Методичка PA9

А.О. ИльницкийВ.Б.Маничев, М.Ю.Уваров, В.А. ТрудоношинМОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТЕХНИЧЕСКИХСИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСАМетодические указания к циклу лабораторных работ по курсу“Основы автоматизированного проектирования”МОСКВА200421. Краткое описание ПА9ПА9 – комплекс программ, предназначенный для анализа динамикиэлектрических, механических, гидравлических, пневматических, тепловых иразнородных технических систем, основанный на методе физических аналогий.Моделируемый объект задается графическим изображением эквивалентной схемы,которая представляет собой совокупность связанных между собой по определеннымправилам элементов, являющихся математическими моделями компонентованализируемой технической системы. По графическому изображению эквивалентнойсхемы ПА9 автоматически формирует математическую модель в виде системыдифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), описывающей динамическиепроцессы в исходной технической системе.

Для интегрирования системы ДАУ в ПА9применяются неявные А-устойчивые методы интегрирования: метод Эйлера (1-гопорядка точности) и метод трапеций (2-го порядка точности). Графический редакторобеспечивает весь необходимый набор функций для формирования эквивалентнойсхемы моделируемого технического объекта. Результаты моделирования отображаютсяв виде графиков зависимостей фазовых переменных моделируемого объекта отвремени.2.

Принципы моделирования динамики технических систем в комплексе ПА9Для математического моделирования технических систем различной физическойприроды (электрических, гидравлических, пневматических, механических, тепловых идр.) в ПА9 используется метод физических аналогий [1]. Согласно этому методу любойтехнической системе, функционирование которой описывается системой ДАУ, можнопоставить в соответствие некоторую формальную эквивалентную схему, котораяописывается точно такой же системой ДАУ. Для каждого элемента, который можетбыть включен в эквивалентную схему, в составе комплекса ПА9 имеетсяматематическая модель в виде подсистемы ДАУ (компонентные уравнения схемы).Помимо набора элементов, входящих в эквивалентную схему, необходимо задать такжеих взаимосвязи между собой (топологические уравнения схемы), а также параметрыэлементов (численные значения коэффициентов компонентных уравнений).2.1.

Правила формирования эквивалентной схемыСостояние эквивалентной схемы в любой момент времени характеризуетсяформальными безразмерными переменными двух типов: переменные типа “потока” ипеременные типа “потенциала”.а) “Потоки” через внешние узлы элементов эквивалентной схемы: In(t), где n порядковый номер внешнего вывода элемента, t - модельное время. Этому типупеременных соответствует первое фундаментальное уравнение связей элементовэквивалентной схемы: уравнение равновесия “потоков” в узлах – алгебраическая сумма“потоков” втекающих в любой узел схемы равна нулю.б) “Потенциалы” узлов эквивалентной схемы относительно заранее выбранногобазового узла (системы отсчета): Fi(t), или “разности потенциалов”: Uij(t) = Fi(t) Fj(t) между двумя узлами эквивалентной схемы с номерами i и j. Этому типупеременных соответствует второе фундаментальное уравнение связей элементовэквивалентной схемы: уравнение совместимости “разностей потенциалов” для любогозамкнутого контура – алгебраическая сумма “разностей потенциалов” по любомузамкнутому контуру схемы равна нулю.3Эквивалентная схема составляется из пяти базовых двухполюсных элементов(двухполюсников).2.1.1.

Модели базовых двухполюсных элементов эквивалентной схемыОбозначим номера узлов подключения некоторого двухполюсного элемента через1 и 2; поток, втекающий в первый узел двухполюсника через IЭ ( IЭ = I1 = - I2; Э - типэлемента); разность потенциалов узлов, к которым он подключен, через UЭ ( UЭ = U12 =- U21 ).Элемент "источник потока" ( I ) описывается алгебраическим уравнением:II = I(V, t);Элемент "источник разности потенциалов" ( E ) описывается алгебраическимуравнением:UE = E(V, t);Элемент "емкость" ( C ) описывается дифференциальным уравнением:IC = C(V, t) * dUC/dt ;Элемент "индуктивность" ( L ) описывается дифференциальным уравнением:UL = L(V, t) * dIL/dt ;Элемент "проводимость" ( G ) описывается алгебраическим уравнением:IG = G(V, t) * UG ;ПРИМЕЧАНИЕ: Иногда вместо элемента "проводимость" удобнее использоватьэлемент "сопротивление" ( R ), уравнение для которого записывается в следующемвиде:UR = R(V, t) * IR ;В этих уравнениях: I(V,t), U(V,t), C(V,t), L(V,t), G(V,t), R(V,t) - некоторыеаналитические функции, задающие значения соответствующих коэффициентовуравнений, t - модельное время, V - вектор фазовых переменных схемы, включающий вобщем случае потенциалы всех узлов эквивалентной схемы, кроме базового, и потокичерез все двухполюсные элементы, входящие в эквивалентную схему.Полная математическая модель эквивалентной схемы состоящей из N базовыхдвухполюсных элементов, соединенных между собой в M узлах, будет содержать Nкомпонентных уравнений элементов схемы, дополненных (M-1) топологическимиуравнениями (один из узлов всегда принимается в качестве базового, т.е.

системыотсчета). В результате этого будет получена замкнутая система ДАУ:H(dV/dt, V, t) = 0,(1)где H - сформированная вектор-функция, размерность которой равна размерностивектора V. Таким образом, с помощью базовых двухполюсных элементов можнополучить модель любой технической системы (электрической, механической,гидравлической, тепловой и т.п.), динамика которой описывается системойдифференциально-алгебраических уравнений типа (1).2.1.2. Модель функционального многополюсного элементаДля реализации возможности многоуровневого моделирования сложныхтехнических систем в составе комплекса ПА9 помимо базовых двухполюсниковимеется большое число функциональных многополюсников. Они заменяют собойфрагменты эквивалентной схемы и могут включать в себя как базовые двухполюсники,так и другие, более простые многополюсники.

Система ДАУ, описывающая такоймногополюсник не является замкнутой, поскольку в ней отсутствуют топологическиеуравнения для внешних узлов. При включении такого многополюсника в4эквивалентную схему система уравнений схемы дополняется уравнениями равновесия“потоков” в узлах соединения многополюсника с другими элементами эквивалентнойсхемы, в результате система ДАУ для всей схемы получается замкнутой.Следует добавить, что модели функциональных многополюсников, в отличие отбазовых двухполюсников, как правило, специфичны для конкретной физическойподсистемы.2.2. Аналогии фазовых переменных и базовых двухполюсников в различныхфизических подсистемахТаблица 1.Аналогии между фазовыми переменными для различных физических подсистем.ПодсистемаПотокПотенциалБазовый узелЭлектрическаяТокШина «земля»МеханическаяпоступательнаяМеханическаявращательнаяГидравлическая(пневматическая)ТепловаяСилаЭлектрическийпотенциалСкоростьМомент силыУгловая скоростьРасходДавлениеТепловой потокТемператураНеподвижнаясистема отсчетаНеподвижнаясистема отсчетаАтмосфера илиабсолютный вакуумОкружающая средаили абсолютный нульТаблица 2.Аналогии базовых двухполюсников для различных физических подсистем.ПодсистемаЭлектрическаяТипа CЕмкостьДвухполюсникиТипа LТипа GИндуктивностьМеханическаяпоступательнаяМеханическаявращательнаяМассаУпругостьМоментинерцииВращательнаягибкостьГидравлическая(пневматическая)Гидравлическая емкостьГидравлическаяиндуктивностьТепловаяТеплоемкостьТипа RСопротивлениеВязкоетрениеВязкоевращательноетрениеГидравлическоесопротивлениеТеплопроводность53.

Краткое описание схемного графического редактора ПА9Окно графического редактора ПА9Основную часть окна графического редактора занимает поле схемы. Если полесхемы целиком не помещается в окне, то справа и снизу добавляются полосыпрокрутки. Поле схемы разбито сеткой на квадратные ячейки.

Все составные частисхемы всегда обязательно привязываются к этой сетке и занимают всегда целое числоячеек. Для выполнения основных функций редактирования могут быть использованымышь и клавиатура.Составные части схемы1. Элементы технических объектов. Графические изображения элементоввсегда занимают прямоугольную область, ширина и высота которой кратны размеруячейки сетки. Внешние выводы элементов всегда располагаются по периметру этойобласти и обязательно по середине стороны квадрата ячейки. Каждому элементу,включенному в состав комплекса ПА9 соответствует математическая модель (илинесколько моделей), которые разработаны по методике, описанной выше.

Для каждогоэлемента необходимо задать определенный набор параметров. Для моделирования неважно, в каком месте поля схемы расположены элементы; важна лишь взаимосвязьэлементов между собой, а также численные значения их параметров.2. Источники сигналов. Они используются для задания внешних входныхвоздействий на моделируемый объект.3. Связи. Связи используются для указания того, как элементы эквивалентнойсхемы связаны между собой.

Конфигурация связи не имеет значения длямоделирования схемы, более того, связь можно вообще не использовать, если элементырасположить вплотную друг к другу. Связи всегда проходят через центры ячеек сетки.4. Базовые узлы. Используется для указания того, что элемент (или группаэлементов) связан с системой отсчета. В схеме обязательно должен присутствоватьхотя бы один базовый узел.5. Метки. Они используются для идентификации элементов в схеме. Длямоделирования не имеет значения ни местоположение метки, ни ее текст.6. Индикаторы. Служат для задания расчетных переменных, которые будутвыводиться на графики в процессе моделирования.

Индикаторы потенциала иинтеграла потенциала подключаются своим внешним выводом к тому узлу схемы,потенциал или интеграл потенциала которого предполагается выводить на график.Индикатор потока включается в разрыв связи.7. Операторы. Операторы задают последовательность действий помоделированию схемы. Для того, чтобы несколько операторов выполнялисьпоследовательно, их надо расположить на поле схемы вертикально один под другим.По набору команд пользовательского интерфейса все составные части схемы можноразделить на три группы:Элементы, источники сигнала, индикаторы, операторы. Для нихпредусмотренунифицированныйнаборопераций:создание,удаление,отсоединение/присоединение, перемещение, копирование, трансформирование, заданиеатрибутов.

Далее все эти составные части схемы мы будем называть обобщающимтермином - "компоненты схемы".6Связи и базовые узлы. Для них имеются только операции создания и удаления,причем процедуры формирования и удаления связей отличаются от аналогичныхпроцедур для компонентов.Метки. Для них вообще не предусмотрено никаких операций - все операции сними система выполняет автоматически. Так, например, если затереть метку связьюили элементом, она автоматически переместится на другое свободное место.Курсоры и фокус вводаПомимо обычного системного курсора в форме стрелки в графическом редактореПА9 на экране всегда присутствует еще и дополнительный курсор.