Методическое пособие «Метод Гаусса»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТимени Н.Э. БАУМАНАМетодическое пособие«Метод Гаусса»МГТУ имени Н.Э. БауманаМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТимени Н.Э. БАУМАНАМетодическое пособие«Метод Гаусса»МоскваМГТУ имени Н.Э. Баумана2012УДК 681.3.06(075.8)ББК 32.973-018И201Методическое пособие «Метод Гаусса»М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 15 с.: ил.Ил. 39.

Табл. 5. Библиогр. 7 назв.УДК 681.3.06(075.8)© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012АННОТАЦИЯВ методическом пособии проводится изучение основных принципов мозговогоштурма и техническое реализации решения задачи с повернутым стержнем. Объясняетсяпринцип построения математической модели методом Гаусса. После построенияматематической модели систем можно предугадать дальнейшее ее поведение.ANNOTATIONThe policy manual is carried out to study the basic principles of brainstorming and implementingtechnical solutions of the problem with rotated bar. Explained by the principle of constructing amathematical model of the Gauss method. After the construction of mathematical models ofsystems can predict future behavior.Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМОдним из эффективных методов решения системы алгебраических уравнений,которые получаются при использовании МКЭ, является известный вариант методаисключения Гаусса. На первом этапе исходная матрица преобразуется к треугольномувиду, после чего решение получается обратной прогонкой.Рассмотрим систему из 4-х линейных алгебраических уравнений вида:а+111х1 + а+112 х2 + а+113 х3 +а+121 х1 + а+122 х2 + а+123 х3 +а+131 х1 + а+132 х2 + а+133 х3 +а+141 х1 + а+142 х2 + а+143 х3 +а+114 х4 = b+11а+124 х4 = b+12а+134 х4 = b+13а+144 х4 = b+14Выразив из первого уравнения переменную x1, имеем:x1 =[b+11a+111-a+112a+111-a+113a+111-a+114a+111] [1 x2 x3 x4 ] тПодставляя полученное выражение для х1 во 2-е, 3-е и 4-е уравнения и приводяподобные члены, приходим к системе:а+111х1 +а+112 х2 +а+113 х3 +а+114 х4 = b+110+ (а22–а21[а12/а11])х2+(а23–а21[а13/а11])х3 +(а24–а21[а14/а11])х4 = b2–b1(а21/а11)0+ (а32–а31[а12/а11])х2+(а33–а31[а13/а11])х3 +(а34–а31[а14/а11])х4 = b3–b1(а31/а11)0+ (а42–а41[а12/а11])х2+(а43–а31[а14/а11])х3 +(а44–а41[а14/а11])х4 = b4–b1(а41/а11)В трех последних уравнениях все коэффициенты аpq и bp должны иметь верхнийиндекс (+1), поскольку эти коэффициенты взяты из исходной системы.

Далее указанныйиндекс будет использован для обозначения номера итерации решения исходной системы.Введем следующие обозначения:apq+(k+1)= apq+k- apk+k( akq+k/ akk+k) ; bp+(k+1)= bp+k- bk+k( apk+k/ akk+k)(14.1)Тогда последнюю систему можно переписать в виде:а+111х1 + а+112 х2 + а+113 х3 + а+114 х4 = b+110+ а+222 х2 + а+223 х3 + а+224 х4 = b+220+ а+232 х2 + а+233 х3 + а+234 х4 = b+230+ а+242 х2 + а+243 х3 + а+244 х4 = b+24Выразив из второго уравнения переменную x2, имеем:X2 =[b+22a+222-a+223a+222-a+224a+222]т [1 x3 x4 ]Подставляя полученное выражение для х2 в 3-е и 4-е уравнения и приводяподобные члены, приходим к системе:а+111х1 + а+112 х2 +а+113 х3 +а+114 х4 = b+11а+222 х2 +а+223 х3 +а+224 х4 = b+22(а33+2–а32+2 [а23+2/а22+2])х3 + (а34+2–а32+2 [а24+2/а22+2])х4 = b+23–b2+2(а32+2/а22+2)(а43+2–а42+2 [а23+2/а22+2])х3 + (а44+2–а42+2 [а24+2/а22+2])х4 = b+24–b2+2(а42+2/а22+2)Коэффициент при неизвестной х3 в третьем уравнении логично было быобозначить как а33+3.

Попробуем получить его формально, используя первую формулу ввыражении (14.1). С этой целью обозначим p=3 (№ строки) , q=3 (№ столбца), k=2(номер текущей итерации) и подставим эти индексы в (14.1):a33+(2+1)= a33+2- a32+2( a23+2/ a22+2) ;Получили очевидное совпадение результатов. Вычислим аналогичноостальные коэффициенты при неизвестных в третьем и четвертом уравнениях:a34+(2+1)= a34+2- a32+2( a24+2/ a22+2) =a34+3a43+(2+1)= a43+2- a42+2( a23+2/ a22+2) =a43+3a44+(2+1)= a43+2- a42+2( a23+2/ a22+2) =a44+3Непосредственной проверкой можно показать, что правая итерационнаяформула, с помощью которой вычисляются свободные члены, так же верна.

Проводянеобходимые вычисления, получаем выражение для исходной системы уравнений послевторой итерации выражения неизвестных:где: b3+3= b+23–b2+2(а32+2/а22+2) и b4+3= b4+2 –b2+2(а42+2/а22+2).После третьей итерации система примет вид:а11+1х1+ а12+1х2+ а13+1х3+ а14+1х4 =b1+10+а22+2х2+ а23+2х3+ а24+2х4 =b2+20+0+а33+3х3+ а34+3х4 =b3+3+4+40+0+0+а44 х4 = b4+4+3+3+3+3+4+3+3+3где: a44 = a44 –a43 (а34 /а33 ) и b4 = b4 –b3 (а43 /а33+3).Решение полученной системы выполняем методом обратной прогонки. Изчетвертого уравнения вычисляем неизвестную Х4:х4 =b4+4 /а44+4Из третьего уравнения вычисляем неизвестную Х3:х3 =[b3+3 -(а34+3х4)]/а33+3Из второго уравнения вычисляем неизвестную Х2:х2 + =[b2+2 – (а24+2х4 + а23+2х3)]/а22+2Наконец, из первого уравнения вычисляем неизвестную Х1:х1 = [b1+1 – (а14+1х4+а13+1х3+а12+1х2)]/а11+1Пусть в исходной системе задано фиксированное значение р-й переменной(Хр=Q).

Преобразование системы проводим по шагам: коэффициенты р-й строки, кроме диагонального коэффициента, равного аpp+1,приравниваем нулю; свободный член в р-й строке заменяем произведением: (аpp+1Q); уравнения, содержащие переменную Хр, преобразуем, вычитая из обеих частейкаждого из них произведение (аqp+1Q), где q – номер строки (qp).Проиллюстрируем это на примере системы уравнений:46,6T1 – 21,7T2 +0 + 0= 1000- 21,7T1 + 93,2T2 – 21,7T3 + 0= 2000(14.2)0- 21,7T2 + 93,2T3 – 21,7T4 = 20000+0– 21,7T3 + 56,6T4 = 1400Здесь, согласно условию задачи,фиксирована одна степень свободыузлового параметра {Т1=150}. Преобразование системы проводим по шагам: коэффициенты 1-й строки, кроме диагонального коэффициента, равногоК11=46.6, приравниваем нулю: 46,6T1+ 0 + 0 + 0 = 1000 свободный член в 1-й строке заменяем произведением: (К11Т1)=6990: 46,6T1+ 0 + 0 + 0 = 6990 переменная Т1 входит еще во второе уравнение, поэтому вычитаем из левой иправой части 2-го уравнения произведение К21Т1=(-21,7150):0 + 93,2T2 – 21,7T3 + 0 = 2000–(-3255)= 5255Таким образом, искомая система для решения примет вид:46,6T1 +0+ 0+ 0= 69900+ 93,2T2 – 21,7T3 + 0= 52550- 21,7T2 + 93,2T3 – 21,7T4 = 20000+0– 21,7T3 + 56,6T4 = 1400В программе решения системыуравнений, приводимойпреобразование выполняется оператором:For i:=1 to n do If defX[i]=1 Then UppCase(i);ниже,Рассмотрим систему:–37x1 + 10,1 x2 +9 x3 = –16,5+8,2 x1 –37 x2 +9 x4 = –35,45+9 x2+8,2 x3 – 37 x4 = –18,7+9 x1 – 37 x3+10,1 x4 = –7,42Программа вычисления корней данной системы приведена ниже:uses crt; const n=4;type qw=array[1..n,1..n] of real; Linia=array[1..n]of real;const MotL:qw=((-37,10.1,9,0),(8.2,-37,0,9),(0,9,8.2,-37),(9,0,-37,10.1));BotL:Linia= (-16.5,-35.45,-18.7,-7.42);var m1,m2:qw; x,b1,b2:Linia; aa,ss,zz:real;i,j,k,q,tt:integer;Procedure CoeFA(i,j,k:byte);begin m2[i,j]:=m1[i,j] - m1[i,k]*m1[k,j]/m1[k,k] End;Procedure FreeB(i,k:byte);begin b2[i]:=b1[i]-b1[k]*m1[i,k]/m1[k,k] End;BEGIN clrscr; For i:=1 To n Do x[i]:=0; For i:=1 to n Do b1[i]:=BotL[i];For i:=1 to n Do For j:=1 To n Do m1[i,j]:=MotL[i,j];For i:=1 to n Do For j:=1 to n Do m2[i,j]:=0;For j:=1 to n Do m2[1,j]:=m1[1,j]; b2[1]:=b1[1];For tt:=2 To n DoBegin For i:=tt to n Do m2[i,tt]:=0;For i:=tt To n Do For j:=2 to n Do CoeFA(i,j,tt-1);For i:=tt to n Do FreeB(i,tt-1);For i:=1 to n Do For j:=1 To n Do m1[i,j]:=m2[i,j];For i:=1 to n Do b1[i]:=b2[i] End;zz:=0; X[n]:=b2[n]/m2[n,n];For i:=n-1 DownTo 1 DoBegin zz:=b2[i]; q:=n;For j:=i To n-1 Do Begin zz:=zz-m2[i,q]*x[q]; dec(q); End;x[i]:=zz/m2[i,i] End;For i:=1 to n Do WriteLn('X',i,'=',X[i]:6:4); Repeat Until KeyPressed END.Система имеет следующее решение:x1=1.0119 x2=1,4288 x3=0,7233 x4=1,0133..