Кольцо многочленов. Определение кольца многочленов. Деление с остатком и его свойства. Разложение на неприводимые множители (Избранные лекции)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»ÌÃÒÓÀ.Í. ÊàíàòíèêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈÏÎ ÀËÃÅÁÐÅÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ÔÍÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВÔÍ-12ÌÃÒÓ{ai } + {bi } = {ai + bi }.Произведением двух последовательностей {ai } и {bi } назовем последовательность {ci }, членыкоторой вычисляются в соответствии с правиломiXak bi−k .k=0Непосредственная проверка аксиом кольца показывает, что с введенными операциями множество K f является коммутативным кольцом с единицей, причем множество последовательностей,у которых отличен от нуля только начальный член, т.е.

последовательностей вида {a0 , 0, 0, . . .}образует в K f подкольцо, изоморфное кольцу K. В кольце K f выделим последовательности ei ,ÔÍ-1243ÔÍ-12ci = a0 bi + a1 bi−1 + . . . + ai b0 =ÌÃÒÓзадает функцию, тождественно равную нулю, поскольку при любом значении переменной zзначением многочлена является нуль.С алгебраической точки зрения многочлен — это просто формальная сумма, полностью определяемая набором коэффициентов. Совокупность многочленов можно ввести аксиоматически как некую алгебраическую систему, например, следующим образом.Рассмотрим множество K f последовательностей элементов кольца K, в которых члены последовательности, начиная с некоторого, равны нулю (так называемые финитные последовательности).

Самый последний ненулевой член финитной последовательности будем называть ее степенью. Начальному члену последовательности присвоим номер 0. На множестве K fвводим операции сложения и умножения по следующим правилам. Сложение покомпонентно:ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓz(z − 1) . . . (z − p + 1)ÔÍ-12ÔÍ-12в котором ai , i = 0, n, — элементы кольца K, а x — формальный символ, называемый переменной многочлена.Многочлен можно рассматривать с разных точек зрения. С функциональной точкизрения многочлен — это специального вида функция, или, точнее, отображение кольца Kв себя, значение которой для данного элемента кольца получается вычислением выражения.Такой подход уже использовался в теории квадратичных форм, когда квадратичная форматакже рассматривалась как функция на линейном пространстве.Однако в теории колец функциональная точка зрения не всегда допустима. Дело в том, чтов некоторых кольцах разные многочлены могут задавать одну и ту же функцию.

Например, вкольце Zp остатков в Z по модулю p многочленÌÃÒÓÌÃÒÓПусть K — коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K называютвыражение видаa0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n ,ÔÍ-12ÔÍ-12Кольцо многочленов над коммутативным кольцом с 1. Алгебраическая и функциональная точкизрения на понятие многочлена. Многочлены и расширения основного кольца.

Алгебраические итрансцендентные элементы кольца. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Теорема: еслиA — целостное кольцо, то и A[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо. Следствие: deg(f g) = deg f + deg g.ÌÃÒÓÌÃÒÓ17.1. Определение кольца многочленовÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ44{a0 , a1 , . .

. , an , 0, 0, . . .},что выполняется равенство a0 + a1 t + . . . + an tn = 0. В противном случае элемент t называетсятрансцендентным. Каждый трансцендентный элемент t порождает кольцо K[t], изоморфное кольцу многочленов K f .Пример 17.1. Рассмотрим множество отображений кольца K в себя. С операциями поточечного сложения и умножения, т.е.(f g)(x) = f (x)g(x),множество отображений является коммутативным кольцом с единицей, включающим в себякольцо K (как постоянные функции).

Выбрав в качестве t тождественное отображение, получимподкольцо K[t] функций, порождаемых многочленами над кольцом K. Если K — бесконечноекольцо, а t — бесконечного порядка, то t — трансцендентный элемент. Иначе он являетсяалгебраическим. #Теорема 17.1. Если K — целостное кольцо, то K[x1 , x2 , . . . , xn ] — тоже целостное кольцо.ÔÍ-12Кольцо K[x] — это кольцо многочленов одной переменной. Аналогично можно ввести кольцоK[x1 , . . . , xn ] многочленов от n переменных.

Непосредственное построение такого кольца, подобное построению K f , сложное. Однако отметим, что кольцо K[x1 , . . . , xn ] можно рассматриватькак расширение кольца K[x1 , . . . , xn−1 ], полученное с помощью переменной xn . Мы получаемрекуррентное построение колец многочленов с любым числом переменных.ÌÃÒÓ(f + g)(x) = f (x) + g(x),ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓпричем сумме элементов соответствует сумма многочленов, а произведению — произведениемногочленов.

Таким образом, возникает гомоморфизм ϕt , который финитной последовательности {a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .} ставит в соответствие элемент p = a0 + a1 t + . . . an tn . Очевидно,что этот гомоморфизм является эпиморфизмом (отображением на“). Если он является изомор”физмом, то мы имеем кольцо K[t], изоморфное кольцу K f .b \ K называется алгебраическим, если существует такой многочленЭлемент t ∈ KÌÃÒÓÔÍ-12p = a0 + a1 t + .

. . an tn ,ÔÍ-12ÌÃÒÓМы построили кольцо, включающее в себя кольцо K (как говорят, расширение кольцаK), каждый элемент которого естественным образом ассоциируется с некторым многочленом.Мы могли бы заявить, что кольцо многочленов и есть построенное нами кольцо K f , однакоформально существуют и другие способы построения, приводящие к аналогичным результатам. Нам следует назвать кольцом многочленов любое расширение кольца K, полученное добавлением одного элемента, изоморфное кольцу K f . Более общий подход к построению такихрасширений такой.b — какое-либо расширение кольца K.

Выберем некоторый элемент t ∈ Kb \K иПусть Kb порожденное множеством K ∪ {t}. Нетрудно показать, чторассмотрим подкольцо K[t] в K,каждый элемент p ∈ K[t] имеет представлениеÌÃÒÓÔÍ-12Элемент e0 является единицей в кольце K f . Полагая x = e1 , заключаем, что ei = xi . Отождествив каждый элемент {a, 0, 0, } с элементом a ∈ K, мы можем записатьÔÍ-12ÔÍ-12{a0 , . . . , an , 0, . . .} = a0 + a1 x + . .

. + an xn .{a0 , . . . , an , 0, . . .} = a0 e0 + a1 e1 + . . . + an en .ÌÃÒÓу которых отличен от нуля только один член с номером i, причем этот член равен 1. Нетрудноубедиться в том, что ei · ej = ei+j и, следовательно, ei = (e1 )i . Также легко установить, чтоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ45J Доказательство строится по индукции по числу переменных многочлена. Достаточно доказать утверждение для n = 1. Непосредственно из определения произведения многочленоввытекает, что еслиp = a0 + a1 x + .

. . + an x n ,q = b0 + b1 x + . . . bm x m ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВpq = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + . . . + an bm xn+m(все остальные члены финитной последовательности равны нулю). Из условия целостностикольца K заключаем, что an bm 6= 0, т.е. многочлен pq отличен от нулевого и, более того, егостепени равна сумме степеней сомножителей. IÌÃÒÓÌÃÒÓгде an 6= 0 и bm 6= 0, то17.2. Деление с остатком и его свойстваМногочлен одной переменной над полем. 1) p ... q ⇒ deg p > deg q; 2) p ... q, q ...

r ⇒ p ... r;3) p1 ... q, p2 ... q ⇒ p1 ± p2 ... q; 4) p ... q ⇔ pr ... qr. НОД и алгоритм Евклида. Два следствия изалгоритма Евклида.свойства: 5) НОД(pr, qr) = r НОД(p, q); 6) r — общий делитель ДальнейшиеНОД(p, q)p q=; 7) pr ... q, НОД(r, q) = 1 ⇒ p ... q; 8) НОД(r, q) = 1 ⇒p и q ⇒ то НОД ,r rrНОД(pr, q) = НОД(p, q); 9) p ... q, p ... r, НОД(q, r) = 1 ⇒ p ... qr. НОД трех и более многочленов. НОКдвух многочленов. Связь с НОД. НОК трех многочленов.Рассмотрим кольцо P [x] многочленов над некоторым полем P .p = αq + β.(17.1)задан и фиксирован. Если deg p < deg q = m, то представление (17.1) будет выполняться приα = 0, β = p. Пусть доказано, что представление (17.1) существует для любых многочленов p,степень которых не превышает k > m. Выберем произвольный многочленp(x) = a0 + a1 x + .

. . + ak xk + ak+1 xk+1ÔÍ-12J Доказательство существования представления (17.1) проводится методом математическойиндукции по степени многочлена p.Пусть многочленq(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xmÌÃÒÓТеорема 17.2. Для любых многочленов p, q ∈ P [x], q 6= 0, существует такая, и притомединственная, пара многочленов α, β ∈ P [x], причем deg β < deg q, чтоÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПроизведение pn qm есть однородный многочлен степени n + m, отличный от нуля, поскольку вкольце K[x1 , . .

. , xn ] нет делителей нуля. Значит, и призведение pq имеет степень n + m. IÌÃÒÓÔÍ-12где многочлен pi — совокупность слагаемых многочлена p степени i, т.е. однородный многочлен порядка i. Представив таким же образом другой многочлен q степени m, заключаем,чтоpq = p0 q0 + (p1 q0 + p0 q1 ) + . . .