Кутыркин В-сплайны (Раздаточные материалы)

B-сплайныСплайны с локальным носителем. (B-сплайны). В последнее время в вычислительнойпрактике широкое распространение получили B-сплайны (от английского слова bell —колокол). Эти сплайны сосредоточены на конечном носителе. Они используются как дляинтерполяции функций, так и в качестве базисных функций при построении методов типаконечных элементов.Определение. B-сплайном степени N – 1 дефекта 1 относительно узлов {t i }in nNназывается функцияBN1, n (t )BN 1 (tn , tn 1 ,, tnN , t)n N( 1) N (t Ntn )ni nN 1(ti t )maxn N(ti t j )j nj iN 1t )max(ti(tit ) N 1, t0,ttiti .Вообще говоря, определяется такой сплайн с точностью до постоянного числовогомножителя, выбором этого множителя можно обеспечить полезные свойства сплайна. Приуказанном выборе коэффициента получается нормализованный сплайн.Для простоты выкладок рассмотрим равномерную сетку tnitn i .Рассмотрим несколько частных случаев В-сплайнов.1.N = 2.

В этом случае сплайн строится наиболее просто.B1, n (t )B1 (tn , tn 1 , tn 2 , t )21(tn t )maxtn 1 )(tn tn(tn(tn t )max2(tn12)(tn 1 t )max(tn 1 tn )(tn 1 tnt )max(tn2(tn 2 t )max(tn 2 tn )(tn 2 tn 1 )2)t )max ,или11B(t )1(tn t 2tn 1 2t tn 2 t )0, t(0 2tn 1 2t tn 2 t ) 1t tn 1, tn(0 0 tn 2 t ) 10,tt tn 1, tn 1tntttn 1tn 2tn 2Это функция «крышка» или «крышечка». Она часто используется в качествебазисной функции в методах конечных элементов.Рассмотрим случай B-сплайна 2-го порядка, задаваемого формулой:x2 ;x1 2xx2 ; xS k ( x)2x2 ;x(1 x ) 2 ;При t t k 2 ,xttkttk 2,tk 1 tk 2t tk 1tktk 1t tk2,t k 1 ];,t [t k 1 , t k ];,t [t k , t k 1 ];tk 1 tkt tk 1,tk 2 tk 12,t [t kS k (x ) 0.t [t k 1 , t k2 ].Построенный сплайн обладает следующимисвойствами:1) S t (t k 2 ) S t (t k 2 ) 0;2) S (t k 1 ) S (t k 1 ) 1;3) S (t k 2 ) S (t k 2 ) 0.2.N = 4 (кубический B-сплайн) имеет вид:B3, n (t )1(tn t )3max 4(tn6 41t )3max 6(tn2t )3max 4(tn3t )3max (tnили, после несложных упрощений:0,ttn ,1(t tn )3 ,tn t tn6 41111(t tn 1 )(t tn 1 ) 2(t tn 1 )3 , tn 1 t236222 41111(tn 3 t )(tn 3 t ) 2(tn 3 t )3 , tn 2 t236222 41(tn 4 t )3 ,tn 3 t6 40,t tn 4 .1,tn 2 ,tn 3 ,tn 4 ,4t )3max ,Базисные сплайны заданной степени являются линейно независимыми функциями иобразуют базис в функциональных пространствах, что можно использовать дляпредставления с их помощью других функций этих же пространств.Любая, например, кусочно-постоянная функция на отрезке, составленном из равныхинтервалов, может быть единственным образом представлена как линейная комбинацияВ-сплайнов нулевой степени, любая кусочно-линейная функция — В-сплайнов первойстепени и т.

д. Базисные сплайны играют существенную роль при построении численныхметодов решения задач математической физики, например, метода конечных элементов втеории приближения функций, при решении задач компьютерной графики.Для аппроксимации функции имеем соотношениеNf (t )ak Sk (t ),k 0а для коэффициентов a kполучаем систему уравнений. Действительно, умноживпоследнее равенство на S l (x), получимl 2( f (t ), S k (t ))a k ( S k , S l ),k l 2где (a, b)a(t )b(t ) dt, в силу пересечения носителей лишь у сплайнов, чьи номераотличаются не более чем на 2.

(Носителем функции является отрезок, на котором онаотлична от тождественного нуля.) Интеграл, стоящий в левой части равенства, легкосчитается, а все интегралы, входящие в правую часть, легко берутся аналитически. Такимобразом, получаем, что базис из таких сплайнов близок к ортоганальному.Для B-сплайна степени 3 имеемx3;x1 3x 3x 2 3x 3 ; xBk ( x)4 6 x 2 3x 3 ;(1 x) 3 ;xxt tk2tk 1 tkt tk 1tk tkt tktk1tk2,t [t k 1 , t k ];,t [t k , t k 1 ];1tkt tk, t [t k 2 , t k 1 ];21tk, t [t k 1 , t k 2 ].1Для интерполяции функции с помощью B-сплайна 3-й степени также приходитсярешать линейную систему, определяющую коэффициенты разложения.Заметим, что для интерполяции с помощью кубического сплайна нам необходимопотребовать выполнения условияbi 1S i 1 bi S i bi 1S i 1fi ,где b — коэффициенты интерполяции, S — B-сплайн, индекс указывает на точку носителя,в которой сплайн достигает своего максимума.

Система таких соотношений, естественно,дополняется граничными условиями. Известно, что получившаяся система для определениякоэффициентов разложения будет иметь трехдиагональную матрицу с диагональнымпреобладанием при выполнении ограничения на длины соседних шагов: они должныразличаться не более, чем в1132раза, что существенно при реализации методов решенияОДУ с автоматическим выбором шага..