−3y + 3x2 , 3y 2 − 3x). Касательная кривой параллельна оси Oy,если ее нормальный вектор параллелен оси Ox, т.е. коллинеарен вектору (1, 0). Записываяусловие коллинеарности двух векторов на плоскости, получаем уравнениеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓилиÌÃÒÓÔÍ-1222(x − 1) + (y − 2) = 0,33ÔÍ-12ÔÍ-12Записываем уравнение касательнойÌÃÒÓÌÃÒÓ56координаты точек кривой удовлетворяют также уравнению этой кривой, получаем системудвух уравнений с двумя неизвестными:(x − y 2 = 0,y 3 − 3xy + x3 = 3.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12√√Не составляет труда найти два решения этой системы: x1 = 1, y1 = −1 и x2 = 3 9, y2 = 3 3.Так как в этих точках градиент функции не обращается в нуль, обе точки — искомые.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ515154ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 12. Геометрические приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1. Касательная плоскость и нормаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .12.2. Касательная и нормаль кривой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
