Кутыркин Сферическме сплайны (Раздаточные материалы)

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКАУДК 004.932.4Ю. В. Ю р и н, В. А. К у т ы р к и нАППРОКСИМАЦИЯ СФЕРИЧЕСКИМИСПЛАЙНАМИ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ,ОГРАНИЧИВАЮЩЕЙ ЗВЕЗДНУЮ ОБЛАСТЬЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВАПредложены методы аппроксимации гладкой поверхности, ограничивающей звездную область евклидова пространства, на основесферических сплайнов, которые являются линейными комбинациями базисных локальных сферических сплайнов. Экспериментальнаяцифровая информация о поверхности представлена в виде набораслучайных точек на поверхности, заданных с некоторой погрешностью.

Носитель каждого базисного локального сплайна задан спомощью локальной сетки. Общая восстанавливаемая информация о таких локальных сетках представлена в виде псевдосетки, вкоторую входят не все узлы локальных сеток. Применение предложенных методов показано на примерах аппроксимации достаточно сложных поверхностей.E-mail: ven8469@yandex.ru, vkutyrkin@yandex.ruКлючевые слова: сферический сплайн, локальный сплайн, аппроксимация поверхности, псевдосетка укладки прямоугольника.Задача аппроксимации поверхностей актуальна для многих прикладных исследований. В частности, решение такой задачи требуетсяпри фильтрации зашумленных цифровых сигналов (изображений).

Вэтом случае, как правило, ограничиваются поверхностями, аналитическое описание которых задается одной картой, когда поверхностьдиффеоморфна некоторой области двумерного евклидова пространства [1]. Однако во многих прикладных исследованиях физическихсвойств различных материалов возникает задача аппроксимациигладких поверхностей, ограничивающих некоторую звездную область трехмерного евклидова пространства.

Такие поверхности недопускают аналитического описания одной картой. Они встречаютсяпри описании пластических и прочностных свойств композиционныхматериалов [2, 3] и называются поверхностями текучести и прочности соответственно. Фактически аналитическое описание таких поверхностей определяется гладкими функциями на сфере единичногорадиуса в евклидовом пространстве.

Для аналитического описанияповерхности этого типа также можно использовать сферическую си174ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012ɫɬɟɦɭ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɟɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɰɟɧɬɪ ɡɜɟɡɞɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ. ɇɨ ɩɪɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɢ ɬɚɤɨɣɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ ɩɪɨɛɥɟɦɵ «ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ» ɫɤɥɟɣɤɢɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɢ ɟɟ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɜ «ɩɨɥɸɫɚɯ» [4].ȼ ɧɚɫɬɨɹɳɟɣ ɪɚɛɨɬɟ ɩɪɟɞɥɚɝɚɸɬɫɹ ɦɟɬɨɞɵ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɢ ɝɥɚɞɤɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɨɝɪɚɧɢɱɢɜɚɸɳɟɣ ɡɜɟɡɞɧɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɟɜɤɥɢɞɨɜɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ, ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɢɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ, ɹɜɥɹɸɳɢɯɫɹ ɝɥɚɞɤɢɦɢɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɧɚ ɫɮɟɪɟ ɟɞɢɧɢɱɧɨɝɨ ɪɚɞɢɭɫɚ. ȼ ɷɬɢɯ ɦɟɬɨɞɚɯ ɜɵɛɨɪ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɫ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ, ɫɥɭɱɚɟɧ, ɱɬɨ ɧɟ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɚɬɶɫɹ ɧɚ ɤɚɤɢɟ-ɥɢɛɨɫɟɬɤɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ.

ɉɨɷɬɨɦɭ ɜ ɪɚɛɨɬɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɩɫɟɜɞɨɫɟɬɤɢ,ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɢɟ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɥɨɤɚɥɶɧɵɟ ɫɟɬɤɢ ɞɥɹ ɧɨɫɢɬɟɥɟɣ ɛɚɡɢɫɧɵɯɫɮɟɪɢɱɟɫɤɢɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ. ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɶ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɧɨɝɨ ɩɨɞɯɨɞɚ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɧɚ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɹɯ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɢɦɢ ɫɩɥɚɣɧɚɦɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɫɥɨɠɧɵɯ ɝɥɚɞɤɢɯ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɟɣ, ɨɝɪɚɧɢɱɢɜɚɸɳɢɯ ɡɜɟɡɞɧɵɟ ɨɛɥɚɫɬɢɟɜɤɥɢɞɨɜɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ.Ȼɚɡɢɫɵ ɥɨɤɚɥɶɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ ɞɥɹ ɝɥɚɞɤɢɯ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ ɮɭɧɤɰɢɣ. ȼ ɧɚɫɬɨɹɳɟɣ ɪɚɛɨɬɟ ɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɝɥɚɞɤɢɯ ɧɚ ɫɮɟɪɟɮɭɧɤɰɢɣ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɥɨɤɚɥɶɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ, ɫɬɪɭɤɬɭɪɚɤɨɬɨɪɵɯ ɭɱɢɬɵɜɚɟɬ ɬɨɩɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɫɮɟɪɵ. Ⱦɥɹ ɜɜɟɞɟɧɢɹɬɚɤɢɯ ɞɜɭɦɟɪɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɟ ɥɨɤɚɥɶɧɵɟɫɩɥɚɣɧɵ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɦ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɜɤɨɧɰɚɯ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ.ɉɭɫɬɶ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ a; b ] ɡɚɞɚɧɵ ɫɟɬɤɚ Ⱥ ɢ ɟɟ ɪɚɫɲɢɪɟɧɢɟ ɞɨ ɫɟɬɤɢA0 ɡɚ ɷɬɨɬ ɨɬɪɟɡɨɤ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ­° A (a W 0 , W1 , ..., W N b);®°̄ A 0 (W 3 , W 2 , W 1 , W 0 , W 1 , ..., W N , W N 1 , W N 2 , W N 3 ),(1)ɝɞɟ W 3  W 2  W 1  W 0  W1  ...

 W N  W N 1  W N 2  W N 3 .Ⱦɥɹ ɜɜɟɞɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɯ ɥɨɤɚɥɶɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [0;1]ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ QD ɜɢɞɚ­°t 3 , 0 d t  D ;°°°(t D )332D (1 D )QD (t ) ®t , D d t  1D;1 2D°°33°t 3 (t D 1) (t D ) , 1 D d t d 1,1 2D¯°ISSN 1812-3368. ȼɟɫɬɧɢɤ ɆȽɌɍ ɢɦ. ɇ.ɗ. Ȼɚɭɦɚɧɚ. ɋɟɪ. «ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɧɚɭɤɢ».

2012(2)175ɝɞɟ D  (0; 0,5) — ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɱɢɫɥɨ (ɜ ɪɚɛɨɬɟ D 0, 25 ). Ʉɪɨɦɟɬɨɝɨ, ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɮɭɧɤɰɢɢ (2) ɞɥɹ ɭɡɥɚ W i ( 1 d i d N 1 ) ɫɟɬɤɢA0 ɢɡ (1) ɜɜɨɞɢɬɫɹ ɝɥɚɞɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ Bi 1 ɜɢɞɚ­0, W  W i 2 ;°° § W W ·i 2°QD ¨¸,WW°° © i i 2 ¹Bi 1 (W ) ®° §W W i°QD ¨1 ° © W i2 W i°°̄0, W ! W i 2 .W  [W i 2 ; W i );·¸ , W  [W i ; W i 2 ];¹(3)ɉɪɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɢɡɥɨɠɟɧɢɢ ɩɨɬɪɟɛɭɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɢɞɚ (3) ɞɜɭɯɬɢɩɨɜ.Ⱦɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɢɩɚ ɫɟɬɤɚ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ­°W1 W 0 W N 1 W N , W 2 W1 W N 2 W N 1 , W 3 W 2 W N 3 W N 2 ;(4)®°̄W 0 W 1 W N W N 1 , W 1 W 2 W N 1 W N 2 , W 2 W 3 W N 2 W N 3 .Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜɢɞɚ (3) ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɢɩɚBi 1B1i 1 , 1 d i d N 1.(5)ȿɫɥɢ ɠɟ ɞɥɹ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɨɣ ɫɟɬɤɢ A0 ɢɡ (1) ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹW0W 1 W1, WN2ɬɨ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜɢɞɚ (3) ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɢɩɚBi 1W N 1 W N 12Bi21 , 1 d i d N 1.,(6)(7)Ɏɭɧɤɰɢɢ ɜɢɞɚ (5) (ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɢɩɚ), ɢɧɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɫɟɬɤɨɣ A0 ɢɡ(1), ɤɨɬɨɪɚɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (4), ɩɪɟɞɧɚɡɧɚɱɟɧɵ ɞɥɹ ɜɜɟɞɟɧɢɹɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ ɝɥɚɞɤɢɯ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S ; S ] ɫɩɥɚɣɧɨɜ, ɢɦɟɸɳɢɯ ɜ ɤɨɧɰɚɯ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɪɚɜɧɵɟ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɢɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ (ɫɜɨɣɫɬɜɨ «ɩɟɪɢɨɞɢɱɧɨɫɬɢ» ɫɩɥɚɣɧɚ).

Ȼɚɡɢɫɧɵɟ ɝɥɚɞɤɢɟ ɫɩɥɚɣɧɵ H1 , …, H N 1 ɷɬɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ, ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɬɨɥɶɤɨ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S ; S ] , ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ176ISSN 1812-3368. ȼɟɫɬɧɢɤ ɆȽɌɍ ɢɦ. ɇ.ɗ. Ȼɚɭɦɚɧɚ. ɋɟɪ. «ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɧɚɭɤɢ». 2012­ H1 (W ) B01 (W ) B1N (W ), W  [S ; S ];°° H (W ) B1 (W ) B1 (W ), W  [S ; S ];1N 1° 2®° H 3 (W ) B21 (W ) B1N 2 (W ), W  [S ; S ];°° H (W ) B1 (W ), W  [S ; S ], 3 d i d N 1.i¯ i(8)ȼɫɟ ɫɩɥɚɣɧɵ ɢɡ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɢ ɛɚɡɢɫɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ (8) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɝɥɚɞɤɢɦɢ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S ; S ] ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɦɟɸɬ ɜ ɤɨɧɰɚɯ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɪɚɜɧɵɟ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɢɟɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ (ɫɜɨɣɫɬɜɨ «ɩɟɪɢɨɞɢɱɧɨɫɬɢ» ɫɩɥɚɣɧɚ).Ɏɭɧɤɰɢɢ ɜɢɞɚ (7) (ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɢɩɚ), ɢɧɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɫɟɬɤɨɣ A0 ɢɡ(1), ɤɨɬɨɪɚɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (6), ɩɪɟɞɧɚɡɧɚɱɟɧɵ ɞɥɹ ɜɜɟɞɟɧɢɹɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ ɝɥɚɞɤɢɯ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S 2 ; S 2] ɫɩɥɚɣɧɨɜ,ɢɦɟɸɳɢɯ ɜ ɤɨɧɰɚɯ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɧɭɥɟɜɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ.

Ȼɚɡɢɫɧɵɟɝɥɚɞɤɢɟ ɫɩɥɚɣɧɵ h1 , …, h N 1 ɷɬɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ, ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟɬɨɥɶɤɨ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S 2 ; S 2], ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ­h1 (W ) B12 (W ), W  [ S 2; S 2];°°22°h2 (W ) B0 (W ) B2 (W ), W  [ S 2; S 2];°°2®hi (W ) Bi (W ), W  [ S 2; S 2], 3 d i d N 1;°°h (W ) B 2 (W ) B 2 (W ), W  [ S 2; S 2];NN 2° N°2°̄h N 1 (W ) BN 1 (W ), W  [ S 2; S 2].(9)ȼɫɟ ɫɩɥɚɣɧɵ ɢɡ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɢ ɛɚɡɢɫɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ (9) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɝɥɚɞɤɢɦɢ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S 2 ; S 2] ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ, ɢɦɟɸɳɢɦɢ ɜɤɨɧɰɚɯ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɧɭɥɟɜɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɜɫɟɫɩɥɚɣɧɵ ɢɡ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɢ ɛɚɡɢɫɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ (9) ɹɜɥɹɸɬɫɹɝɥɚɞɤɢɦɢ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ S 2 ; S 2] ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ, ɬɚɤɠɟ ɢɦɟɸɳɢɦɢ ɜɤɨɧɰɚɯ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɧɭɥɟɜɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ.Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɚɯ [ S ; S ] ɢ [ S 2 ; S 2] ɫɩɥɚɣɧɵ(8) ɢ (9) ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚɦN 1N 1i 1i 1¦ Hi { 1; ¦ hi { 1.ISSN 1812-3368.

ȼɟɫɬɧɢɤ ɆȽɌɍ ɢɦ. ɇ.ɗ. Ȼɚɭɦɚɧɚ. ɋɟɪ. «ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɧɚɭɤɢ». 2012(10)177Ȼɚɡɢɫɵ ɝɥɚɞɤɢɯ ɥɨɤɚɥɶɧɵɯ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɢɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ. Ⱦɥɹ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɝɥɚɞɤɢɯ ɧɚ ɫɮɟɪɟ ɟɞɢɧɢɱɧɨɝɨ ɪɚɞɢɭɫɚ ɥɨɤɚɥɶɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜɫɧɚɱɚɥɚ ɜɜɟɞɟɦ ɢɯ ɧɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ [ S ; S ] u [ S 2 ; S 2] 3 , ɝɞɟM  [ S ; S ) ɢ T  ( S 2; S 2) — ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɭɝɥɵ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɧɚ ɫɮɟɪɟ, ɡɚ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɟɦ ɟɟ ɩɨɥɸɫɨɜ.

Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɝɥɚɞɤɢɣ ɫɩɥɚɣɧ, ɡɚɞɚɧɧɵɣ ɧɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɉ, ɦɨɠɧɨ ɛɵɥɨɛɵ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɫɩɥɚɣɧ ɧɚ ɫɮɟɪɟ, ɨɧ ɞɨɥɠɟɧ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ. ȼ ɬɨɱɤɚɯ ( S ; T )  3 ɢ (S ; T )  3 ɛɨɤɨɜɵɯ ɝɪɚɧɢɰ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɩɥɚɣɧɚ ɞɨɥɠɧɵ ɫɨɜɩɚɞɚɬɶ. ȼ ɬɨɱɤɚɯ ɜɟɪɯɧɟɣ(ɧɢɠɧɟɣ) ɝɪɚɧɢɰɵ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ 3 ɫɩɥɚɣɧ ɞɨɥɠɟɧ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢ ɢɦɟɬɶ ɧɭɥɟɜɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸɦɟɪɢɞɢɚɧɨɜ ɫɮɟɪɵ ɫ ɧɚɱɚɥɨɦ ɜ ɟɟ ɜɟɪɯɧɟɦ (ɧɢɠɧɟɦ) ɩɨɥɸɫɟ, ɢɧɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɜɟɪɯɧɟɣ (ɧɢɠɧɟɣ) ɝɪɚɧɢɰɟɣ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɉ. ɋɩɥɚɣɧɵ,ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɧɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ 3 ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɬɚɤɢɦ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɢɦɢ ɫɩɥɚɣɧɚɦɢ.ɇɨɫɢɬɟɥɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɞɚɥɟɟ ɥɨɤɚɥɶɧɵɯ ɫɩɥɚɣɧɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨɞɪɚɡɞɟɥɟɧɢɟɦ 3 ɧɚ ɛɨɥɟɟ ɦɟɥɤɢɟ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɢ, ɜɟɪɲɢɧɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟɥɶɡɹ ɡɚɞɚɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɟɬɤɨɣ ɧɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɉ.