Множества и отношения. Алгебра множеств.Отображения и соответствия. Отношения и операции. Элементы математической логики (Избранные лекции), страница 4

Операции над высказываниями. Логические связки. Высказывания с переменными (предикаты). Алгебра предикатов. Связь алгебры множеств и алгебры предикатов. Логическая интерпретация отношений.ÔÍ-12ÔÍ-1214.4. Элементы математической логикиÌÃÒÓÌÃÒÓВ каждом случае факторизации можно рассмотреть отображение Φ: A → 2A , которое каждому элементу x ∈ A ставит в соответствие его класс эквивалентности Cx . Такое отображениеназывают каноническим.

Каноническое отображение можно рассматривать как математическую реализацию идеи агрегирования: совокупности объектов с аналогичными свойствами всоответствие ставится один элемент, играющий роль символа, знака этой совокупности.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ34ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ14. МНОЖЕСТВА ÔÍ-12И ОТНОШЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ35ÔÍ-12Различают предикаты одноместные, двуместные, трехместные и т.д. — по количеству входящих в предикат переменных. Предикат Множество A пустое“ — одноместный предикат,”областью значений переменной в котором является класс всех множеств.

Предикат x 6 y двуместный, а областью значений переменных может быть одна из числовых систем (множествоцелых чисел, рациональных чисел, действительных чисел).Предикаты так же, как и высказывания, можно соединять логическими связками (например,x > 0 ∧ x < 1).Предикат может задавать коллективизирующее свойство при описании множества с помощью свертки или выделения, например {x: x ∈ R ∧ |x − 1| < 2}. В действительности мы любой одноместный предикат можем использовать для описания класса или множества.

Наоборот, если множество A определено, то предикат x ∈ A является логическим эквивалентомлюбого другого, описывающего коллективизирующее свойство. При этом класс или множество {x: ϕ(x) ∨ ψ(x)} есть объединение классов (множеств) {x: ϕ(x)} и {x: ψ(x)}, а запись{x: ϕ(x) ∧ ψ(x)} — пересечение этих классов (множеств). Тем самым между теоретико-множественными операциями объединения и пересечения, с одной стороны, и логическими дизъюнкцией и конъюнкцией, с другой, устанавливается соответствие. Аналогично соответствиемежду дополнением множеств и отрицанием высказываний. В результате любое выражение теории множеств можно трансформировать в некоторый предикат с использованием логическихсвязок и наоборот.Одно из следствикй такого соответствия — логическая интерпретация отношений.

Пустьρ ⊂ An — n-арное отношение на множестве A. Тогда мы можем сформировать записьÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ14. МНОЖЕСТВА ÔÍ-12И ОТНОШЕНИЯÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓРавномощные множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Понятие о нумерации счетного множества. Отображения конечных множеств: сюръекция ⇔ инъекция. Свойствамощности: а) бесконечное множество имеет счетное подмножество; б) в любом бесконечном множестве можно выделить любое конечное число непересекающихся счетных подмножеств; в) любоеподмножество счетного множества конечно или счетно; г) объединение не более чем счетного семейства счетных множеств счетно; д) объединение бесконечного множества M с не более чем счетныммножеством равномощно M .

Теорема Кантора — Бернштейна. Мощность булеана. Континуум.Мощность множества отображений f : X → Y .ÌÃÒÓÔÍ-1214.5. Мощность множествÔÍ-12ÌÃÒÓкоторую можно рассматривать как логический эквивалент отношения. Таким образом, мывсегда можем интерпретировать n-арное отношение как n-местный предикат. Наиболее распространено это в категории бинарных отношений. Знаки равенства, неравенства, принадлежности, параллельности, эквивалентности и т.п. — тому примеры. Например, запись x < y надорассматривать как предикатную запись отношения {(x, y) ∈ R2 : x < y}.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(x1 , x2 , . .

. , xn ) ∈ ρ,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ...............................................................................................9. Жорданова нормальная форма9.1. Корневые подпространства . . .9.2. Жорданова нормальная форма9.3. Комплексные корни . . . . . . .9.4. Теорема Кэли — Гамильтона .........................................................................................121214192013. Операции над тензорами13.1.

Понятие тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Матричная запись тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Преобразование тензоров, записанных в матричной форме . . . .

. . . . . . . . . .2222232414. Множества и отношения14.1. Алгебра множеств . . . . . . . . . .14.2. Отображения и соответствия . . .14.3. Отношения и операции . . . . . . .14.4. Элементы математической логики14.5. Мощность множеств . . . . . . . ......262630323435.....363636363640..........................16. Кольца и поля16.1.

Кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2. Специальные типы колец . . . . . . . .16.3. Гомоморфизмы колец и факторизация16.4. Модули и алгебры . . . . . . . . . . . .16.5. Алгебры на полем . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................19. Полукольца и булевы алгебры19.1.

Определение полукольца . . .19.2. Ряды в полукольцах . . . . . .19.3. Замкнутые полукольца . . . .19.4. Системы линейных уравнений19.5. Симметричные полукольца . .19.6. Решетки . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................51515357586367...в... . . .

. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .полукольцах. . . . . . . .. . . . . . . .69............ÔÍ-12.....434345494950ÌÃÒÓ17. Кольцо многочленов17.1. Определение кольца многочленов . . . . . . . . .17.2. Деление с остатком и его свойства . . . . . . . .17.3. Разложение на неприводимые множители . . . .17.4. Использование делимости в теории шифрования17.5. Кватернионы . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÔÍ-12ÔÍ-12.....ÌÃÒÓÌÃÒÓ.....1134610ÔÍ-124. Псевдорешения и псевдообратная матрица4.1. Метод наименьших квадратов . . . . . . . .4.2. Псевдорешения . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Скелетное разложение . . . . .

. . . . . . .4.4. Псевдообратная матрица . . . . . . . . . . .4.5. Проектирование на подпространство . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ.