Операции над тензорами. Понятие тензора. Матричная запись тензоров. Преобразование тензоров, записанных в матричной форме (Избранные лекции)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»ÌÃÒÓÀ.Í. ÊàíàòíèêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈÏÎ ÀËÃÅÁÐÅÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ÔÍÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ13.

ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИГоворят, что в n-мерном линейном пространстве L задан тензор типа (p, q) (p раз ковариантный, q раз контравариантный), если каждому базису b в L сопоставлена упорядоченнаяj ...jсистема чисел ai11...ipq (b), называемых компонентами тензора, причем системы чисел, соответствующие разным базисам b и c, связаны между собой соотношениямиj ...j...s1 =1nnXXsq =1 r1 =1rp =1Например, для тензора типа (1, 1) закон преобразования выглядит так:=nn XXakl (b)ulj vki .k=1 k=1См.: А.Н. Канатников, А.П. Крищенко.

Линейная алгебра. п. 10.3.ÔÍ-1222ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12*ÌÃÒÓЗаписывая компоненты тензора в матрицу A (верхний индекс — номер строки), получим A(c) == V A(b)U — обычный закон преобразования матрицы линейного оператора. Таким образом,если каждому базису поставить в соответствие элементы матрицы данного линейного оператора, мы получим тензор типа (1, 1). Об этом кратко говорят так: линейный оператор естьтензор типа (1, 1).Можно привести и другие примеры тензоров, возникающие как в самой линейной алгебре,так и в предметных областях (механике, физике и т.п.)* . Здесь лишь заметим, что тензортипа (p, q) определяется набором координат полилинейной формы типа (p, q).

Более того, любой тензор типа (p, q) всегда можно рассматривать как набор координат соответствующей полилинейной формы. Тем самым полилинейные формы становятся удобным геометрическимпредставлением тензоров.j ...jВ наборе чисел ai11...ipq используют как верхние, так и нижние индексы. Это связано с тем,что в законе преобразования тензора верхние и нижние индексы ведут себя по-разному: длянижних индексов парный индекс относится к матрице перехода U , в то время как для верхних —к обратной матрице V . Нижние индексы принято называть ковариантными, а верхние —контравариантными.Тип тензора определяется парой целых чисел: количеством контравариантных и ковариантных индексов.

Заметим, что в литературе нет устоявшихся правил, в каком порядке указываются эти количества. Тензор, которому мы приписали тип (p, q) в ряде учебников обозначаютÌÃÒÓÔÍ-12r...sq(b) uri11 . . . uipp ,vsj11 . . . vsjqq asr11 ...rpÔÍ-12ÌÃÒÓnXгде U = (uij ) — матрица перехода из базиса b в базис c; V = (vji ) — обратная к U матрица(верхний индекс в обозначениях uij и vji обозначает номер строки в матрице). Сумму p + qназывают валентностью тензора (или его рангом).В приведенном законе преобразования тензора опускают знаки сумм в соответствиис правилом умолчания.

Согласно этому правилу выполняется суммирование по любой пареодинаковых индексов, один из которых верхний, а другой нижний, причем с одними и теми жепределами, определяемыми размерностью n линейного пространства: от 1 до n.С учетом правила умолчания тензорный закон преобразования записывается следующимобразом:rj ...j...sq(b) uri11 . .

. uipp ,ai11...ipq (c) = vsj11 . . . vsjqq asr11 ...rpaij (c)ÔÍ-12...ÌÃÒÓÌÃÒÓnXÔÍ-12ÔÍ-12ai11...ipq (c) =ÌÃÒÓÌÃÒÓ13.1. Понятие тензораÌÃÒÓa111 a121 a131 a112 a122 a132 a113 a123 a133 2 a11 a221 a231 a212 a222 a232 a213 a223 a233  ,a311 a321 a331 a312 a322 a332 a313 a323 a333а трехвалентный тензор aijk — в видеa13a12a13a13a11a12a12a11a11112312323 21 22 23 21 22 23 21 22 23  a1 a1 a1 a2 a2 a2 a3 a3 a3  .3233313233313233a31aaaaaaaa222333111Тензорное произведение тензора второго ранга на вектор зависит от типа тензора.

Произведение aij bk в матричной форме записывается в видеa11 b1 a11 b2 a11 b3 a12 b1 a12 b2 a12 b3 a13 b1 a13 b2 a13 b3ÌÃÒÓ 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3  a1 b a1 b a1 b a2 b a2 b a2 b a3 b a3 b a3 b  ,3 13 23 33 13 23 33 13 23 3a1 b a1 b a1 b a2 b a2 b a2 b a3 b a3 b a3 bа произведение aij bk — в виде a11 b2 a21 b2 a31 b2 a12 b2 a22 b2 a32 b2 a13 b2 a23 b2 a33 b2  .333333333a11 b a21 b a31 b a12 b a22 b a32 b a13 b a23 b a33 bВидно, что блочную матрицу-строку составляют всевозможные произведения элементов матрицы на компоненты вектора, но расположение этих произведений в матрице разное.ÔÍ-12a11 b1 a21 b1 a31 b1 a12 b1 a22 b1 a32 b1 a13 b1 a23 b1 a33 b1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Матрицы могут использоваться для записи тензоров небольшого ранга (до четырех).

Приэтом используем следующие соглашения:– индексы тензора нумеруются слева направо, сперва все верхние, а затем все нижние;– векторы (т.е. тензоры типа (0, 1) ) записываются в виде столбца;– ковекторы (линейные функции — тензоры типа (1, 0) ) записываются в виде строки;– тензоры ранга 2 записываются в виде обычной матрицы, причем первый индекс является номером строки (например, для матрицы линейного оператора номером строки являетсяверхний индекс);– тензоры ранга 3 записываются в виде блочной матрицы-строки, причем первый индекс —это номер строки в блоке, второй индекс — номер столбца в блоке, третий индекс — номерблока.– тензоры ранга 4 записываются в виде квадратной блочной матрицы, для которой первыйиндекс — номер строки в блоке, второй индекс — номер столбца в блоке, третий индекс —номер блочной строки, а четвертый индекс — номер блочного столбца.Например, трехвалентный тензор aijk записывается в видеÌÃÒÓÌÃÒÓ13.2.

Матричная запись тензоровÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ23ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12как тензор типа (q, p). Но расположение индексов (контравариантные вверху) соблюдается вбольшинстве литературных источников.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1213. ОПЕРАЦИИ НАДТЕНЗОРАМИÌÃÒÓПреобразование тензоров с использованием матричной записи рассмотрим на примере трехвалентных тензоров типа (2, 1).Запишем закон преобразования тензора akij при замене базиса:eakij = vrk arpq upi uqjÌÃÒÓÔÍ-12матрица U получается из единичной прибавлением ко второму столбцу первого.

Значит операция умножения блочной строки на эту матрицу состоит в том, что в каждом блоке ко второмустолбцу добавляется первый.Вторая операция arpq uqj с индексом суммирования q может быть реализована аналогично. Зафиксируем индекс p, что соответствует выбору из каждого блока столбца с номером p. В этойматрице (т.е. при фиксированном p) индекс q является номером столбца, он же в матрице uqj —номером строки. Следовательно, рассматриваемая операция есть умножение каждой матрицыиз столбцов с одинаковыми номерами справа на матрицу U .

Это равносильно элементарномупреобразованию матрицы столбцов. Так, для матрицы (13.1) преобразование состоит в прибавлении ко второму блоку первого.Рассмотрим третью операцию vrk arpq . Здеь удобно зафиксировать индекс q (номер блока).Индекс суммирования в первом множителе является номером столбца, во втором — номеромстроки. Поэтому операция состоит в умножении каждого блока на матрицу V слева.Может быть так, что, зафиксировав один индекс, мы придем к ситуации, в которой индекссуммирования в обоих множителях будет строки или номером столбца.

Скорректировать такую ситуацию можно, не трансформируя блочной матрицы, а лишь меняя положение матрицыперехода (прямой или обратной) и, возможно, транспонируя ее. Если индекс суммирования обараз есть номер строки, то матрица тензора должна быть правым множителем (ситуация определяется индексом в записи тензора), а для перевода индекса суммирования в матрице переходаÔÍ-12Это можно реализовать как три операции, связанные с матричным произведением. Порядокопераций в данном случае не важен, так как это связано с перестановкой знаков сумм.

Рассмотрим сумму arpq upi . Здесь индексом суммирования является p, а два других выступают какпараметры. Зафиксируем номер блока q. Тогда эта сумма есть произведение матрицы arp наматрицу upi , так как индекс суммирования в первом множителе есть номер столбца, а во втором — номер строки. Мы получаем, что эта операция реализуется как умножение каждогоблока a◦◦·· q (точкой в кружочке отмечены меняющиеся индексы) на матрицу U справа. Пустьматрица U имеет простейший вид и получается из единичной матрицы одним элементарнымпреобразованием столбцов или строк. Тогда умножение на эту матрицу справа реализуетсякак соответствующее элементарное преобразование столбцов левого множителя.

Например, вслучае1 1 0U =0 1 0(13.1)0 0 1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1213.3. Преобразование тензоров,записанных в матричной формеÌÃÒÓÌÃÒÓПриведем матричную запись одного из четырехвалентных тензоров, рассматривая двумерное линейное пространство. Тензор alijk записывается следующим образом:a1111 a1211 a1112 a1212 2 a111 a2211 a2112 a2212 . 1111  a121 a221 a122 a222 a2121 a2221 a2122 a2222ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ24ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1213. ОПЕРАЦИИ НАДТЕНЗОРАМИÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ25вниз ее надо транспонировать. Таким образом, операция сводится к умножению слева на транспонированную матрицу перехода.

Аналогично рассматриваются и другие варианты. Напримербилинейная форма aij преобразуется по закону eaij = apq upi uqj Суммирование по индексу q — этоумножение матрицы билинейной формы справа на матрицу U , а суммирование по индексу pт(номеру строки матрицы билинейной формы) — это умножение слева на матрицу U . Темсамым мы получаем изветсную формулу преобразования матрицы квадратичной формы.Альтернирование также реализуется в матричной форме.

Для тензора aijk альтернированиепо двум верхним индексам, определяемое формулойsijk =1 ijak − ajik ,21тÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12равносильно выполнению для каждого блока Ak операции (Ak − Ak ). Для тензора akij аль2тернирование можно реализовать следующим образом. Фиксирование индекса k равносильновыбору одной строки блочной матрицы, т.е. трех строк в трех разных блоках с одним номером.1тЗаписав эти три строки в матрицу Ak и выполнив операцию (Ak − (Ak ) ), получим новую2матрицу S k , которую в обратном порядке следует записать в блочную матрицу (первую строкув первый блок и т.д.).Свертку в тензоре akij можно выполнить двумя способами: akkj и akik . Зафиксировав индекс jили i, мы получим вариант свертки для матрицы, которая на самом деле есть след матрицы.Найдя след для каждого значения фиксированного индекса, мы получим компоненты тензораранга 1.

В данном случае это ковектор, и его следует записать в виде строки.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1213. ОПЕРАЦИИ НАДТЕНЗОРАМИÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ...............................................................................................9. Жорданова нормальная форма9.1. Корневые подпространства . . .9.2.

Жорданова нормальная форма9.3. Комплексные корни . . . . . . .9.4. Теорема Кэли — Гамильтона .........................................................................................121214192013. Операции над тензорами13.1. Понятие тензора . . .