Вопросы для подготовки к экзамену

В О П Р О С ЫД Л ЯП О Д Г О Т О В К ИКЭ К З А М Е Н УОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ /2009гРЛ-1,6 ИУ-10 2курс, 4 сем.1.Пространства основных и обобщённых функций D(R) и D’(R) . Примеры основных и обобщённых функций.2.Сходимость в пространстве D’(R) – слабая сходимость функций.

Пример слабо сходящейся последовательностифункций и её слабого предела.3.Действия над обобщёнными функциями: линейная комбинация, умножение на гладкую функцию, линейная заменапеременных.4.Дифференцирование обобщённых функций. Производные дельта-функции Дирака.5.Определение и основные свойства дельта-функции Дирака. Связь между дельта-функцией и единичной функциейХевисайда.6.Преобразование Фурье, его основные свойства. Обратное преобразование Фурье. Формула преобразования Фурьеобобщённых функций.7.Понятие фундаментального решения линейного дифференциального оператора.

Связь фундаментального решениялинейного дифференциального оператора L c решением уравнения Lu=f.8.Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве, на плоскости.9.Третья Формула Грина. Интегральное представление решения уравнения Пуассона в области.10. Объёмный потенциал и его свойства.11. Гармонические функции. Интеграл от нормальной производной по замкнутой поверхности. Формула среднегозначения. Принцип максимума.12. Краевые задачи для уравнения Лапласа.

Свойства решений внутренних задач Дирихле и Неймана.13. Выражение решения уравнения Лапласа через функцию Грина и краевые условия.14. Метод функции Грина решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.15. Метод функции Грина решения задачи Неймана для уравнения Лапласа.16. Понятие и основные свойства гильбертова пространства. Примеры гильбертовых пространств.17.

Понятие самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве. Собственные значения, собственные векторы.18. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства оператора Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственныхфункций оператора Штурма-Лиувилля.19. Гамма-функция Эйлера, её свойства.20. Уравнение Бесселя, его частные решения. Функции Бесселя и Неймана.21.

Ортогональность функций Бесселя. Формулы квадрата нормы для граничных условий первого и второго рода.22. Уравнение Лежандра, полиномы Лежандра. Ортогональность полиномов Лежандра. Разложение в ряды пособственным функциям.23. Присоединённые функции Лежандра. Ортогональность присоединённых функций Лежандра. Разложение в ряды пособственным функциям.24. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах. Построение собственных функций.25. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в сферических координатах. Построение собственных функций.26.

Волновое уравнение как уравнение колебаний струны.27. Волновое уравнение для электромагнитных волн28. Частные решения волнового уравнения: плоская монохроматическая волна, сферическая монохроматическая волна.29. Комплексная амплитуда монохроматической волны как решение уравнения Гельмгольца.30. Уравнение Гельмгольца. Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца.31.

Интегральное представление решения уравнения Гельмгольца. Формула Кирхгоффа.32. Метод функции Грина решения первой краевой задачи (Дирихле) для уравнения Гельмгольца.33. Условия излучения Зоммерфельда для уравнения Гельмгольца в неограниченной области.34. Частные решения волнового уравнения: цилиндрические волны. Функции Ханкеля.1.