11. Неявные функции. Градиент. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 3
Описание файла
PDF-файл из архива "Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Действительно, тогда n◦ = λ grad f (x), где λ = 1/| grad f (x)|, иÌÃÒÓÌÃÒÓJ В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n∂f (x)∂f (x)◦◦◦=(gradf(x),m)=|gradf(x)|(n,m)<|gradf(x)|=.∂m◦∂n◦IСвойство 11.4. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x, то в этой точкевектор −grad f (x) задает направление наибольшего убывания функции f (x).ÔÍ-12J Как было отмечено выше (см.
замечание 11.1), при изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтомуесли вектор n указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор −n указываетнаправление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция f (x, y) возрастаетв направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора −n, то она и убываетв направлении вектора −a быстрее, чем в направлении вектора n. Но это противоречит выборувектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 11.3, вектор −n имеет то же направление, что и вектор grad f (x).
Следовательно,вектор n по направлению совпадает с вектором −grad f (x). IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓверно неравенство (n1 , n2 ) < 1. Поэтому если единичный вектор n◦ имеет то же направление,что и grad f (x), а m◦ — любой другой единичный вектор, то с учетом свойства 11.2 имеемÌÃÒÓÔÍ-12Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста.Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n1 и n2 в силу легко проверяемоготождества2 (n1 , n2 ) = |n1 |2 + |n2 |2 − |n1 − n2 |2 = 2 − |n1 − n2 |2ÔÍ-12ÔÍ-12(grad f (x), n◦ ) = λ| grad f (x)|2 = | grad f (x)|.ÌÃÒÓÌÃÒÓ50Свойство 11.5. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x, то наибольшаяскорость роста (убывания) функции f (x) в этой точке равна | grad f (x)| (−| grad f (x)|).J Согласно свойствам 11.2 и 11.3, производная функции f (x) по направлению вектора grad f (x)(направлению наибольшего роста) равна | grad f (x)|. Производная по противоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции (см.
свойство 11.4), отличается лишь знаком и равна −| grad f (x)|. IПример 11.11. Найдем в точке M (2; 1) наибольшую скорость роста функции двух переменных z(x, y) = x2 y − 2y 3 .Поскольку функция дифференцируема в точке M , то наибольшая скорость ее роста в этойточке равна модулю ее градиента в этой точке.
Находим градиент данной функции в произвольной точке:grad z = 2xy, x2 − 6y 2 .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТgrad z(2, 1) = (4, −2).И наконец, находим искомую скорость:ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓp√√42 + (−2)2 = 20 = 2 5.ÌÃÒÓÔÍ-12| grad z(2, 1)| =ÔÍ-12ÔÍ-12Вычисляем значение градиента в заданной точке M (2; 1):ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.........
. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ...................... . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ....... .. .. .42424647ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ. . .. . . .. . . .. . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 11. Неявные функции. Градиент11.1. Неявные функции . . . . . . . . .
.11.2. Производная по направлению . . .11.3. Градиент . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.